probabilités - Lux-M@th

PROBABILITÉS
Activité de recherche : Arnaque à la foire ?
Un forain organise des jeux basés sur le tirage simultané de trois boules, dans une urne qui
contient cinq boules numérotées 0 ; 1 ; 2 ; 3 et 5.
Le joueur choisit l’une des versions proposées et verse la mise correspondante.
Jeu
1
2
3
Mise (en e)
4e
6e
7e
Gain (en e), correspondant...
... à l’écart entre le plus grand et le plus petit des numéros sortis
... au produit des numéros portés par les 3 boules
... à la somme des numéros portés par les trois boules
Quel jeu conseilleriez-vous à un joueur indécis ? Argumenter et discuter.
I Langage des événements :
EXEMPLE :
Lors d’un oral de mathématiques, quatre questions sont proposées :
une question de probabilités (P) ; une question de statistiques (S) ; une question de géométrie
(G) et une question d’algèbre (A). Chacune de ces questions est écrite sur une feuille pliée et
le candidat choisit une des quatre feuilles.
L’ensemble des résultats possibles (éventualités) peut être noté : Ω = {P ; S; G; A}.
- « obtenir la question de probabilités » correspond à {P }.
- « obtenir une question qui n’est pas de la géométrie » correspond à {P ; S; A}.
- « obtenir une question de géographie » correspond à ∅.
- « obtenir une question qui n’est pas de la littérature » correspond à Ω = {P ; S; G; A}
Définition : Soit Ω l’ensemble des éventualités (résultats possibles) d’une expérience aléatoire
(Ω est appelé univers).
- On appelle événement, toute partie de Ω.
- ∅ est une partie de Ω, c’est un événement, appelé événement impossible.
- Ω est une partie de Ω, c’est un événement, appelé événement certain.
EXEMPLE :
Une urne contient trois boules : une bleue, une rouge, une verte.
On tire une boule de l’urne et on note sa couleur.
L’ensemble des éventualités (univers) est Ω = {B; R; V }.
Il y a huit événements : ∅ ; {B} ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Définition :
- La réunion de deux événements A et B est un événement A ∪ B, appelé aussi
événement "A ou B".
- L’ intersection de deux événements A et B est un événement A ∩ B, appelé aussi
événement "A et B".
- Lorsque deux événements A et B ont une intersection vide (A ∩ B = ∅),
on dit que ces événements sont disjoints ou incompatibles .
- On appelle événement contraire d’un événement A et on note Ā l’ensemble de toutes les
éventualités qui ne sont pas dans A. (C’est la partie complémentaire de A dans Ω).
Remarque(s) : Un événement et son contraire sont incompatibles.
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II Loi de probabilité :
1. La loi des grands nombres :
Exercice 1. On lance simultanément deux dés non truqués dont les faces sont comme
d’habitude numérotées de 1 à 6 et on s’intéresse à la somme des points obtenus.
(a) Déterminer l’univers Ω des résultats possibles.
(b) On souhaite savoir si chacune des issues détaillées précédemment ont la même chance
de se produire.
Écrire un algorithme qui permette de simuler cette expérience aléatoire 20 fois et le
programmer sur sa calculatrice.
En regroupant les résultats obtenus dans la classe, à quelle conclusion arrivez-vous ?
Sur casio : pour sortir un nombre compris entre 1 et 6, OPTN-> NUM-> Int et
taper : Int(Ran *6+1) Pour obtenir la command Ran : OPTN->PROB->Ran
Sur TI : MATH->PRB-> randInt(1,6)
Soit k un entier naturel non nul : on considère une expérience aléatoire débouchant sur k
éventualités que l’on note e1 , . . . , ek : ces éventualités constituent l’univers Ω des résultats
possibles.
Soit N ∈ N∗ : on répète dans des conditions identiques et indépendantes N fois cette
expérience aléatoire. Cela signifie que :
(a) les N expériences aléatoires sont les mêmes et sont réalisées dans les mêmes conditions.
(b) le résultat obtenu à l’une d’entre elles n’influe pas sur les résultats obtenus aux
autres.
À l’issue de ces N expériences aléatoires, on a observé x1 fois l’issue e1 ; . . . ; xk fois l’issue
ek .
Exercice 2. Soit i ∈ {1, . . . , k} : exprimer en fonction de xi et N la fréquence
d’apparition fi de l’éventualité ei .
Compléter :
k
X
xi = . . . . . .
i=0
k
X
fi = . . . . . .
i=0
∀i ∈ {1, . . . , k},
. . . 6 fi 6 . . .
Loi des grands nombres : Lorsque l’on répète un grand nombre de fois, dans des
conditions identiques et indépendantes, une même expérience aléatoire débouchant
sur un nombre fini d’éventualités, la fréquence d’apparition d’une éventualité donnée se
stabilise autour d’un nombre théorique, appelé probabilité de cette éventualité
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2. Calculs de probabilités :
Exercice 3. Un générateur de nombres aléatoires fournit un entier compris (au sens
large) entre 1 et 20. Il est programmé de façon que les entiers pairs aient tous la même
probabilité, les entiers impairs aient tous la même probabilité mais que les entiers pairs
soient deux fois plus fréquents que les entiers impairs. On fait fonctionner le générateur
une seule fois.
(a) À partir des informations données, proposer un modèle probabiliste pour cet expérience aléatoire.
(b) On considère les événements A : “L’entier obtenu est multiple de 3” et B : “L’entier
obtenu est strictement supérieur à 10”.
i. Ecrire en extension les événements A et B et donner leur probabilité.
ii. Ecrire en compréhension l’événement B̄ et donner sa probabilité.
iii. Ecrire en compréhension et en extension l’événement A ∪ B et donner sa probabilité.
iv. Ecrire en compréhension et en extension l’événement A ∩ B et donner sa probabilité.
Propriétés : Soient A et B deux événements d’un univers Ω muni d’une loi de probabilité p.
(a) L’événement A et son contraire Ā sont liés par la relation : p(A) + p(Ā) = 1.
(b) Les événements A ∪ B et A ∩ B sont liés par la relation :
p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B)
Si les événements A et B sont incompatibles (autrement dit, si A∩B = . . . . . . . . .),
alors :
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
(c) (Principe multiplicatif) Si un événement A peut se produire de m façons différentes et si, A étant réalisé, B peut se produire de n façons différentes, alors A
suivi de B peut se produire de m × n façons différentes.
Exercice 4. Soit A et B deux événements tels que p(A) = 0.5 et p(B) = 0.7.
A et B sont-ils incompatibles ?
Un modèle important : l’équiprobabilité ou probabilité uniforme.
Lorsque à l’issue d’une expérience aléatoire, on peut raisonnablement supposer que toutes
les éventualités ont la même probabilité, on dit qu’elles sont équiprobables.
On munit alors l’univers Ω des résultats possibles de l’équiprobabilité, encore appelée
probabilité uniforme. Si l’univers Ω contient exactement k éventualités, la probabilité
...
de chaque éventualité est
.
...
La probabilité d’un événement A se calcule alors en effectuant le quotient :
Nombre d’éventualités réalisant A
Nombre total d’éventualités
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Exercice 5.
Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher, dont 4 noires ; on effectue 3 fois de
suite l’action suivante :
• Situation n°1
• Situation n°2
(a) On extrait une jeton,
(a) On extrait un jeton,
(b) On note sa couleur,
(b) On note sa couleur,
(c) On ne remet pas ce jeton dans le sac.
(c) On remet ce jeton dans le sac.
Ces trois épreuves sont-elles identiques
et indépendantes ?
......
B
B
......
Ces trois épreuves sont-elles identiques
et indépendantes ?
......
B
B
......
b
b
b
b
B̄
......
B
b
......
b
......
B̄
......
......
......
b
......
B̄
b
......
B
b
b
......
B̄
b
b
b
B
b
B̄
......
B
B̄
b
b
......
B
......
B
b
......
b
B̄
......
. . . . . . B̄
b
B
......
B
b
b
B̄
......
. . . . . . B̄
b
b
b
......
B̄
......
b
B
......
b
......
b
B̄
......
B
b
......
B̄
b
b
B̄
On pondère les branches des arbres ci-dessus par les probabilités des éventualités auxquelles ces branches amènent, sachant que le nœud d’où elles partent porte un événement
supposé avoir été réalisé à l’étape précédente. (Ici, B signifie : “le tirage donne une boule
blanche.”)
Dans la situation 1, la probabilité d’obtenir exactement 2 boules blanches est : . . . . . . . .
Dans la situation 2, la probabilité d’obtenir exactement 2 boules blanches est : . . . . . . . .
Exercice 6. Une hypothèse simplificatrice : Un bassin d’élevage contient 2000
poissons, dont une proportion de 15 % a été marquée.
Situation n°1 – On effectue 5 fois de
suite l’action suivante.
Situation n°2 – On effectue 5 fois de
suite l’action suivante.
(a) On extrait un poisson,
(a) On extrait un poisson,
(b) On note s’il est marqué,
(b) On note s’il est marqué,
(c) On ne le remet pas dans le bassin.
(c) On le remet dans le bassin.
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement un poisson marqué ? Donner un
résultat à 10−3 près.
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement un poisson marqué ? Donner un
résultat à 10−3 près.
Qu’est ce que cela vous inspire ?
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On considérera qu’extraire simultanément ou successivement et sans remise n
objets d’une population “assez grande” peut être assimilé à une répétition de n épreuves
identiques et indépendantes.
Exercice 7.
Un modèle de voiture est décliné en différentes versions.
Sur le site du constructeur un client, pour avoir des informations, clique sur des cases à
cocher. Il a :
- trois choix de moteur : Essence ; Diesel ; GPL
- deux choix de carrosserie : 3 portes ou 5 portes
- deux choix de finition : Access ; Initiale
(a) Réaliser un arbre de choix. En déduire le nombre de versions possibles pour ce
modèle.
(b) Un couple qui se renseigne laisse son jeune enfant cliquer et on considère que l’enfant,
qui ne sait pas lire, fait un choix au hasard.
i. Quelle est la probabilité p1 que l’enfant ait choisi le modèle 5 portes Essence en
finition Access ?
ii. Quelle est la probabilité p2 que l’enfant ait choisi un modèle GPL en finition
Initiale ?
iii. Quelle est la probabilité p3 que l’enfant ait choisi un modèle 3 portes ?
Exercice 8.
Une urne contient 20 boules indiscernables au toucher.
On considère l’épreuve qui consiste à tirer au hasard une boule de l’urne.
(a) Définir l’ensemble Ω des éventualités (univers) et la probabilité de chacune de ces
éventualités.
(b) Les 20 boules sont de différentes couleurs : 8 jaunes, 6 rouges, 4 vertes et 2 bleues.
Quelle est la probabilité de chacun des événements :
- « la boule tirée est jaune »,
- « la boule tirée est rouge ou verte »,
- « la boule tirée n’est pas noire ».
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III Variables aléatoires :
EXEMPLE :
Un jeu consiste à tirer au hasard une carte d’un jeu de 52 cartes. On suppose les éventualités équiprobables. L’ensemble Ω des tirages possibles d’une carte parmi 52 a pour cardinal :
card(Ω) = 52.
1
.
La probabilité de chaque éventualité est alors p =
52
card(A)
Pour tout événement A on aura donc p(A) =
.
card(Ω)
À chaque tirage on associe un gain ou une perte définis de la façon suivante :
- Si on tire un as on gagne 5 euros ;
- Si on tire un roi, une dame ou un valet, on gagne 1 euro ;
- Dans tous les autres cas on perd 1 euro.
Soit X le gain algébrique associé à chaque tirage. X peut prendre les valeurs 5 ; 1 et -1.
En notant X(Ω) l’ensemble des valeurs que peut prendre X, on a X(Ω) = {−1; 1; 5}.
On notera : (X = 5) l’événement : « le tirage procure un gain de 5 euros » ;
(X = 1) l’événement : « le tirage procure un gain de 1 euro » ;
(X = −1) l’événement : « le tirage procure une perte de 1 euro ».
- L’événement (X = 5) est aussi l’événement « tirer un as ».
Sachant que l’on a quatre as dans le jeu de cartes, on a quatre choix possibles pour un as, donc
4
1
card(X = 5)
=
= .
card(X = 5) = 4 et par conséquent p(X = 5) =
card(Ω)
52
13
- L’événement (X = 1) est aussi l’événement « tirer un roi ou une dame ou un valet ».
Sachant que l’on a quatre rois, quatre dames et quatre valets dans le jeu de cartes, on a douze
choix possibles,
12
3
card(X = 1)
=
= .
donc card(X = 1) = 12 et par conséquent p(X = 1) =
card(Ω)
52
13
- L’événement (X = −1) se produit lorsqu’on tire une carte qui n’est ni un as, ni un roi, ni
une dame, ni un valet, on a donc 36 choix possibles,
card(X = −1)
36
9
donc card(X = −1) = 36 et par conséquent p(X = −1) =
=
= .
card(Ω)
52
13
On dit que X est une variable aléatoire et on appelle loi de probabilité de X (ou loi transportée par X), la donnée des probabilités des événements (X = −1) ; (X = 1) ; (X = 5) que
l’on peut faire dans un tableau :
-1
1
9
3
p(X = xi )
13 13
La somme des probabilités
5
1
13
des trois événements (X = −1) ; (X = 1) ; (X = 5) est égale à 1.
9
L’événement (X = −1) a une probabilité de
signifie que, statistiquement sur un grand
13
9
. Il en est de même
nombre de tirages, la fréquence d’une perte de 1 euro est proche de
13
pour (X = 1) et pour (X = 5). On peut alors calculer la moyenne de gain, appelée espérance
mathématique de X et notée E(X).
9
3
1
−9 + 3 + 5
1
E(X) = −1 ×
+1×
+5×
=
=−
.
13
13
13
13
13
xi
Cela signifie que le jeu procure, en moyenne, une perte d’un treizième d’euro à chaque
tirage.
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Définition :
Étant donné un ensemble fini Ω muni d’une loi de probabilité p, on définit une variable
aléatoire X sur Ω, en associant à chaque éventualité ω un nombre réel x.
On note X(Ω) = {x1 ; x2 ; ...; xn } l’ensemble des nombres réels ainsi obtenus. On appelle loi de
probabilité de la variable aléatoire X la donnée des probabilités des événements (X = xi ).
On appelle espérance mathématique de X le nombre réel :
E(X) = x1 × p(x1 ) + x2 × p(x2 ) + ... + xn × p(xn ).
Remarque(s) :
Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence de chaque résultat est
proche de sa probabilité. L’espérance mathématique correspond donc à la moyenne sur un
grand nombre d’expériences.
Exercice 9.
Une urne contient douze boules. Six boules sont vertes, cinq sont rouges et une est blanche.
On tire au hasard une boule de l’urne. On définit une variable aléatoire G en associant à ce
tirage un gain ou une perte (la perte sera considérée comme un gain négatif).
- Si la boule tirée est verte, on perd 3 euros ;
- Si la boule tirée est rouge, on gagne 1 euro ;
- Si la boule tirée est blanche, on gagne 10 euros.
Compléter, en justifiant, le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de G.
Gain
Probabilité
-3
1
10
Calculer l’espérance mathématique de G. Interpréter le résultat.
Exercice 10.
Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert : un assortiment de macarons et une
part de tarte Tatin. Chaque client choisit un plat à 8 eet un dessert. L’assortiment de macarons est vendu 4 eet la tarte Tatin 5 e. Il peut prendre éventuellement en supplément un café
à 2 e.
Le restaurant a eu 150 clients et 70% d’entre eux ont choisi comme dessert l’assortiment de
macarons.
Le restaurateur a remarqué que :
- parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80% prennent un café ;
- parmi les clients ayant pris une part de tarte Tatin, 60% prennent un café ;.
On interroge au hasard un client de ce restaurant et on considère la variable aléatoire S correspondant à la somme payée par le client.
Donner les valeurs prises par S et la loi de probabilité de S.
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