2.Barycentre

FIIFO
GEOMETRIE
BARYCENTRE
Dans toute la suite on se placera dans l’espace affine E de dimension 3. Tous les résultats
s’appliquent au plan affine P.
1.
FONCTION VECTORIELLE DE LEIBNIZ
Soient n points Ai affectés des coefficients i avec 1  i  n.
( Ai, i ) est un point pondéré, i est le poids ou coefficient du point Ai.
La suite ( A1, 1 ), . . . , ( An, n ) est appelée système de n points pondérés.
On la note ( Ai, i )i[1,n].
Le nombre réel  =
n

i 1
i
est le poids du système.
Définition
La fonction vectorielle de Leibniz du système de points pondérés

 ME
l’application f de E dans E définie par :
( Ai, i )i[1,n].est

n
f(M)=
  i MA i
i 1
Propriété

 ( M, M’ )  E2
f ( M ) = f ( M’ ) +  MM '
Preuve :
n
En effet f ( M ) =

  i MA i =
i 1
Conséquences :
1. Si  = 0
2. Si   0
n

  i MM ' +
i 1
n

n

  i M' A i = (   i ) MM ' + f ( M’ ).
i 1
i 1
f est constante

f est une bijection de E dans E .
Preuve :
1. Si  = 0  ( M, M’ )  E2 f ( M ) = f ( M’ )
2. Si   0, soit O un point de E.


Si u est un vecteur quelconque de E , cherchons l’ensemble de ses antécédents par f.


Soit M tel que f ( M ) = u ,on a f ( M ) = f ( O ) +  MO .

1

Donc OM = ( f ( O ) - u ), ce qui prouve que M est déterminé de manière unique et que f est

bijective.
J.P. LENOIR
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CHAPITRE 2
FIIFO
2.
GEOMETRIE
BARYCENTRE D’UN SYSTEME DE POINTS PONDERES
2.1.
THEOREME ET DEFINITION
Pour tout système de points pondérés ( Ai, i )i[1,n] dont le poids  n’est pas nul, il
n



existe un point G, et un seul, tel que :
=
GA
0
 i i
i 1
G est appelé barycentre du système ( Ai, i )i[1,n] ou barycentre des points A1, . . . ,An
affectés des coefficients 1, . . . ,n.

Ceci provient du fait que f est bijective et on a f ( G ) = 0 .
On a donc
 ME
Ce qui s’écrit encore
 ME

f ( M ) =  MG

n

  i MA i =  MG
i 1

En particulier si O est un point du plan on a OG =
2.2.
1


n
  i OA i
i 1
PROPRIETES DU BARYCENTRE
1. Commutativité : Le barycentre est indépendant de l’ordre des points.
2. Si on multiplie les coefficients i par un même réel   0 le barycentre des points
A1, . . . ,An n’est pas modifié.
On peut donc supposer dans la définition du barycentre que la somme des coefficients
1
est égale à 1 ( il suffit de multiplier les coefficients par ).

3. On appelle isobarycentre des n points Ai le barycentre des points Ai affectés de
coefficients égaux.
Exemple : L’isobarycentre de A, B est le milieu du segment [ A, B ].
4. Associativité du barycentre :
On ne change pas le barycentre de n points en remplaçant k d’entre eux dont la
somme ’ des poids n’est pas nulle par leur barycentre affecté du poids ’.
Preuve :
Soit G’ le barycentre de ( A1, 1 ), . . . , ( Ak, k ) avec 1 + . . . + k  0.


k
On a donc
  i GA i = ’ GG ' .
i 1
n
D’où

k

  i GA i =   i GA i +
i 1
i 1
n


  i GA i = ’ GG ' +
i  k 1
n

i  k 1
i


GA i = 0 , ce qui prouve
le résultat.
J.P. LENOIR
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CHAPITRE 2
FIIFO
GEOMETRIE
2.3.
COORDONNEES DU BARYCENTRE
  
L’espace affine étant rapporté au repère ( O, e1 , e 2 , e 3 ), soit ( xi, yi, zi ) les coordonnées du
point Ai et (x , y, z ) celles du barycentre G.


1 n
OG =   i OA i d’où :
On a
 i 1
x=
1

2.4.
n
 x
i 1
i
i
y=
1

n
 y
i 1
i
1

z=
i
n
 z
i 1
i
i
CONSTRUCTION DU BARYCENTRE
Quitte à modifier l’ordre des points on peut supposer que 1 + 2  0.
Si G1 est le barycentre de ( A1, 1 ) et ( A2, 2 ), par associativité G est donc le barycentre
de ( G1, 1+2 ) et ( A3, 3 ), . . . , ( An, n ).
On peut donc ensuite associer G1 à A3 à l’aide du barycentre G2 et de proche en proche on
n 1
montre ainsi que G est le barycentre de ( Gn-2,

i 1
i
) et ( An, n ).
On voit donc que la recherche du barycentre de n points se ramène toujours à celle du
barycentre de 2 points.



Barycentre de 2 points distincts :
1 GA 1 + 2 GA 2 = 0
Donc G  ( A1 A2 ). Si la droite ( A1 A2 ) est munie d’un repère on a :

GA 1
1 GA 1 + 2 GA 2 = 0
d’où
=- 2 .
1
GA 2
On a aussi pour tout point M  E
D’où
si M = A1 on a
si M = A2 on a



1
( MA 1 + MA 2 )




A1G = 2 A1A 2




A 2 G = 1 A 2 A1

MG =




1 GA 1 + 2 GA 2 + 3 GA 3 = 0
Si 2 + 3  0, soit G1 le barycentre de ( A2, 2 ) et ( A3, 3 ).
G est donc le barycentre de ( G1, 2+3 ) et ( A1, 1 ) et est situé sur la droite (A1G1).
Si 1 + 3  0, soit G2 le barycentre de ( A1, 1 ) et ( A3, 3 ), A1
G est donc aussi sur la droite (A2G2).
A2
Si 1 + 2  0, soit G3 le barycentre de ( A1, 1 ) et ( A2, 2 ),
G
G est donc également sur la droite (A3G3).
G2
G est donc l’intersection des 3 droites (A1G1) (A2G2) et (A3G3).
A3
Cas particulier : L’isobarycentre des 3 points A1, A2 et A3 est l’intersection des
3 médianes du triangle A1A2A3 ( centre de gravité )
Barycentre de 3 points distincts :
J.P. LENOIR
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CHAPITRE 2
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GEOMETRIE
2.5.
COORDONNEES BARYCENTRIQUES
Définition
  
  
  
Le quadruplet ( A0, A1, A2, A3 ) est un repère affine si le triplet ( A 0 A1 , A 0 A 2 , A 0 A 3 )

est une base de l’espace vectoriel E .
Soit M un point de l’espace. Cherchons les coefficients xi avec
3
x
i0
i
=1, tels que M soit le
barycentre des points ( Ai, xi ).

  
  
  
A 0 M = x1 A 0 A 1 + x2 A 0 A 2 + x3 A 0 A 3
On a en prenant A0 comme origine :
Ce qui détermine x1, x2 et x3 de façon unique. On obtient ensuite x0 = 1 - x1 - x2 - x3.
Les coefficients x0, x1, x2, x3 s’appellent les coordonnées barycentriques du point M
dans le repère affine ( A0, A1, A2, A3 ).
2.6.
ENSEMBLES CONVEXES
Définition
Un ensemble F de points de E est dit convexe s’il contient tout segment dont les
extrémités sont dans E.
Exemples :
Un segment, une droite, un plan, l’intérieur d’un triangle ou plus généralement d’un
polygone convexe sont des ensembles convexes.
Remarques :
1. L’intersection de deux ensembles convexes est un ensemble convexe.
2. En revanche la réunion de deux ensembles convexes n’est pas en général convexe ( par
exemple la réunion de deux droites sécantes ).
Théorème
Un ensemble F est convexe si et seulement si le barycentre de tout système de points
de F, affectés de coefficients positifs, appartient à F.
Preuve :
Condition suffisante :
Soient A1 et A2 deux points de F.
  
  
Tout point M du segment [A1, A2] est tel que A1M =  A 1 A 2 avec 0    1.
  
  
  
  
  

D’où A1M =  ( A1M + MA 2 ) ou encore ( 1 -  ) MA1 +  MA 2 = 0 .
M est donc le barycentre des points ( A1, 1 -  ), ( A2,  ) et par conséquent M  F.
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CHAPITRE 2
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GEOMETRIE
Condition nécessaire :
Soit F un ensemble convexe, nous allons prouver la propriété par récurrence.
Montrons d’abord qu’elle est vraie pour deux points A1 et A2 de F. Soit M le barycentre
des points ( A1, 1 ) et ( A2, 2 ).
  
  
  
  
  
2
1
On a A1M =
( 1 A 1 A 1 + 2 A 1 A 2 ) =
A 1 A 2 =  A 1 A 2 avec 0    1,
1   2
1   2
d’où M appartient à [A1, A2] donc à F.
Supposons maintenant que la propriété est vraie pour tout système de p points de F.
Soient A1, A2, . . . , Ap+1, p+1 points de F affectés des coefficients positifs 1, 2, . . . , p+1.
Par hypothèse de récurrence le barycentre G’ de ( A1, 1 ), . . . , ( Ap, p ) est un point de F.
De plus G barycentre des p+1 points pondérés ( A1, 1 ), . . . , ( Ap+1, p+1 ) est aussi par
associativité le barycentre des 2 points ( G’, 1+…+p ) et ( Ap+1, p+1 ), donc G est dans
F puisque la propriété est vraie pour 2 points.
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