1 L`algèbre des polynômes

Polynômes
27 février 2008
Comme toujours, Kdésigne Rou C.
1 L’algèbre des polynômes
1.1 Suites à support fini
Définition 1.1
PKP P
P={n∈N|Pn6= 0}
Définition 1.2
K
K[X]
On parle aussi de suites dont presque tous les termes sont nuls.
Exemple 1.3
Dans la mesure où, par définition, ;est fini, toute suite de support vide est un polynôme. Mais en
fait, il n’y a qu’une seule et unique suite de support vide puisque
∀P∈K[X] SuppP = ; ⇐⇒ ∀n∈NPn=0
Le seul polynôme de support vide est donc celui dont tous les termes sont nuls. Naturellement, on
l’appelle polynôme nul et on le note 0 dans la suite du cours.
Il y a plein d’autres exemples de polynômes. Par exemple, la suite de support {0,1}, définie par
P0=1 P1=1
Proposition 1.4
Soit Pun polynôme non nul. Le support de Pest non vide majoré.
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Preuve : Comme expliqué dans l’exemple ci-dessus, le fait que SuppP soit vide équivaut à la
nullité de P. Et il est majoré, comme toute partie finie de N.ä
Définition 1.5
P
•P P P
•P P P
−∞ +∞
Remarquons que ces notions de degré et valuation d’un polynôme non nul existent
bien, puisque son support n’est pas vide et majoré.
Définition 1.6
PpP
P PpP P
P P =P0
Naturellement, puisque les polynômes sont des fonctions définies sur Net que leurs
coefficients sont les valeurs de ces fonctions, deux polynômes sont égaux si, et seule-
ment si, ils ont les mêmes coefficients.
1.2 Structure d’espace vectoriel
Comme K[X] est un sous-ensemble de l’espace KNdes fonctions de Ndans K(qu’on a
appelées « suites »), on peut raisonnablement se demander s’il s’agit d’un sous-espace vecto-
riel pour les opérations d’addition des suites et de multiplication par un scalaire. On définit
donc
∀(P,Q) ∈K[X]2∀n∈N(P+Q)n=Pn+Qn
et ∀λ∈K∀P∈K[X] ∀n∈N(λP)n=λPn
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Théorème 1.7
Muni de ces opérations, K[X] est un sous-espace vectoriel de KN. De plus
∀(P,Q) ∈K[X]2(deg(P +Q) ÉMax(degP,degQ)
val(P+Q) ÊMin(valP,valQ)
et ∀λ∈K\{0} ∀P∈K[X] (deg(λP) =degP
val(λP) =valP
Preuve : Il suffit de montrer que K[X] est stable par addition et par multiplication par les
scalaires.
On se donne P et Q deux polynômes. Si l’un des deux est nul, il est clair que P +Q est un
polynôme et que les inégalités sur le degré et la valuation sont vérifiées. On suppose donc
qu’aucun des deux n’est nul. Par définition du degré et de la valuation, on a
∀nÊMax(degP,degQ) Pn=0 et Qn=0
donc ∀nÊMax(degP,degQ) Pn+Qn=0
En d’autres termes, Supp(P +Q) ⊂[[0; Max(degP,degQ)]]
On sait qu’un ensemble est fini si, et seulement si, il est majoré ; donc Supp(P+Q) est fini :
P+Q est un polynôme et on a immédiatement
deg(P+Q) ÉMax(degP,degQ)
si Supp(P +Q) n’est pas vide. Évidemment, cette inégalité est immédiate si Supp(P +Q) est
vide, puisque le polynôme nul a pour degré −∞. On a, tout aussi facilement, que
∀nÉMin(valP,valQ) Pn+Qn=0
donc val(P+Q) ÊMin(valP,valQ)
On passe maintenant à la multiplication par les scalaires. Soient P un polynôme et λun
scalaire. Si λest nul, alors λP est le polynôme nul ; en particulier c’est un polynôme. Donc
on suppose maintenant que λn’est pas nul. Dans la mesure où un produit est nul si et seule-
ment si un de ses termes est nul, on a
∀n∈NλPn=0⇐⇒ Pn=0
donc Supp(λP) =SuppP
λP est donc un polynôme, de mêmes degré et valuation que P. ä
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1.3 Structure d’algèbre
Nous allons maintenant définir une nouvelle opération interne entre les polynômes, ap-
pelée multiplication. Elle est fondée sur le
Lemme 1.8
Soient Pet Qdeux polynômes. On pose
∀n∈N(PQ)n=
n
P
k=0PkQn−k
La suite PQ est en fait un polynôme, de degré degP+degQet de valuation valP+valQ. On
l’appelle
produit des polynômes Pet Q.
Preuve : On suppose que ni P ni Q n’est nul, car dans ce cas le lemme est trivial : PQ est
simplement le polynôme nul. Posons
p=degP et q=degQ
Soit nÊp+q+1. Alors
∀kÉp−kÊ −pd’où n−kÊq+1
Par conséquent, ∀k∈[[0; p]] PkQn−k
|{z}
=0
=0
et évidemment, ∀k∈[[1+p;n]] Pk
|{z}
=0
Qn−k=0
donc (PQ)n=0
Ceci montre que le support de la suite PQ est borné (donc fini), puisqu’inclus dans [[0; p+
q]]. Donc PQ est un polynôme, de degré inférieur à p+q. Reste à montrer que le terme de
degré p+qn’est pas nul. Il vaut, par définition,
(PQ)p+q=
p+q
P
k=0PkQp+q−k
Mais comme Pk=0 si k>pet Qp+q−k=0 si k<p, on a
(PQ)p+q=PpQq
qui n’est pas nul, puisque ni Ppni Qqn’est nul. La partie sur la valuation se démontre de la
même manière. ä
Proposition 1.9
La multiplication (interne) des polynômes vérifie les propriétés suivantes :
1. Elle est commutative : ∀(P,Q) ∈K[X]2PQ =QP ;
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2. Elle est associative : ∀(P,Q,R) ∈K[X]3P(QR) =(PQ)R ;
3. Elle est distributive sur l’addition : ∀(P,Q,R) ∈K[X]3P(Q+R) =PQ+PR ;
4. Elle est compatible avec la multiplication externe :
∀(P,Q) ∈K[X]2∀λ∈Kλ(PQ) =(λP)Q
5. Elle admet un élément neutre, qui est le polynôme unitaire de degré 0. On note ce poly-
nôme 1.
Preuve : La plupart de ces propositions sont des trivialités, conséquences immédiates des
propriétés connues sur les éléments de K. On se donne trois polynômes P, Q et R et un sca-
laire K. On a
∀n∈N(PQ)n=
n
X
k=0
PkQn−k=
n
X
k=0
Pn−kQk
|{z }
changement d’indice k=n−k
=
n
P
k=0QkPn−k=(QP)n
∀n∈N¡P(Q+R)¢n=
n
P
k=0Pk(Q+R)n−k=
n
P
k=0Pk(Qn−k+Rn−k)
=
n
P
k=0PkQn−k+
n
P
k=0PkRn−k=(PQ)n+(PR)n
et ∀n∈N¡(λP)Q¢n=
n
P
k=0(λP)kQn−k=
n
P
k=0
λPkQn−k=λ
n
P
k=0PkQn−k=λ(PQ)n
Ces relations démontrent les propriétés
1, 3, 4 .
La proposition annonce un élément neutre, qui serait l’unique polynôme unitaire de de-
gré 0. Déjà, cet « unique polynôme unitaire de degré 0 » existe-t-il ? Un polynôme de degré
0 est entièrement déterminé par son terme de degré 0, puisque tous les autres termes sont
nuls. Le fait qu’il soit unitaire impose à ce coefficient de valoir 1. Donc il existe en effet un et
un seul polynôme unitaire de degré 0 et il est défini par
∀n∈N1n=½0 si nÊ1
1 si n=0
Vérifions qu’il est neutre pour la multiplication : si P est n’importe quel polynôme, on a ef-
fectivement
∀n∈N(1P)n=
n
P
k=01kPn−k=10Pn+
n
P
k=11k
|{z}
=0
Pn−k=Pn
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