probabilités - Lux-M@th

PROBABILITÉS
Activité de recherche : Arnaque à la foire ?
Un forain organise des jeux basés sur le tirage simultané de trois boules, dans une urne qui
contient cinq boules numérotées 0 ; 1 ; 2 ; 3 et 5.
Le joueur choisit l’une des versions proposées et verse la mise correspondante.
Jeu Mise (en e) Gain (en e), correspondant...
1 4 e... à l’écart entre le plus grand et le plus petit des numéros sortis
2 6 e... au produit des numéros portés par les 3 boules
3 7 e... à la somme des numéros portés par les trois boules
Quel jeu conseilleriez-vous à un joueur indécis ? Argumenter et discuter.
I Langage des événements :
EXEMPLE :
Lors d’un oral de mathématiques, quatre questions sont proposées :
une question de probabilités (P) ; une question de statistiques (S) ; une question de géométrie
(G) et une question d’algèbre (A). Chacune de ces questions est écrite sur une feuille pliée et
le candidat choisit une des quatre feuilles.
L’ensemble des résultats possibles (éventualités) peut être noté : Ω = {P;S;G;A}.
- « obtenir la question de probabilités » correspond à {P}.
- « obtenir une question qui n’est pas de la géométrie » correspond à {P;S;A}.
- « obtenir une question de géographie » correspond à ∅.
- « obtenir une question qui n’est pas de la littérature » correspond à Ω = {P;S;G;A}
Définition : Soit Ωl’ensemble des éventualités (résultats possibles) d’une expérience aléatoire
(Ωest appelé univers).
- On appelle événement, toute partie de Ω.
-∅est une partie de Ω, c’est un événement, appelé événement impossible.
-Ωest une partie de Ω, c’est un événement, appelé événement certain.
EXEMPLE :
Une urne contient trois boules : une bleue, une rouge, une verte.
On tire une boule de l’urne et on note sa couleur.
L’ensemble des éventualités (univers) est Ω = {B;R;V}.
Il y a huit événements : ∅;{B}; ............................................................
Définition :
- La réunion de deux événements A et B est un événement A∪B, appelé aussi
événement "A ou B".
- L’ intersection de deux événements A et B est un événement A∩B, appelé aussi
événement "A et B".
- Lorsque deux événements A et B ont une intersection vide (A∩B=∅),
on dit que ces événements sont disjoints ou incompatibles .
- On appelle événement contraire d’un événement A et on note ¯ Al’ensemble de toutes les
éventualités qui ne sont pas dans A. (C’est la partie complémentaire de A dans Ω).
Remarque(s) : Un événement et son contraire sont incompatibles.
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II Loi de probabilité :
1. La loi des grands nombres :
Exercice 1. On lance simultanément deux dés non truqués dont les faces sont comme
d’habitude numérotées de 1 à 6 et on s’intéresse à la somme des points obtenus.
(a) Déterminer l’univers Ωdes résultats possibles.
(b) On souhaite savoir si chacune des issues détaillées précédemment ont la même chance
de se produire.
Écrire un algorithme qui permette de simuler cette expérience aléatoire 20 fois et le
programmer sur sa calculatrice.
En regroupant les résultats obtenus dans la classe, à quelle conclusion arrivez-vous?
Sur casio : pour sortir un nombre compris entre 1 et 6, OPTN-> NUM-> Int et
taper : Int(Ran *6+1) Pour obtenir la command Ran : OPTN->PROB->Ran
Sur TI : MATH->PRB-> randInt(1,6)
Soit kun entier naturel non nul : on considère une expérience aléatoire débouchant sur k
éventualités que l’on note e1,...,ek: ces éventualités constituent l’univers Ωdes résultats
possibles.
Soit N∈N∗: on répète dans des conditions identiques et indépendantes Nfois cette
expérience aléatoire. Cela signifie que :
(a) les Nexpériences aléatoires sont les mêmes et sont réalisées dans les mêmes condi-
tions.
(b) le résultat obtenu à l’une d’entre elles n’influe pas sur les résultats obtenus aux
autres.
À l’issue de ces Nexpériences aléatoires, on a observé x1fois l’issue e1;...;xkfois l’issue
ek.
Exercice 2. Soit i∈ {1,...,k}: exprimer en fonction de xiet Nla fréquence
d’apparition fide l’éventualité ei.
Compléter :
k
X
i=0
xi=......
k
X
i=0
fi=......
∀i∈ {1,...,k}, . . . 6fi6...
Loi des grands nombres : Lorsque l’on répète un grand nombre de fois, dans des
conditions identiques et indépendantes, une même expérience aléatoire débouchant
sur un nombre fini d’éventualités, la fréquence d’apparition d’une éventualité donnée se
stabilise autour d’un nombre théorique, appelé probabilité de cette éventualité
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2. Calculs de probabilités :
Exercice 3. Un générateur de nombres aléatoires fournit un entier compris (au sens
large) entre 1 et 20. Il est programmé de façon que les entiers pairs aient tous la même
probabilité, les entiers impairs aient tous la même probabilité mais que les entiers pairs
soient deux fois plus fréquents que les entiers impairs. On fait fonctionner le générateur
une seule fois.
(a) À partir des informations données, proposer un modèle probabiliste pour cet expé-
rience aléatoire.
(b) On considère les événements A: “L’entier obtenu est multiple de 3” et B: “L’entier
obtenu est strictement supérieur à 10”.
i. Ecrire en extension les événements Aet Bet donner leur probabilité.
ii. Ecrire en compréhension l’événement ¯ Bet donner sa probabilité.
iii. Ecrire en compréhension et en extension l’événement A∪Bet donner sa pro-
babilité.
iv. Ecrire en compréhension et en extension l’événement A∩Bet donner sa pro-
babilité.
Propriétés : Soient Aet Bdeux événements d’un univers Ωmuni d’une loi de proba-
bilité p.
(a) L’événement Aet son contraire ¯ Asont liés par la relation : p(A) + p(¯ A) = 1.
(b) Les événements A∪Bet A∩Bsont liés par la relation :
p(A∪B) + p(A∩B) = p(A) + p(B)
Si les événements Aet Bsont incompatibles (autrement dit, si A∩B=.........),
alors :
p(A∪B) = p(A) + p(B)
(c) (Principe multiplicatif) Si un événement Apeut se produire de mfaçons dif-
férentes et si, Aétant réalisé, Bpeut se produire de nfaçons différentes, alors A
suivi de Bpeut se produire de m×nfaçons différentes.
Exercice 4. Soit Aet Bdeux événements tels que p(A) = 0.5et p(B) = 0.7.
Aet Bsont-ils incompatibles ?
Un modèle important : l’équiprobabilité ou probabilité uniforme.
Lorsque à l’issue d’une expérience aléatoire, on peut raisonnablement supposer que toutes
les éventualités ont la même probabilité, on dit qu’elles sont équiprobables.
On munit alors l’univers Ωdes résultats possibles de l’équiprobabilité, encore appelée
probabilité uniforme. Si l’univers Ωcontient exactement kéventualités, la probabilité
de chaque éventualité est ...
....
La probabilité d’un événement Ase calcule alors en effectuant le quotient :
Nombre d’éventualités réalisant A
Nombre total d’éventualités
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Exercice 5.
Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher, dont 4 noires ; on effectue 3 fois de
suite l’action suivante :
•Situation n°1
(a) On extrait une jeton,
(b) On note sa couleur,
(c) On ne remet pas ce jeton dans le sac.
Ces trois épreuves sont-elles identiques
et indépendantes ?
B
......
B
......
B
......
¯
B
......
¯
B
......
B
......
¯
B
......
¯
B
......
B
......
B
......
¯
B
......
¯
B
......
B
......
¯
B
......
•Situation n°2
(a) On extrait un jeton,
(b) On note sa couleur,
(c) On remet ce jeton dans le sac.
Ces trois épreuves sont-elles identiques
et indépendantes ?
B
......
B
......
B
......
¯
B
......
¯
B
......
B
......
¯
B
......
¯
B
......
B
......
B
......
¯
B
......
¯
B
......
B
......
¯
B
......
On pondère les branches des arbres ci-dessus par les probabilités des éventualités aux-
quelles ces branches amènent, sachant que le nœud d’où elles partent porte un événement
supposé avoir été réalisé à l’étape précédente. (Ici, Bsignifie : “le tirage donne une boule
blanche.”)
Dans la situation 1, la probabilité d’obtenir exactement 2 boules blanches est : . . . . . . . .
Dans la situation 2, la probabilité d’obtenir exactement 2 boules blanches est : . . . . . . . .
Exercice 6. Une hypothèse simplificatrice : Un bassin d’élevage contient 2000
poissons, dont une proportion de 15 % a été marquée.
Situation n°1 – On effectue 5 fois de
suite l’action suivante.
(a) On extrait un poisson,
(b) On note s’il est marqué,
(c) On ne le remet pas dans le bassin.
Quelle est la probabilité d’obtenir exac-
tement un poisson marqué ? Donner un
résultat à 10−3près.
Situation n°2 – On effectue 5 fois de
suite l’action suivante.
(a) On extrait un poisson,
(b) On note s’il est marqué,
(c) On le remet dans le bassin.
Quelle est la probabilité d’obtenir exac-
tement un poisson marqué ? Donner un
résultat à 10−3près.
Qu’est ce que cela vous inspire ?
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On considérera qu’extraire simultanément ou successivement et sans remise n
objets d’une population “assez grande” peut être assimilé à une répétition de népreuves
identiques et indépendantes.
Exercice 7.
Un modèle de voiture est décliné en différentes versions.
Sur le site du constructeur un client, pour avoir des informations, clique sur des cases à
cocher. Il a :
- trois choix de moteur : Essence ; Diesel ; GPL
- deux choix de carrosserie : 3 portes ou 5 portes
- deux choix de finition : Access ; Initiale
(a) Réaliser un arbre de choix. En déduire le nombre de versions possibles pour ce
modèle.
(b) Un couple qui se renseigne laisse son jeune enfant cliquer et on considère que l’enfant,
qui ne sait pas lire, fait un choix au hasard.
i. Quelle est la probabilité p1que l’enfant ait choisi le modèle 5 portes Essence en
finition Access ?
ii. Quelle est la probabilité p2que l’enfant ait choisi un modèle GPL en finition
Initiale ?
iii. Quelle est la probabilité p3que l’enfant ait choisi un modèle 3 portes ?
Exercice 8.
Une urne contient 20 boules indiscernables au toucher.
On considère l’épreuve qui consiste à tirer au hasard une boule de l’urne.
(a) Définir l’ensemble Ωdes éventualités (univers) et la probabilité de chacune de ces
éventualités.
(b) Les 20 boules sont de différentes couleurs : 8 jaunes, 6 rouges, 4 vertes et 2 bleues.
Quelle est la probabilité de chacun des événements :
- « la boule tirée est jaune »,
- « la boule tirée est rouge ou verte »,
- « la boule tirée n’est pas noire ».
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