TS 2016 Exercices 1 Ch6. Probabilités Discrètes Exercice 1 : D

TS 2016 Exercices 1 Ch6. Probabilités Discrètes
Exercice 1 : D’après une enquête au près des abonnés d’un hebdomadaire, 33% d’entre eux lisent la page culture, 59% d’entre
eux lisent la page sports et 22% d’entre eux lisent les deux pages avec le même intérêt.
On interroge au hasard un abonné, on désigne par Cet Sles événements l’abonné lit la page culture et l’abonné lit la page sports.
1. Écrire à l’aide de C,S,Cet Sles événements
(a) L’abonné lit au moins une des deux pages.
(b) L’abonné ne lit ni l’une ni l’autre.
(c) L’abonné lit uniquement la page sports.
(d) L’abonné lit une seule de ces deux pages.
2. Déterminer les probabilités de ces quatre événements.
Exercice 2 : Lorsqu’il se rend à son travail en voiture, un automobiliste peut rencontrer deux aléas indépendants l’un de l’autre
,
. un feu tricolore, la probabilité qu’il soit rouge est 1
6celle qu’il soit orange 1 12
. un camion poubelle, à l’heure où il se rend à son travail, il a une chance sur trois de rester coincé derrière.
On note R, respectivement Oet Vl’événement le feu est Rouge, respectivement Orange et Vert et Cl’événement l’automobiliste
est coincé derrière le camion poubelle.
1. Construire un arbre de probabilités illustrant la situation.
2. Calculer la probabilité que l’automobiliste ne rencontre aucun de ces deux aléas.
3. L’automobiliste sera en retard à son travail s’il rencontre au moins un de ces aléas. Quelle est la probabilité qu’il soit en
retard à son travail ?
Exercice 3 : Vrai ou Faux.
On lance trois fois de suite un dé cubique supposé équilibré.
On a au moins une chance sur deux d’obtenir un 6 lors de ces trois lancers.
Exercice 4 : Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules noires.
A. On tire au hasard 3 boules successivement et avec remise. Xest la variable aléatoire indiquant le nombre de boules rouges
obtenues. Justifier que cette expérience est un schéma de Bernouilli et déterminer la loi de probabilité de X.
Donner E(X), V(X) et son écart type σ(X).
B. On tire au hasard 3 boules simultanément. Ydésigne le nombre de boules rouges obtenues. Ysuit-elle une loi binomiale ?
On admet que P(Y= 0) = 0,1 et P(Y= 1) = 0,6. Donner dans un tableau la loi de probabilité de Yet calculer E(Y),
V(Y) et σ(Y).
C. Pour comparer ces deux jeux : une boule rouge fait gagner 3eet une boule noire fait perdre 2e.G1, respectivement G2,
donne le gain algébrique obtenu par le joueur au cours d’une partie avec remise, respectivement sans remise.
1 Exprimer G1en fonction de Xet G2en fonction de Y. En déduire leurs espérances et leurs écart-types.
2 Les comparer et répondre à ces questions, en justifiant :
Les jeux sont-ils équitables ? Quel jeu vous paraît le plus risqué ?
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Exercice 5 : D’après Bac S Métropole 2012
Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante : le
cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier : 40% des dossiers reçus sont validés et transmis à l’entreprise. Les
candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretient à l’issue duquel 70% d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués
à un ultime entretien avec le DRH qui recrutera 25% des candidats rencontrés.
1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat. On considère les événements suivants :
—D: "Le candidat est retenu sur dossier".
—E1: "le candidat est retenu à l’issue du premier entretien".
—E2: "Le candidat est recruté".
(a) Compléter l’arbre pondéré ci-contre.
(b) Calculer la probabilité de l’événement E1.
(c) On note Fl’événement "le candidat n’est pas recruté".
Démontrer que p(F) = 0,93.
D
.....
E1
.....
E2
.....
E2
.....
E1
.....
D
.....
2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les
unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est de 0,07. On désigne par Xla variable aléatoire
donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.
(a) Justifier que Xsuit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
(b) Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. Arrondir à 10−3près.
3. (a) Montrer que le nombre minimum de dossiers que le cabinet doit traiter pour que la probabilité d’embaucher au moins
un candidat soit supérieure à 0,999 vérifie 0,93n≤10−3.
(b) Vérifier que n= 96 est ce nombre.
Exercice 6 :D’après Bac S Antilles-Guyane 2011.
.Les parties A et B sont indépendantes. Un site internet propose des jeux en lignes.
Partie A : Pour un premier jeu :
— si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est 2
5.
— si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à 4
5.
Pour tout entier non nul n, on désigne par Gnl’événement "l’internaute gagne la n−ième partie" et on note pnla probabilité de
l’événement Gn. L’internaute gagne toujours la première partie donc p1= 1.
1. Compléter l’arbre pondéré ci-contre.
2. Montrer que pour tout entier nnon nul, pn+1 =1
5pn+1 5.
3. Pour tout entier nnon nul, on pose un=pn−1
4.
(a) Montrer que (un)n≥1est une suite géométrique de raison 1
5et de premier terme
u1à préciser.
(b) Donner une expression de unen fonction de npuis de pnen fonction de n.
(c) Vers quelle valeur semble tendre pnlorsque ntend vers +∞?
Gn
pn
Gn+1
.....
Gn+1
.....
Gn
1−pn
Gn+1
.....
Gn+1
.....
Partie B : Pour un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties.
On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
La probabilité de gagner chaque partie est 1
4.
Soit Xla variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.
1. (a) Justifier que Xsuit une loi binomiale B(10; 1
4).
(b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Arrondir à 10−2près.
(c) Déterminer l’espérance de X.
2. Le joueur doit payer 30epour jouer 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8e. Expliquer pourquoi ce jeu est désa-
vantageux pour le joueur.
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