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TS : Notion de loi à densité page 1
Notion de loi à densité
I.Loi à densité sur un intervalle
On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une probabilité.
(A)Variable aléatoire continue
Définition 1
Une variable aléatoire continue X est une fonction qui à chaque issue de Ωassocie un nombre
réel d’un intervalle I de R.
Exemple
La variable aléatoire égale à la durée de bon fonctionnement d’un équipement produit en grande
série est une variable aléatoire continue.
(B)Loi de probabilité à densité
Définition 2
X est une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I et fest une fonction continue,
positive sur I telle que
lZb
a
f(t)d t =1 si I=[a;b]llim
x→+∞ Zx
a
f(t)d t =1 si I=[a;+∞[
Dire que P est la loi de probabilité de densité fde X signifie que pour tout intervalle J inclus dans
I, la probabilité P(X ∈J) est égale à l’aire du domaine {M(x;y) ; x∈J et 0 ≤y≤f(x)}.
Propriété 1
(1) Pour tout nombre réel cde I, P(X=c)=0.
(2) P(c≤X≤d)=P(c≤X<d)=P(c<X≤d)=P(c<X<d).
On note (c;d) un intervalle de bornes cet d.
(3) Si J=(c;d), alors P(x∈J)=Zd
c
f(t)d t .
(4) Si I=]a;+∞[ et si c est un nombre réel tel que c>a:P(X>c)=1−P(a<X<c)=1−Zc
a
f(t)d t .
Démonstration
(1) En effet, P(X =c)=P(c≤X≤c)=Zc
c
f(t)d t .
(2) Se déduit de (1).
(3) On sait que l’aire du domaine {M(x;y) ; x∈J et 0 ≤y≤f(x)} est égale, en unités d’aire, à Zd
c
f(t)d t .
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TS : Notion de loi à densité page 2
II.Loi uniforme sur (a;b]
(A)Définition et propriétés
Définition 3
aet bdésignent deux nombres réels distincts avec a<b.
Dire qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a;b]signifie que la densité
de probabilité est une fonction constante sur [a;b].
Propriété 2
La densité de probabilité de la loi uniforme sur [a;b] est la fonction fdéfinie sur [a;b] par
f(x)=1
b−a.
Démonstration
fest une fonction constante sur [a;b] définie par f(x)=λ.
On doit avoir Zb
a
λd t =1 c’est-à-dire [λt]b
a=1.
Soit λb−λa=1. D’où λ=1
b−a.
Propriété 3
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b].
Pour tout intervalle [c;d] inclus dans [a;b] :
P(c≤X≤d)=d−c
b−a.
Démonstration
P(c≤X≤d)=Zd
c
1
b−ad t =h1 b−atid
c
=1
b−ad−1 b−ac=d−c b−a.
Remarques
lPar convention, choisir un nombre au hasard dans un intervalle [a;b], c’est le choisir selon la loi uniforme sur [a;b].
Un instant d’arrivée au hasard dans un intervalle de temps [a;b] suit une loi uniforme.
lEn particulier, pour la loi uniforme sur [0; 1] et pour tout nombres réels cet dde [0;1],
P(c≤X≤d)=d−c
1−0=d−c.
Donc la probabilité de choisir un nombre au hasard entre cet dest égale à la longueur de [c;d].
(B)Espérance
Définition 4
L’espérance d’une variable aléatoire X de densité fsur [a;b] est le nombre réel : E(X)=Zb
a
t f (t)d t .
Propriété 4
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b].
Son espérance est E(X)= a+b
2.
Démonstration E(X)=Zb
a
1
b−at d t =h1 2
1
b−at2ib
a
=1
2
b2−a2
b−a=b+a 2.
Exercices no5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 p 417 - 418
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TS : Notion de loi à densité page 3
III.Lois exponentielles
(A)Définition et propriétés
Définition 5
λdésigne un nombre réel strictement positif.
Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λsur [0;+∞[ signifie que sa
densité de probabilité est définie sur [0;+∞[ par f(x)=λe−λx.
Remarque : La loi exponentielle se retrouve dans le contexte de la durée de vie d’un système non sujet à l’usure du temps (fonctionnement de
composants électroniques), du temps d’attente d’un événement accidentel (tremblements de terre, désintégration d’un noyau radioactif...).
Propriété 5
X est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
Pour tout intervalle [c;d] inclus dans [0;+∞[ :
(1) P(c≤X≤d)=e−λc−e−λd
(2) P(X≥c)=e−λc
Démonstration
(1) P(c≤X≤d)=Zd
c
λe−λtd t =£−e−λt¤d
c= −e−λd+e−λc=e−λc−e−λd.
(2) P(X ≥c)=1−P(0 ≤X≤c)
=1−(e−0λ−e−λc) d’après (1)
=1−(1 −e−λc)=e−λc.
(B)Espérance
Propriété 6
L’espérance d’une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λest E(X)= 1
λ.
Démonstration ROC
E(x)=lim
x→+∞ Zx
0
t×λe−λtd t =lim
x→+∞ Zx
0
λte−λtd t
Cherchons d’abord une primitive Gsur [0;+∞[ de la fonction g(t)=λte−λt.
On cherche cette primitive sous la forme G(t)=(at +b)e−λtoù aet bsont des nombres réels à préciser.
Or Gest dérivable sur [0;+∞[ et pour tout nombre réel t≥0, on a :
G0(t)=ae−λt+(at +b)(−λ)e−λt=(−aλt+a−λb)e−λt.
Ainsi, G0(t)=λe−λtsi, et seulement si, ½−a=1
a−λb=0c’est-à-dire (a= −1
b= − 1
λ
On a donc G(t)=³−t−1
λ´e−λt.
Donc Zx
0
t×λe−λtd t =h³−t−1
λ´e−λtix
0
=³−x−1
λ´e−λx+1 λ.
Or lim
x→+∞ e−λx=0 et lim x→+∞ xe−λx=0 donc E(X)=lim x→+∞ Zx
0
t×λe−λtd t =1
λ.
Exercices no13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 22 p 418 - 419
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