Les probabilités conditionnelles

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GROUPE
CHAPITRE
11
DATE
S
LE
L
E
N
N
IO
IT
D
N
O
C
S
É
IT
IL
B
A
B
LES PRO
L’utilisation d’un arbre de probabilités
rappel
Un arbre de probabilités est un graphe permettant de représenter une expérience aléatoire.
On trouve, dans un arbre de probabilités :
• un niveau pour chaque épreuve de l’expérience ;
• un sommet pour chaque événement possible à la suite de l’épreuve ;
• la probabilité d’un événement sur l’arête correspondante à cet événement.
Exemple : On lance deux fois une pièce
de monnaie truquée qui fait que la probabilité
d’obtenir pile est 0,6.
0,6
P
P
0,4
0,6
F
On peut calculer la probabilité qu’une suite d’événements
se produise en multipliant les probabilités sur les branches
que l’on doit parcourir pour représenter cette suite
d’événements. Dans l’exemple, la probabilité d’obtenir
deux fois pile est 0,6 ⫻ 0,6 ⫽ 0,36.
0,6
0,4
P
F
0,4
F
1er lancer
de la pièce
2e lancer
de la pièce
1. On effectue deux tirages avec remise dans une urne contenant trois boules blanches
et sept boules noires.
a) Représentez cette expérience à l’aide d’un arbre
de probabilités.
0,3
B
b) Calculez la probabilité de tirer deux boules noires.
B
0,7
0,3
N
0,3
0,7
0,49
N
B
0,7
c) Calculez la probabilité de tirer deux boules
de la même couleur.
N
er
1 tirage
e
2 tirage
B : Tirer une boule blanche.
N : Tirer une boule noire.
0,58
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2. On effectue deux tirages dans deux urnes différentes. La première urne contient deux boules bleues,
trois boules rouges et une boule blanche. La seconde urne contient trois boules bleues
et cinq boules rouges.
a) Complétez l’arbre de probabilités représentant cette situation.
3
8
5
8
1
2
⫽
3
6
1
3
⫽
2
6
1
6
3
8
5
8
3
8
P(•, •) ⫽
1
6
⫽
8
48
P(•, •) ⫽
10
5
⫽
48
24
P(•, •) ⫽
9
3
⫽
48
16
P(•, •) ⫽
5
15
⫽
16
48
P( , •) ⫽
3
1
⫽
48
16
P( , •) ⫽
5
48
5
8
b) Calculez la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes.
27 = 9
48 16
3. On choisit, au hasard, 2 élèves dans une classe de 30 élèves. On sait que la classe compte 18 filles
et 12 garçons.
a) À l’aide d’un arbre de probabilités, représentez les résultats possibles de ces deux choix.
F
17
29
3
18
⫽
5
30
F
12
29
G
2
12
⫽
5
30
18
29
F
G
1er tirage
11
29
2e tirage
G
b) Déterminez la probabilité de choisir au hasard un garçon au deuxième tour si la première
personne choisie est une fille.
12
29
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L’utilisation d’un diagramme de Venn
rappel
• Un diagramme de Venn permet de représenter des ensembles et les relations entre les éléments
de ces ensembles.
• Dans le cadre de l’étude des probabilités, les ensembles qui sont ici analysés contiennent des
résultats obtenus à la suite d’une expérience aléatoire ou des caractéristiques d’une population.
Exemple :
Soit un groupe de personnes dans lequel
se trouvent 30 hommes et 25 femmes.
Parmi les hommes, 9 sont des
végétariens et, parmi les femmes,
6 sont végétariennes. On peut
représenter cette situation à l’aide
du diagramme de Venn ci-contre.
Végétariens
Hommes
6
9
Groupe de
55 personnes
21
19
4. Un sondage a révélé que, dans un groupe de 182 élèves de 5e secondaire d’une école, 60 ont un emploi
à temps partiel. Parmi ces jeunes qui travaillent, 28 sont des filles. On sait que le nombre total
de garçons est de 98.
a) Quelles sont les deux caractéristiques permettant de classer ces élèves ?
1)
Être une fille ou un garçon.
2)
Occuper ou non un emploi.
b) Représentez ces données à l’aide d’un diagramme de Venn.
Occupe un emploi.
Filles
56
28
Élèves de
5e secondaire
32
66
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5. On lance deux dés réguliers à six faces et on s’intéresse à la somme des deux nombres obtenus.
On veut séparer les 36 résultats possibles selon 3 caractéristiques différentes.
a) Complétez le diagramme de Venn suivant.
La somme est
plus grande
que 5.
La somme
est paire.
8
8
Résultats à la
suite du lancer
de deux dés
4
6
4
4
0
2
La somme est
un multiple de 3.
b) Calculez la probabilité d’obtenir une somme paire.
1
2
c) Calculez la probabilité d’obtenir une somme plus grande que 5.
13
18
d) Calculez la probabilité d’obtenir une somme plus petite ou égale à 5.
5
18
e) Calculez la probabilité d’obtenir une somme qui est un multiple de 3 et qui est plus grande que 5.
5
18
f) Parmi les résultats qui sont des multiples de 3, combien représentent une somme plus grande que 5 ?
10
g) Si on sait que la somme est un multiple de 3, quelle est la probabilité qu’elle soit également plus
grande que 5 ?
5
6
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Les probabilités conditionnelles
rappel
• La probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement se produise si un autre événement
s’est déjà produit.
• Si A et B sont deux événements de l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire,
alors la probabilité conditionnelle que l’événement A se produise si l’événement B s’est déjà produit
est donnée par la formule suivante :
P ( A B)
P ( A 兩 B) ⫽
P( B )
où A B représente l’intersection des ensembles A et B.
6. Parmi les situations suivantes, lesquelles traite-t-on à l’aide des probabilités conditionnelles ?
a) Un étudiant passe un examen où 10 questions à choix multiple sont posées. On s’intéresse
à la probabilité que l’étudiant obtienne la note de passage, sachant qu’il répond aléatoirement
à chacune des questions.
b) On lance simultanément deux dés réguliers à six faces. On veut déterminer la probabilité
que la somme des dés soit un nombre pair, sachant qu’un des résultats est 2.
c) Dans un groupe de personnes, certaines parlent une seule langue alors que d’autres en parlent
deux ou trois. On veut connaître la probabilité de choisir au hasard une personne parlant anglais,
sachant qu’elle parle également espagnol.
d) Marilyse veut connaître la probabilité de gagner à la loterie, sachant que le billet qu’elle a acheté
contient six numéros.
e) On tire au hasard une carte dans un jeu régulier de 52 cartes. On veut connaître la probabilité
de choisir un roi, sachant que le symbole de la carte est un trèfle.
b), c) et e)
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DATE
7. Une urne contient trois boules bleues, deux boules jaunes et quatre boules noires. On effectue
deux tirages sans remise.
a) Représentez cette situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
1
2
⫽
4
8
B
B
1
2
⫽
4
8
J
1
4
⫽
2
8
1
3
⫽
3
9
2
9
J
3
8
N
B
1
8
1
4
⫽
2
8
4
9
N
3
8
J
N
B
1
2
⫽
4
8
J
3
8
N
b) Calculez la probabilité de tirer deux boules de la même couleur.
5
18
c) Calculez la probabilité de tirer une boule bleue dans le deuxième tirage, sachant que la première
boule tirée est jaune.
3
8
d) Calculez la probabilité de tirer une boule noire dans le deuxième tirage, sachant que la première
boule tirée n’est pas noire.
1
2
e) Soit les événements suivants :
A : tirer une boule bleue au premier tirage ;
B : tirer une boule noire au deuxième tirage.
Indiquez, sur l’arbre, à quoi correspond P (B 兩 A).
Il s’agit du parcours des branches 1 au premier niveau et 3 au deuxième niveau.
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NOM
GROUPE
DATE
8. Parmi les employés d’un restaurant, 60 % sont affectés au service. De ces travailleurs, 70 % sont
des femmes alors que, parmi les travailleurs affectés à d’autres tâches que le service, 40 % sont
des femmes.
a) Remplissez le tableau à doubles entrées suivant sachant que le restaurant compte un total
de 50 employés.
Hommes
Femmes
Total
Service
9
21
30
Autres postes
12
8
20
Total
21
29
50
b) Représentez les données à l’aide d’un diagramme de Venn.
Service
Hommes
21
9
Employés
du restaurant
12
8
c) Si on choisit une personne au hasard parmi les employés de ce restaurant, quelle est la probabilité :
1)
que ce soit une femme, sachant qu’elle est serveuse ?
7
10
2)
que ce soit une personne affectée au service, sachant que c’est un homme ?
3
7
3)
que ce soit une femme, sachant qu’elle occupe le poste de comptable ?
2
5
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DATE
9. Une entreprise pharmaceutique a mis au point un test de dépistage pour une maladie. On effectue une
étude afin de vérifier l’efficacité du test. Lorsqu’une personne est atteinte de la maladie, la probabilité
que le test permette de la dépister est de 95 %. Lorsqu’une personne n’est pas atteinte de la maladie,
la probabilité que le test mène tout de même au dépistage de la maladie est de 2 % ; ainsi, le test amène
à prétendre que la personne est atteinte de la maladie sans que ce soit le cas. On sait que la maladie est
présente chez 1 % de la population. On veut faire passer le test à un échantillon de 10 000 personnes.
a) Remplissez le tableau suivant.
La personne est
atteinte de la maladie.
La personne n’est pas
atteinte de la maladie.
Total
Le test dépiste
la maladie.
95
198
293
Le test ne dépiste
pas la maladie.
5
9702
9707
100
9900
10 000
Total
b) Soit les événements suivants :
A : Le test dépiste la maladie ;
B : La personne est atteinte de la maladie.
1)
Indiquez où se trouve, dans le tableau, l’ensemble A ∩ B.
Dans la case en haut à gauche.
2)
Pour vérifier l’efficacité de ce test, on calcule la probabilité qu’une personne soit atteinte, sachant
que le test dépiste la maladie. Exprimez cette probabilité à l’aide des lettres A et B.
P (B 兩 A )
3)
Quelle est la valeur de cette probabilité ?
95 ≈ 0, 32
293
4)
Diriez-vous que le test est efficace ? Serait-il plus efficace si la proportion de gens atteints dans
la population était plus grande ? Expliquez votre réponse.
Le test n’est pas efficace. Il serait plus efficace si la proportion de gens atteints dans la population
était plus grande puisque la probabilité de dépister la maladie chez une personne atteinte serait
alors plus grande.
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