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Première S2
2007 2008
Chapitre 11 : les barycentres.
Page n ° 1
Le barycentre ( de centre et du grec barus : lourd, pesant ) fut introduit en physique au dix-neuvième siècle.
Cependant, cette notion indispensable en mécanique, se retrouve déjà dans les travaux d'Archimède ( troisième
siècle avant Jésus-Christ ) sur les leviers, travaux célèbres qui l'auraient conduit à cette célèbre phrase :
" Donnez moi un point d'appui et je soulèverai la Terre ". Les lois énoncées par Archimède sont les suivantes :
Loi 1 : des poids qui s'équilibrent à des distances égales sont égaux.
Loi 2 : des poids inégaux s'équilibrent à des distances inégales et le plus grand sera situé à la plus petite distance.
Loi 3 : principe des leviers : des grandeurs quelconques s'équilibrent à des distances inversement
proportionnelles à leur poids.
En 1827, le mémoire de Möbius, Der Barycentrische Calcul, fait de ce professeur à l'université de Leipzig
le fondateur de la théorie moderne du barycentre. En physique ce calcul fut utilisé bien avant lui lors de la
recherche d'équilibres de systèmes solides, de centres de gravité… L'originalité de Möbius est de se dégager du
contexte concret de la mécanique pour créer un outil simple et efficace dans bien d'autres domaines comme la
géométrie, l'économie, la statistique… et même la fabrication de couleurs !
Le peintre Chevreuil ( 1786 - 1899 ) invente ainsi un système permettant de distinguer plus de mille couleurs.
Il représente les couleurs bleu, rouge, et vert par trois points B, R et V et associe à tout point M à l'intérieur du
Ä + rMR
Ä + vMV
Ä =Å
triangle une couleur : il cherche les nombres b, r, v tels que b MB
0;
b, r, et v sont alors les proportions des trois couleurs pour obtenir la couleur M.
1 Définition.
Soient A et B deux points.
Soient a et b deux nombres réels dont la somme n'est pas nulle.
Ä + bGB
Ä =Å
Alors, il existe un unique point G du plan tel que a GA
0.
Ce point G s'appelle le barycentre des points A et B, affectés des coefficients respectifs a et b.
Remarques :
Les coefficients a et b sont parfois appelés les masses a et b.
On dit aussi G est le barycentre du système de points pondérés ( A ; a ) et ( B ; b ).
Un cas particulier :
Le barycentre de ( A ; 1 ) et ( B ; 1 ) appelé l'isobarycentre de A et de B est le milieu du segment [ AB ].
Exemple : construire le barycentre G de ( A ; 3 ) , ( B ; 5 ). Voir feuille annexe.
Situation du barycentre :
Le barycentre G de deux points distincts A et B est un point qui appartient à la droite ( AB ).
Si a et b sont de même signe alors G  [ AB ].
Si a et b sont de signes contraires, alors G est à l'extérieur du segment [ AB ].
Si a = 0 alors G = B.
Si b = 0 alors G = A.
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Chapitre 11 : les barycentres.
Page n ° 2
Démonstration de l'existence et de l'unicité du point G : voir feuille annexe.
Propriété :
Le barycentre ne change pas lorsque l'on multiplie ( ou on divise ) les coefficients de chaque point par un
même réel non nul.
E1 Connaître le barycentre de deux points.
P 190 n ° 23 ; 24 ; et 26.
2 Propriété fondamentale du barycentre.
Soit G le barycentre de ( A ; a ) et ( B ; b ) avec a + b  0
Ä + bMB
Ä = ( a + b ) MG
Ä
alors, pour tout point M du plan, on a : aMA
Conséquences :
Ä =
Si M = A alors AG
b AB
Ä
a b
Ä =
Si M = B alors BG
a BA
Ä
a b
Ä + MB
Ä = 2 MI
Ä
Si I est le milieu du segment [ AB ] alors pour tout point M du plan, on a : MA
Démonstration de la propriété fondamentale du barycentre : voir feuille annexe.
Conséquence
Ä + bMB.
Ä
La propriété fondamentale nous permet de simplifier une expression vectorielle du type a MA
Méthode :
Ä + bMB
Ä pour simplifier cette
Dans les exercices, il suffit de reconnaître des expressions du type a MA
écriture en introduisant le point G est le barycentre de ( A ; a ) et ( B ; b ).
Exercice : soient A, B et C trois points.
Ä + MB
Ä = AC.
Ä Voir feuille annexe.
Démontrer qu'il existe un unique point M tel que : - 2MA
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Chapitre 11 : les barycentres.
Page n ° 3
E2 Savoir utiliser la propriété fondamentale du barycentre.
1.
Soient A, B et C trois points.
Ä  3MB
Ä = AC.
Ä Le construire.
Démontrer qu'il existe un unique point M tel que : MA
2.
Ä  2BM
Ä et w
Ä  CM
Ä .
Å = 3MA
ABC est un triangle. On pose Å
v = 3MA
Å en utilisant au maximum une fois la lettre M, avec un seul vecteur.
Exprimer Å
v puis w
Il est conseillé d'introduire des barycentres bien choisis.
3.
ABCD est un parallélogramme.
Ä + 3MB
Ä  2MC
Ä  2MD
Ä est un vecteur indépendant de M.
Démontrer que le vecteur Å
u = MA
Construire ce vecteur.
3 Barycentre de trois points ( et plus ).
Définitions :
Soient trois points A, B et C.
Soient a, b, et c trois nombres réels dont la somme n'est pas nulle.
Ä + bGB
Ä + cGC
Ä =Å
Alors, il existe un unique point G du plan tel que a GA
0.
On dit que G est le barycentre du système de points pondérés ( A ; a ) , ( B ; b ) , ( C ; c ).
L'isobarycentre de plusieurs points est le barycentre de ces points affectés d'un même coefficient non nul.
Exemple : ABC est un triangle. Construire le point G barycentre de ( A ; 1 ) , ( B ; 1 ) , ( C ; 2 ). Voir annexe.
Théorème d'associativité :
Soient A, B, et C trois points.
Soient a, b, c trois réels tels que a + b + c  0.
Si a + b  0, alors le barycentre G du système de points pondérés ( A ; a ) , ( B ; b ) , ( C ; c ) est aussi le
barycentre du système ( H ; a + b ) et ( C ; c ) avec H le barycentre du système de points ( A ; a ) , ( B ; b ).
Démonstration du théorème d'associativité : voir feuille annexe.
Exercice : ABC est un triangle. Construire le point G barycentre de ( A ; 1 ) , ( B ; 1 ) , ( C ; 2 ). Voir annexe.
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Chapitre 11 : les barycentres.
Page n ° 4
E3 Savoir construire le barycentre de plusieurs points.
P 190 n ° 30 ; 31 et 32.
4 Propriétés.
Propriété fondamentale du barycentre :
Soit G le barycentre du système de points pondérés ( A ; a ) , ( B ; b ) , ( C ; c ),
alors pour tout point M du plan, on a :
Ä + bMB
Ä + cMC
Ä = ( a + b + c ) MG.
Ä
aMA
Démonstration : voir feuille annexe.
Propriété sur les coefficients :
Le barycentre ne change pas lorsque l'on multiplie les coefficients de chaque point par un même réel non nul.
Isobarycentre :
Le centre de gravité G d'un triangle ABC vérifie :
Ä + GB
Ä + GC
Ä =Å
GA
0.
E4 Isobarycentre.
P 191 n ° 35 et n ° 36.
E5 Associativité du barycentre.
P 191 n ° 37 et n ° 38.
E6 Barycentre et problème de géométrie.
P 191 n ° 40 et n ° 42.
E7 Savoir déterminer un ensemble de points.
Soit ABC un triangle et soit J le milieu du segment [ BC ].
1)
a)
Ä + 2 MB
Ä + MC
Ä = AJ.
Ä
Déterminer l'ensemble S1 des points M du plan tel que MA
b)
Ä + 2 MB
Ä + MC
Ä
Déterminer l'ensemble S2 des points M du plan tel que MA
Ä
soit colinéaire au vecteur AJ.
2)
Déterminer l'ensemble S3 des points M du plan tel que MA 2MB MC = MA MB 2MC
3)
Déterminer l'ensemble S4 des points M du plan tel que MA 2MB MC = MA MB2MC
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Chapitre 11 : les barycentres.
Page n ° 5
5 Centre d'inertie d'une plaque homogène.
Les principes de base.
1. Le principe du triangle
Le centre d'inertie d'une plaque triangulaire est le centre de gravité du triangle.
2. Le principe de symétrie
Si la plaque admet un centre de symétrie I, alors le centre d'inertie est le point I.
Si la plaque admet un axe de symétrie D, alors le centre d'inertie est sur la droite D.
3. Le principe de la juxtaposition.
Le centre d'inertie I de la plaque P est le barycentre de ( I 1 , m1 ) et ( I2 ; m2 ), où :
La plaque P1 a pour centre d'inertie I1 et pour masse m1
La plaque P2 a pour centre d'inertie I2 et pour masse m2
On peut noter que la plaque étant homogène, les masses m1 et m2 sont proportionnelles aux aires respectives
A1 et A2 de P1 et P2. Cela ne change rien au barycentre : I est le barycentre de ( I1 , A1 ) et ( I2 ; A2 ).
A
D
a
a
B
E
a
C
Exemple : dans une plaque métallique d'épaisseur constante, on découpe le trapèze rectangle ci dessus.
Déterminer graphiquement la position du centre d'inertie. Voir feuille annexe.
E8 Savoir déterminer un centre d'inertie.
P 197 n ° 84.
P 197 n ° 83 a seulement.