R.O.C programme terminale S, 2013 Fonction exponentielle

R.O.C programme terminale S, 2013
Fonction exponentielle
Théorème
Il existe une fonction unique f, dérivable sur
ℝ
, telle que f ' = f et f(0) = 1
Démonstration :
Limite d'une suite
Démonstration :
Démonstration :
Démonstration :
Démonstration :
Probabilité : conditionnement et indépendance
Propriété
Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire muni d'une loi de probabilité p.
Si l'événement A est indépendant de l'événement B alors
A
est indépendant de B.
Démonstration :
Intégration
Théorème :
Si f est continue et positive sur un intervalle [a ; b] alors la fonction F définie par
Fx=∫
a
x
ftdt
est dérivable sur [a ; b] et F'=f, F est une primitive de f.
Démonstration (dans le cas où f est positive et croissante sur I) :
Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Démonstration (dans le cas où f est définie sur un intervalle fermé et admet un minimum sur cet
intervalle) :
Géométrie vectorielle
Démonstration du théorème du toit
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Loi de probabilité à densité
Propriété : Espérance d'une loi exponentielle de paramètre λ
L'espérance d'une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ sur
[ a ;+∞ [
est le nombre
réel
E(X)= 1
λ
.
Démonstration :
Propriété :
Une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement.
Démonstration :
Loi normale centrée réduite – Loi normale
Théorème
Si X suit une loi normale centrée réduite N(0,1) alors pour tout réel
α∈ ] 0,1 [
il existe un unique réel
Uα
positif tel que
P(−Uα≤X≤Uα)=1−α
.
Démonstration :
Produit scalaire
Propriétés
L'ensemble des points de l'espace qui vérifient l'équation ax+by+cz+d=0 (
(a ,b , c)≠(0, 0, 0)
, d est un
réel) est un plan de vecteur normal
⃗
u(a , b , c)
.
Démonstration
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Propriétés
Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites
sécantes du plan
Démonstration
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Intervalle de fluctuation – Intervalle de confiance - Estimation d'une proportion
Intervalle de fluctuation asymptotique
On s'intéresse au caractère d'une population dont on connaît la probabilité p.
A chaque échantillon de la population de taille n la variable aléatoire
Xn
qui donne le nombre d'individus qui vérifie
ce caractère suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Xn
n
correspond à la variable aléatoire fréquence qui, à tout échantillon de taille n, associe la fréquence obtenue.
Propriété
Si la variable aléatoire
Xn
suit la loi binomiale B(n,p), alors, pour tout
α∈ ] 0,1 [
on a :
lim
n∞
P
Xn
n∈In
=1−α
où
In
désigne l'intervalle
[
p−uα
√
p(1−p)
√
n, p+uα
√
p(1−p)
√
n
]
.
Démonstration :
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Intervalle de confiance
Propriété :
Si la variable aléatoire
Xn
suit la loi binomiale B(n,p) et si
Fn
est la variable aléatoire fréquence
Xn
n
alors
pour n assez grand l'intervalle
[
Fn−1
√
n, F n+1
√
n
]
contient la proportion p avec une probabilité au moins égale à
0,95.
Démonstration :
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