Tout le cours

Mise ` a niveau en alg` ebre et analyse
Herv´e Hocquard
5 septembre 2016

Table des mati`eres
1 Les nombres complexes 4
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Propri´et´es imm´ediates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Valeurs particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Les ensembles de nombres : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Repr´esentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Op´erations sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Addition et multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Inverse d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Nombre conjugu´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Nombre conjugu´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 Argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 ´ Ecriture trigonom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10 Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.11 Formule de MOIVRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.12 Formules d’EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.13 R´esolution dans Cd’´equations du second degr´e `a coefficients r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.14 Racines n`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.15 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Syst`emes d’´equations lin´eaires-Matrices 19
2.1 R´esolution des syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Notations et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Op´erations ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Matrices `a lignes ´echelonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4 Application aux syt`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Somme de deux matrices et produit d’une matrice par un r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.4 Op´erations par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.5 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.6 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Notions sur les ´equations de r´ecurrence lin´eaire `a coefficients constants 30
3.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 Propri´et´e fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Cas de l’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Cas de l’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1 R´esolution de l’´equation homog`ene (EH). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2 Solutions particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Notion de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.2 Un premier r´esultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1

4 Notions sur les ´equations diff´erentielles 36
4.1 ´ Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 1 `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.1 R´esolution de l’´equation homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.2 R´esolution de l’´equation compl`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 ´ Equations diff´erentielles d’ordre 2 `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 R´esolution de l’´equation homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.2 R´esolution de l’´equation compl`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Notion de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.1 Equation diff´erentielle d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.2 Equation diff´erentielle d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 ´ Equations diff´erentielles d’ordre un `a coefficients non constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.1 Cas lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.2 ´ Equation de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Espaces vectoriels 42
5.1 Espaces vectoriels-Sous espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Bases des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.1 Familles g´en´eratrices, familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6 Rang et d´eterminant des matrices 50
6.1 Rang des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.1 Espace des lignes-Espace des colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.2 Rang et inversibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.3 Rang et syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 D´eterminant des matrices carr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.1 D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.2 Calcul du d´eterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 Applications lin´eaires 58
7.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.1 Notion d’application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.2 Applications lin´eaires et sous espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.3 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2 Applications lin´eaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2.1 Applications lin´eaires et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2.2 Th´eor`eme du rang (ou des dimensions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2.3 Quelques notions sur les formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3 Matrices et applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.3.1 D´efinitions et op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.3.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8 Projections 67
8.1 Endomorphismes idempotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.2 Cas particulier de Rn- Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.2.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.2.2 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9 Notions de calcul diff´erentiel 73
9.1 Notion de topologie sur Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.1.1 Normes-Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.1.2 Suites convergentes dans Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.1.3 Ouverts-Ferm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1.4 Ensembles convexes-Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.2 Diff´erentiabilit´e des fonctions de Rndans R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.2.1 Diff´erentielle d’une fonction de Rndans R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.2.2 Formules de Taylor pour une fonction de Rndans R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2

9.2.3 Diff´erentiabilit´e et convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.3 Fonctions de Rndans Rm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.3.1 Diff´erentielles-Jacobiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.3.2 Les fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.3.3 Fonction r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10 Diagonalisation 84
10.1 Rappels : changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.2 Vecteurs propres-Sous espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.3 Polynˆome caract´eristiques-Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.3.1 Polynˆome caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.3.2 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.3.3 Forme r´eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.3.4 Forme de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.3.5 Th´eor`eme de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.4 Application au calcul des puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.4.1 Utilisation du th´eor`eme de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.4.2 Utilisation d’une forme r´eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11 Fonctions homog`enes, concaves et convexes 94
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.2 Fonctions homog`enes en ´economie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.3 Fonctions d’une variable : Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.4 Passage `a la dimension n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.5 Formes quadratiques et matrices sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.6 Hessienne et fonctions concaves ou convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.7 Etude du signe d’une forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
12 Optimisation des fonctions de plusieurs variables 101
12.1 Extrema locaux et globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
12.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
12.1.2 Th´eor`eme des extrema globaux sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
12.1.3 Condition n´ecessaire d’extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
12.2 Extrema et Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
12.3 Extrema globaux et convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
12.3.1 R´esumons la marche `a suivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
12.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
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Chapitre 1
Les nombres complexes
Contenu
1.1 Introduction.................................................... 5
1.1.1 Propri´et´esimm´ediates .......................................... 5
1.1.2 Valeursparticuli`eres ........................................... 6
1.1.3 Les ensembles de nombres : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Lesnombrescomplexes ............................................. 6
1.2.1 D´efinition ................................................. 6
1.3 Repr´esentationgraphique............................................ 7
1.4 Op´erations sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Additionetmultiplication ........................................ 8
1.4.2 Inverse d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Nombreconjugu´e................................................. 9
1.6 Nombreconjugu´e................................................. 10
1.7 Moduled’unnombrecomplexe......................................... 11
1.8 Argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 ´ Ecrituretrigonom´etrique............................................. 13
1.10 Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.11FormuledeMOIVRE............................................... 15
1.12Formulesd’EULER ................................................ 15
1.13 R´esolution dans Cd’´equations du second degr´e `a coefficients r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.14 Racines n`emes .................................................... 16
1.15Exercices ...................................................... 16
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