Les probabilités conditionnelles

LES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
NOM GROUPE DATE
©Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier LES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
87
1
1
CHAPITRE
rappel
Un arbre de probabilités est un graphe permettant de représenter une expérience aléatoire.
On trouve, dans un arbre de probabilités :
• un niveau pour chaque épreuve de l’expérience ;
• un sommet pour chaque événement possible à la suite de l’épreuve ;
• la probabilité d’un événement sur l’arête correspondante à cet événement.
Exemple : On lance deux fois une pièce
de monnaie truquée qui fait que la probabilité
d’obtenir pile est 0,6.
On peut calculer la probabilité qu’une suite d’événements
se produise en multipliant les probabilités sur les branches
que l’on doit parcourir pour représenter cette suite
d’événements. Dans l’exemple, la probabilité d’obtenir
deux fois pile est 0,6 ⫻0,6 ⫽0,36.
1er lancer
de la pièce
2e lancer
de la pièce
F
P
F
P
F
P
0,4
0,6
0,4
0,4
0,6
0,6
L’utilisation d’un arbre de probabilités
1. On effectue deux tirages avec remise dans une urne contenant trois boules blanches
et sept boules noires.
a) Représentez cette expérience à l’aide d’un arbre
de probabilités.
b) Calculez la probabilité de tirer deux boules noires.
0,49
c) Calculez la probabilité de tirer deux boules
de la même couleur.
0,58
B: Tirer une boule blanche.
N: Tirer une boule noire.
N
B
N
B
N
B
0,7
0,3
0,7
0,7
0,3
0,3
1er tirage 2e tirage
3994-95_ObjMath_CST_Ch11_087-094.qxp:Layout 1 6/4/10 3:54 PM Page 87

2. On effectue deux tirages dans deux urnes différentes. La première urne contient deux boules bleues,
trois boules rouges et une boule blanche. La seconde urne contient trois boules bleues
et cinq boules rouges.
a) Complétez l’arbre de probabilités représentant cette situation.
b) Calculez la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes.
3. On choisit, au hasard, 2 élèves dans une classe de 30 élèves. On sait que la classe compte 18 filles
et 12 garçons.
a) À l’aide d’un arbre de probabilités, représentez les résultats possibles de ces deux choix.
b) Déterminez la probabilité de choisir au hasard un garçon au deuxième tour si la première
personne choisie est une fille.
12
29
G
G
F
F
G
F
1er tirage 2e tirage
18
30
12
30
17
29
12
29
11
29
18
29
⫽3
5
⫽2
5
2
6
3
6
1
6
3
8
5
8
3
8
5
8
3
8
5
8
P(•, •) ⫽
6
48
P(•, •) ⫽
10
48
5
24
P(•, •) ⫽
9
48
3
16
P(•, •) ⫽
15
48
P( , •) ⫽
3
48
P( , •) ⫽
5
48
⫽
⫽
⫽
5
16
⫽
1
8
1
16
⫽
⫽1
3
⫽1
2
27
48 9 16
=
NOM GROUPE DATE
CHAPITRE 11 Merci de ne pas photocopier ©Éditions Grand Duc
88
3994-95_ObjMath_CST_Ch11_087-094.qxp:Layout 1 6/4/10 3:54 PM Page 88

NOM GROUPE DATE
©Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier LES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
89
rappel
• Un diagramme de Venn permet de représenter des ensembles et les relations entre les éléments
de ces ensembles.
• Dans le cadre de l’étude des probabilités, les ensembles qui sont ici analysés contiennent des
résultats obtenus à la suite d’une expérience aléatoire ou des caractéristiques d’une population.
Exemple :
Soit un groupe de personnes dans lequel
se trouvent 30 hommes et 25 femmes.
Parmi les hommes, 9 sont des
végétariens et, parmi les femmes,
6 sont végétariennes. On peut
représenter cette situation à l’aide
du diagramme de Venn ci-contre. 19
Groupe de
55 personnes
6 9 21
Végétariens Hommes
L’utilisation d’un diagramme de Venn
4. Un sondage a révélé que, dans un groupe de 182 élèves de 5esecondaire d’une école, 60 ont un emploi
à temps partiel. Parmi ces jeunes qui travaillent, 28 sont des filles. On sait que le nombre total
de garçons est de 98.
a) Quelles sont les deux caractéristiques permettant de classer ces élèves ?
1) Être une fille ou un garçon.
2) Occuper ou non un emploi.
b) Représentez ces données à l’aide d’un diagramme de Venn.
Occupe un emploi.
Filles
322856
Élèves de
5e secondaire
66
3994-95_ObjMath_CST_Ch11_087-094.qxp:Layout 1 6/4/10 3:54 PM Page 89

5. On lance deux dés réguliers à six faces et on s’intéresse à la somme des deux nombres obtenus.
On veut séparer les 36 résultats possibles selon 3 caractéristiques différentes.
a) Complétez le diagramme de Venn suivant.
b) Calculez la probabilité d’obtenir une somme paire.
c) Calculez la probabilité d’obtenir une somme plus grande que 5.
d) Calculez la probabilité d’obtenir une somme plus petite ou égale à 5.
e) Calculez la probabilité d’obtenir une somme qui est un multiple de 3 et qui est plus grande que 5.
f) Parmi les résultats qui sont des multiples de 3, combien représentent une somme plus grande que 5 ?
10
g) Si on sait que la somme est un multiple de 3, quelle est la probabilité qu’elle soit également plus
grande que 5 ?
5
6
5
18
5
18
13
18
1
2
4
Résultats à la
suite du lancer
de deux dés
884
La somme est
plus grande
que 5.
La somme
est paire.
La somme est
un multiple de 3.
2
6
40
NOM GROUPE DATE
CHAPITRE 11 Merci de ne pas photocopier ©Éditions Grand Duc
90
3994-95_ObjMath_CST_Ch11_087-094.qxp:Layout 1 6/4/10 3:54 PM Page 90

NOM GROUPE DATE
rappel
• La probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement se produise si un autre événement
s’est déjà produit.
• Si Aet Bsont deux événements de l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire,
alors la probabilité conditionnelle que l’événement Ase produise si l’événement Bs’est déjà produit
est donnée par la formule suivante :
où représente l’intersection des ensembles Aet B.
AB
PP
P
AB
AB
B
兩
()
()
⫽()
6. Parmi les situations suivantes, lesquelles traite-t-on à l’aide des probabilités conditionnelles ?
a) Un étudiant passe un examen où 10 questions à choix multiple sont posées. On s’intéresse
à la probabilité que l’étudiant obtienne la note de passage, sachant qu’il répond aléatoirement
à chacune des questions.
b) On lance simultanément deux dés réguliers à six faces. On veut déterminer la probabilité
que la somme des dés soit un nombre pair, sachant qu’un des résultats est 2.
c) Dans un groupe de personnes, certaines parlent une seule langue alors que d’autres en parlent
deux ou trois. On veut connaître la probabilité de choisir au hasard une personne parlant anglais,
sachant qu’elle parle également espagnol.
d) Marilyse veut connaître la probabilité de gagner à la loterie, sachant que le billet qu’elle a acheté
contient six numéros.
e) On tire au hasard une carte dans un jeu régulier de 52 cartes. On veut connaître la probabilité
de choisir un roi, sachant que le symbole de la carte est un trèfle.
b), c) et e)
Les probabilités conditionnelles
©Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier LES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
91
3994-95_ObjMath_CST_Ch11_087-094.qxp:Layout 1 6/4/10 3:54 PM Page 91