Première S2 Chapitre 11 : les barycentres. Page n ° 1
2007 2008
Le barycentre ( de centre et du grec barus : lourd, pesant ) fut introduit en physique au dix-neuvième siècle.
Cependant, cette notion indispensable en mécanique, se retrouve déjà dans les travaux d'Archimède ( troisième
siècle avant Jésus-Christ ) sur les leviers, travaux célèbres qui l'auraient conduit à cette célèbre phrase :
" Donnez moi un point d'appui et je soulèverai la Terre ". Les lois énoncées par Archimède sont les suivantes :
Loi 1 : des poids qui s'équilibrent à des distances égales sont égaux.
Loi 2 : des poids inégaux s'équilibrent à des distances inégales et le plus grand sera situé à la plus petite distance.
Loi 3 : principe des leviers : des grandeurs quelconques s'équilibrent à des distances inversement
proportionnelles à leur poids.
En 1827, le mémoire de Möbius, Der Barycentrische Calcul, fait de ce professeur à l'université de Leipzig
le fondateur de la théorie moderne du barycentre. En physique ce calcul fut utilisé bien avant lui lors de la
recherche d'équilibres de systèmes solides, de centres de gravité… L'originalité de Möbius est de se dégager du
contexte concret de la mécanique pour créer un outil simple et efficace dans bien d'autres domaines comme la
géométrie, l'économie, la statistique… et même la fabrication de couleurs !
Le peintre Chevreuil ( 1786 - 1899 ) invente ainsi un système permettant de distinguer plus de mille couleurs.
Il représente les couleurs bleu, rouge, et vert par trois points B, R et V et associe à tout point M à l'intérieur du
triangle une couleur : il cherche les nombres b, r, v tels que b Ä
MB + r Ä
MR + v Ä
MV = Å
0 ;
b, r, et v sont alors les proportions des trois couleurs pour obtenir la couleur M.
1 Définition.
Soient A et B deux points.
Soient a et b deux nombres réels dont la somme n'est pas nulle.
Alors, il existe un unique point G du plan tel que a Ä
GA + b Ä
GB = Å
0.
Ce point G s'appelle le barycentre des points A et B, affectés des coefficients respectifs a et b.
Remarques :
Les coefficients a et b sont parfois appelés les masses a et b.
On dit aussi G est le barycentre du système de points pondérés ( A ; a ) et ( B ; b ).
Un cas particulier :
Le barycentre de ( A ; 1 ) et ( B ; 1 ) appelé l'isobarycentre de A et de B est le milieu du segment [ AB ].
Exemple : construire le barycentre G de ( A ; 3 ) , ( B ; 5 ). Voir feuille annexe.
Situation du barycentre :
Le barycentre G de deux points distincts A et B est un point qui appartient à la droite ( AB ).
Si a et b sont de même signe alors G [ AB ].
Si a et b sont de signes contraires, alors G est à l'extérieur du segment [ AB ].
Si a = 0 alors G = B.
Si b = 0 alors G = A.