2.Barycentre

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BARYCENTRE
Dans toute la suite on se placera dans l’espace affine E de dimension 3. Tous les résultats
s’appliquent au plan affine P.
1. FONCTION VECTORIELLE DE LEIBNIZ
Soient n points Ai affectés des coefficients i avec 1  i  n.
( Ai, i ) est un point pondéré, i est le poids ou coefficient du point Ai.
La suite ( A1, 1 ), . . . , ( An, n ) est appelée système de n points pondérés.
On la note ( Ai, i )i[1,n].
Le nombre réel  =
n
1i i
est le poids du système.
Définition
La fonction vectorielle de Leibniz du système de points pondérés ( Ai, i )i[1,n].est
l’application f de E dans
E
définie par :  M  E f ( M ) =
n
1i i
i
MA
Propriété
 ( M, M’ )  E2 f ( M ) = f ( M’ ) + 
'MM
Preuve :
En effet f ( M ) =
n
1i i
i
MA
=
n
1i i
'MM
+
n
1i i
i
A'M
= (
n
1i i
)
'MM
+ f ( M’ ).
Conséquences :
1. Si  = 0 f est constante
2. Si   0 f est une bijection de E dans
E
.
Preuve :
1. Si  = 0  ( M, M’ )  E2 f ( M ) = f ( M’ )
2. Si   0, soit O un point de E.
Si
u
est un vecteur quelconque de
E
, cherchons l’ensemble de ses antécédents par f.
Soit M tel que f ( M ) =
u
,on a f ( M ) = f ( O ) + 
MO
.
Donc
OM
=
1
( f ( O ) -
u
), ce qui prouve que M est déterminé de manière unique et que f est
bijective.

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2. BARYCENTRE D’UN SYSTEME DE POINTS PONDERES
2.1. THEOREME ET DEFINITION
Pour tout système de points pondérés ( Ai, i )i[1,n] dont le poids  n’est pas nul, il
existe un point G, et un seul, tel que :
n
1i i
i
GA
=
0
G est appelé barycentre du système ( Ai, i )i[1,n] ou barycentre des points A1, . . . ,An
affectés des coefficients 1, . . . ,n.
Ceci provient du fait que f est bijective et on a f ( G ) =
0
.
On a donc  M  E f ( M ) = 
MG
Ce qui s’écrit encore  M  E
n
1i i
i
MA
= 
MG
En particulier si O est un point du plan on a
OG
=
1
n
1i i
i
OA
2.2. PROPRIETES DU BARYCENTRE
1. Commutativité : Le barycentre est indépendant de l’ordre des points.
2. Si on multiplie les coefficients i par un même réel   0 le barycentre des points
A1, . . . ,An n’est pas modifié.
On peut donc supposer dans la définition du barycentre que la somme des coefficients
est égale à 1 ( il suffit de multiplier les coefficients par
1
).
3. On appelle isobarycentre des n points Ai le barycentre des points Ai affectés de
coefficients égaux.
Exemple : L’isobarycentre de A, B est le milieu du segment [ A, B ].
4. Associativité du barycentre :
On ne change pas le barycentre de n points en remplaçant k d’entre eux dont la
somme ’ des poids n’est pas nulle par leur barycentre affecté du poids ’.
Preuve :
Soit G’ le barycentre de ( A1, 1 ), . . . , ( Ak, k ) avec 1 + . . . + k  0.
On a donc
k
1i i
i
GA
= ’
'GG
.
D’où
n
1i i
i
GA
=
k
1i i
i
GA
+
n
1ki i
i
GA
= ’
'GG
+
n
1ki i
i
GA
=
0
, ce qui prouve
le résultat.

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2.3. COORDONNEES DU BARYCENTRE
L’espace affine étant rapporté au repère ( O,
1
e
,
2
e
,
3
e
), soit ( xi, yi, zi ) les coordonnées du
point Ai et (x , y, z ) celles du barycentre G.
On a
OG
=
1
n
1i i
i
OA
d’où :
x =
1
n
1i ii x
y =
1
n
1i ii y
z =
1
n
1i iiz
2.4. CONSTRUCTION DU BARYCENTRE
Quitte à modifier l’ordre des points on peut supposer que 1 + 2  0.
Si G1 est le barycentre de ( A1, 1 ) et ( A2, 2 ), par associativité G est donc le barycentre
de ( G1, 1+2 ) et ( A3, 3 ), . . . , ( An, n ).
On peut donc ensuite associer G1 à A3 à l’aide du barycentre G2 et de proche en proche on
montre ainsi que G est le barycentre de ( Gn-2,
1n
1i i
) et ( An, n ).
On voit donc que la recherche du barycentre de n points se ramène toujours à celle du
barycentre de 2 points.
Barycentre de 2 points distincts : 1
1
GA
+ 2
2
GA
=
0
Donc G  ( A1 A2 ). Si la droite ( A1 A2 ) est munie d’un repère on a :
1
1
GA
+ 2
2
GA
= 0 d’où
2
1
GA
GA
= -
1
2
.
On a aussi pour tout point M  E
MG
=
1
(
1
MA
+
2
MA
)
D’où si M = A1 on a
GA1
=
2
21AA
si M = A2 on a
GA2
=
1
12AA
Barycentre de 3 points distincts : 1
1
GA
+ 2
2
GA
+ 3
3
GA
=
0
Si 2 + 3  0, soit G1 le barycentre de ( A2, 2 ) et ( A3, 3 ).
G est donc le barycentre de ( G1, 2+3 ) et ( A1, 1 ) et est situé sur la droite (A1G1).
Si 1 + 3  0, soit G2 le barycentre de ( A1, 1 ) et ( A3, 3 ), A1
G est donc aussi sur la droite (A2G2). A2
Si 1 + 2  0, soit G3 le barycentre de ( A1, 1 ) et ( A2, 2 ), G
G est donc également sur la droite (A3G3). G2
G est donc l’intersection des 3 droites (A1G1) (A2G2) et (A3G3).
A3
Cas particulier : L’isobarycentre des 3 points A1, A2 et A3 est l’intersection des
3 médianes du triangle A1A2A3 ( centre de gravité )

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2.5. COORDONNEES BARYCENTRIQUES
Définition
Le quadruplet ( A0, A1, A2, A3 ) est un repère affine si le triplet (
10AA
,
20AA
,
30AA
)
est une base de l’espace vectoriel
E
.
Soit M un point de l’espace. Cherchons les coefficients xi avec
3
0i i
x
=1, tels que M soit le
barycentre des points ( Ai, xi ).
On a en prenant A0 comme origine :
 MA0
= x1
10AA
+ x2
20AA
+ x3
30 AA
Ce qui détermine x1, x2 et x3 de façon unique. On obtient ensuite x0 = 1 - x1 - x2 - x3.
Les coefficients x0, x1, x2, x3 s’appellent les coordonnées barycentriques du point M
dans le repère affine ( A0, A1, A2, A3 ).
2.6. ENSEMBLES CONVEXES
Définition
Un ensemble F de points de E est dit convexe s’il contient tout segment dont les
extrémités sont dans E.
Exemples :
Un segment, une droite, un plan, l’intérieur d’un triangle ou plus généralement d’un
polygone convexe sont des ensembles convexes.
Remarques :
1. L’intersection de deux ensembles convexes est un ensemble convexe.
2. En revanche la réunion de deux ensembles convexes n’est pas en général convexe ( par
exemple la réunion de deux droites sécantes ).
Théorème
Un ensemble F est convexe si et seulement si le barycentre de tout système de points
de F, affectés de coefficients positifs, appartient à F.
Preuve :
Condition suffisante :
Soient A1 et A2 deux points de F.
Tout point M du segment [A1, A2] est tel que
 MA1
= 
21AA
avec 0    1.
D’où
 MA1
=  (
 MA1
+
2
MA
) ou encore ( 1 -  )
1
MA
+ 
2
MA
=
0
.
M est donc le barycentre des points ( A1, 1 -  ), ( A2,  ) et par conséquent M  F.

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Condition nécessaire :
Soit F un ensemble convexe, nous allons prouver la propriété par récurrence.
Montrons d’abord qu’elle est vraie pour deux points A1 et A2 de F. Soit M le barycentre
des points ( A1, 1 ) et ( A2, 2 ).
On a
 MA1
=
21
1
( 1
11AA
+ 2
21AA
) =
21
2
21AA
= 
21AA
avec 0    1,
d’où M appartient à [A1, A2] donc à F.
Supposons maintenant que la propriété est vraie pour tout système de p points de F.
Soient A1, A2, . . . , Ap+1, p+1 points de F affectés des coefficients positifs 1, 2, . . . , p+1.
Par hypothèse de récurrence le barycentre G’ de ( A1, 1 ), . . . , ( Ap, p ) est un point de F.
De plus G barycentre des p+1 points pondérés ( A1, 1 ), . . . , ( Ap+1, p+1 ) est aussi par
associativité le barycentre des 2 points ( G’, 1+…+p ) et ( Ap+1, p+1 ), donc G est dans
F puisque la propriété est vraie pour 2 points.