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TS : Notion de loi à densité
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Notion de loi à densité
I. Loi à densité sur un intervalle
On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une probabilité.
(A) Variable aléatoire continue
Définition 1
Une variable aléatoire continue X est une fonction qui à chaque issue de Ω associe un nombre
réel d’un intervalle I de R.
Exemple
La variable aléatoire égale à la durée de bon fonctionnement d’un équipement produit en grande
série est une variable aléatoire continue.
(B) Loi de probabilité à densité
Définition 2
X est une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I et f est une fonction continue,
positive sur I telle que
Z b
Z x
l
f (t )d t = 1 si I=[a; b]
l lim
f (t )d t = 1 si I=[a; +∞[
x→+∞ a
a
Dire que P est la loi de probabilité de densité f de X signifie que pour tout intervalle J inclus dans
I, la probabilité P(X ∈ J) est égale à l’aire du domaine {M(x; y) ; x ∈ J et 0 ≤ y ≤ f (x)}.
Propriété 1
(1) Pour tout nombre réel c de I, P(X = c) = 0.
(2) P(c ≤ X ≤ d ) =P(c ≤ X < d ) =P(c < X ≤ d ) =P(c < X < d ).
On note (c; d ) un intervalle de
Z bornes c et d .
d
(3) Si J=(c; d ), alors P(x ∈ J)=
f (t )d t .
c
Z
(4) Si I=]a; +∞[ et si c est un nombre réel tel que c > a : P(X > c) = 1−P(a < X < c) = 1 −
Démonstration
Z c
(1) En effet, P(X = c) =P(c ≤ X ≤ c) =
f (t )d t .
c
(2) Se déduit de (1).
Z d
(3) On sait que l’aire du domaine {M(x; y) ; x ∈ J et 0 ≤ y ≤ f (x)} est égale, en unités d’aire, à
1
f (t )d t .
c
c
f (t )d t .
a
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II. Loi uniforme sur (a; b]
(A) Définition et propriétés
Définition 3
a et b désignent deux nombres réels distincts avec a < b.
Dire qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a; b] signifie que la densité
de probabilité est une fonction constante sur [a; b].
Propriété 2
La densité de probabilité de la loi uniforme sur [a; b] est la fonction f définie sur [a; b] par
f (x) =
1
.
b−a
Démonstration
f est une fonction constante sur [a; b] définie par f (x) = λ.
Z b
On doit avoir
λd t = 1 c’est-à-dire [λt ]ba = 1.
a
Soit λb − λa = 1. D’où λ =
1
.
b−a
Propriété 3
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Pour tout intervalle [c; d ] inclus dans [a; b] :
P(c ≤ X ≤ d ) =
Démonstration
Z d
P(c ≤ X ≤ d ) =
c
d −c
.
b−a
h 1 id
1
1
1
d −c
dt =
t =
d−
c=
.
b−a
b−a c
b−a
b−a
b−a
Remarques
l Par convention, choisir un nombre au hasard dans un intervalle [a; b], c’est le choisir selon la loi uniforme sur [a; b].
Un instant d’arrivée au hasard dans un intervalle de temps [a; b] suit une loi uniforme.
l En particulier, pour la loi uniforme sur [0; 1] et pour tout nombres réels c
P(c ≤ X ≤ d ) =
et d de [0; 1],
d −c
= d − c.
1−0
Donc la probabilité de choisir un nombre au hasard entre c et d est égale à la longueur de [c; d ].
(B) Espérance
Définition 4
Z
b
L’espérance d’une variable aléatoire X de densité f sur [a; b] est le nombre réel : E(X)=
t f (t )d t .
a
Propriété 4
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
a +b
Son espérance est E(X)=
.
2
Z b
Démonstration E(X)=
1
a b−a
tdt =
1 2 ib 1 b 2 − a 2 b + a
t
=
=
.
a
2 b−a
2 b−a
2
h1
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III. Lois exponentielles
(A) Définition et propriétés
Définition 5
λ désigne un nombre réel strictement positif.
Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ sur [0; +∞[ signifie que sa
densité de probabilité est définie sur [0; +∞[ par f (x) = λe −λx .
Remarque : La loi exponentielle se retrouve dans le contexte de la durée de vie d’un système non sujet à l’usure du temps (fonctionnement de
composants électroniques), du temps d’attente d’un événement accidentel (tremblements de terre, désintégration d’un noyau radioactif...).
Propriété 5
X est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
Pour tout intervalle [c; d ] inclus dans [0; +∞[ :
(1) P(c ≤ X ≤ d ) = e −λc − e −λd
(2) P(X ≥ c) = e −λc
Démonstration
Z d
(1) P(c ≤ X ≤ d ) =
c
£
¤d
λe −λt d t = − e −λt c = −e −λd + e −λc = e −λc − e −λd .
(2) P(X ≥ c) = 1 − P(0 ≤ X ≤ c)
= 1 − (e −0λ − e −λc ) d’après (1)
= 1 − (1 − e −λc ) = e −λc .
(B) Espérance
Propriété 6
1
L’espérance d’une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ est E(X)= .
λ
Démonstration ROC
Z x
Z x
E(x)= lim
t × λe −λt d t = lim
λt e −λt d t
x→+∞ 0
x→+∞ 0
Cherchons d’abord une primitive G sur [0; +∞[ de la fonction g (t ) = λt e −λt .
On cherche cette primitive sous la forme G(t ) = (at + b)e −λt où a et b sont des nombres réels à préciser.
Or G est dérivable sur [0; +∞[ et pour tout nombre réel t ≥ 0, on a :
G 0 (t ) = ae −λt + (at + b)(−λ)e −λt = (−aλt + a − λb)e −λt .
(
½
a =
−a
= 1
Ainsi, G 0 (t ) = λe −λt si, et seulement si,
c’est-à-dire
a − λb = 0
b =
³
1 ´ −λt
On a donc G(t ) = − t −
e
.
λ
Z x
h³
1 ´ −λt ix ³
1 ´ −λx 1
Donc
t × λe −λt d t = − t −
e
= −x −
e
+ .
0
λ
λ
λ
0
Z x
1
−λx
−λx
Or lim e
= 0 et lim xe
= 0 donc E(X)= lim
t × λe −λt d t = .
x→+∞
x→+∞
x→+∞ 0
λ
−1
1
−
λ
Exercices no 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 22 p 418 - 419
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