Probabilités et Statistiques Exercices

Probabilités et Statistiques
IUP MIAGE
Licence
2005-06
Exercices
Gilles Faÿ
UFR de Mathématiques
Université des Sciences et Technologies de Lille
[email protected]
http ://math.univ-lille1.fr/∼fay
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Universit´e des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques
IUP MIAGE 2ème année Année 2005-06
Fiche 1. Analyse combinatoire et premiers calculs de probabilités
Ex 1. 1) En considérant les lettres de l’alphabet : Combien peut-on former de mots de 2
lettres ? Combien peut-on former de mots de 2 lettres constitués d’une consonne suivie d’une
voyelle ? Combien peut-on former de mots de 2 lettres constitués d’une consonne et d’une
voyelle ?
2) Combien d’équipes de 3 personnes peut-on former à partir d’un groupe de 5 personnes ?
3) Combien de manières de placer 9 convives autour d’une table ronde ? D’une table rec-
tangulaire (avec un “président de table”) ?
4) Avec 17 chevaux au départ, combien y a-t-il de tiercés possibles ? Dans le désordre ?
Combien y-a-t il de tiercé dans l’ordre en autorisant les ex-aequo ?
Ex 2. On tire 8 cartes dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de
1) tirer tous les coeurs ?
2) tirer les 4 as ?
3) tirer 5 coeurs et 3 trèfles ?
4) tirer 5 coeurs ni plus ni moins et 3 rois ni plus ni moins ?
Ex 3. Combien de fois faut-il lancer une pièce bien équilibrée pour que la probabilité de ne
faire aucune face soit inférieure à 1
100 ?
Ex 4. On forme un comité de 4 membres choisis au hasard parmi 7 personnes dont 2 frères.
Quelle est la probabilité pour que les deux frères soient choisis ? Pour que l’un d’entre eux au
moins soit choisi ? Pour qu’aucun ne soit choisi ?
Ex 5. Dans une loterie où les billets sont numérotés de 000 000 à 999 999, quelle est la
probabilité pour que les 6 chiffres d’un billet pris au hasard soient tous différents ?
Ex 6. Une urne contient n boules blanches (n≥5) et 10 boules noires. On tire au hasard et
simultanément 10 boules de l’urne.
1) Quelle est la probabilité pnpour que l’on ait tiré exactement 5 boules noires ?
2) Etudier le sens de variation de la suite pnet calculer limn→∞ pn.
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Ex 7. On place dans une urne 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire 2 boules.
1) Quelle est la probabilité pour que la somme des points obtenus soit paire si on tire les
boules simultanément ?
2) Quelle est la probabilité pour que la somme des points obtenus soit paire si on tire les
boules successivement et avec remise entre les tirages ?
3) Quelle est la probabilité pour que la somme des points obtenus soit paire si on tire les
boules successivement et sans remise entre les tirages ?
Ex 8. Soient Aet Bdes événements tels que P(A) = 1
5et P(A∪B) = 1 2.
1) Supposons que Aet Bsoient des événements incompatibles. Calculer P(B).
2) Supposons que Aet Bsoient des événements indépendants. Calculer P(B).
3) Calculer P(B)en supposant que l’événement Ane peut être réalisé que si l’événement
Best réalisé.
Ex 9. 1) Montrer que, pour 3 événements A, B et Cquelconques, on a
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C) + P(A∩B∩C)
2) Généraliser dans le cas de névénements A1, ..., Anquelconques.
Ex 10. Soient A, B et Cdes événements, E1=A∩B∩Cet E2=A∩(B∪C)
1) Montrer que E1et E2sont incompatibles.
2) Déterminer l’ensemble E1∪E2.
3) On sait que P(A)=0.6,P(B)=0.4P(C)=0.3P(B∩C)=0.1,P(A∩C) =
0.1,P(A∩B) = 0.2et P(A∩B∩C) = 0.05 . Calculer P(E1)et P(E2).
Ex 11. Soit Ω={1,2,...,9,10}.
1) Déterminer la probabilité Psur Ωtelle que P({i})soit proportionnel à i. Calculer
P({résultat pair}) et P({résultat premier}).
2) Déterminer la probabilité P0sur Ωtelle que les nombres pi=P0({i})vérifient les 2
conditions : p10 = 2p1et pi=a+b.i ∀i∈Ω. Calculer P0({le résultat est un carré parfait}).
Ex 12. On lance un dé pipé de telle sorte que la probabilité d’apparition d’une face soit
proportionnelle au numéro inscrit sur cette face. Quelle est la probabilité d’apparition de chaque
face ?
Ex 13. On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à nper-
sonnes (n≥2). Deux amis A et B se trouvent dans cette file d’attente.
1) Quelle est la probabilité que les deux amis soient situés l’un derrière l’autre ?
2) Quelle est la probabilité que les deux amis soient distants de rplaces (i.e. séparés par
r−1personnes) ?
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U.F.R. de Mathématiques
IUP MIAGE 2ème année Année 2005-06
Fiche 2. Probabilités conditionnelles - Formule de Bayes
Ex 1. Un conducteur sobre a une chance sur 1000 d’avoir un accident de voiture au cours
d’une période ; un conducteur ivre a une chance sur 50 d’avoir un accident au cours de la même
période. On admet qu’un conducteur sur 100 conduit en état d’ivresse. Quelle est la probabilité
pour qu’il y ait un accident et que le conducteur soit ivre ? Lorsqu’il y a un accident, quelle est
la probabilité pour que le conducteur soit ivre ?
Ex 2. Deux usines fabriquent les mêmes pièces. La première en produit 70% de bonnes et
la deuxième 90%. Les deux usines fabriquent la même quantité de pièces.
1) Quel est le pourcentage de bonnes pièces sur l’ensemble du marché, supposé alimenté
par les 2 usines ?
2) On achète une pièce ; elle est bonne ; quelle est la probabilité pour qu’elle provienne de
la deuxième usine ?
3) Mêmes questions lorsque la première usine produit 2,5 fois plus que la deuxième.
Ex 3. On lance 2 fois un dé pipé tel que P{1}=P{3}=P{4}=1
8et P{2}=P{6}=1 4.
Quelle est la probabilité que la somme des points obtenus soit supérieure à dix (strictement)
sachant :
1) qu’un des résultats est 6 ?
2) que le premier résultat est 6 ?
Ex 4. Olivier, Xavier et Philippe jouent à la balle. Olivier envoie la balle à Xavier 3 fois
sur 4, et à Philippe 1 fois sur 4. Xavier l’envoie à Olivier 3 fois sur 4 et à Philippe 1 fois sur 4.
Philippe envoie toujours la balle à Xavier. Au départ Philippe a la balle.
1) Calculer les probabilités Pn,Qnet Rnqu’au ni`eme lancé, Olivier, Xavier et Philippe
respectivement aient la balle. (exprimer Pn,Qnet Rnen fonction de Pn−1,Qn−1et Rn−1)
2) Calculer les limites de Pn,Qnet Rnlorsque n tend vers l’infini.
Ex 5. Trois coffres notés C1, C2, C3ont chacun deux tiroirs, et dans chaque tiroir, il y a
une pièce. Le coffre C1contient 2 pièces d’or, C22 pièces d’argent et C3une pièce d’or et une
d’argent.
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