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Démontrer et calculer en géométrie plane
Utiliser le théorème de Pythagore et sa réciproque
o Théorème de Pythagore
C
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a :
BC2 = AB2 + AC2.
B
A
Exemple :
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a AB = 5 cm et AC = 6 cm. Que vaut BC (au mm près) ?
D’après le théorème de Pythagore, on a BC2 = AB2 + AC2 = 52 + 62 = 61, puis BC =
o
7,8 cm.
Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle ABC, si on a BC2 = AB2 + AC2, alors le triangle est rectangle en A et le segment [BC] est
l’hypoténuse de ce triangle rectangle.
Exemple :
Un maçon veut vérifier que deux murs sont bien perpendiculaires. Pour cela, il marque un point A sur le
premier mur à 60 cm du point O (intersection des deux murs) et un point B sur le deuxième mur à 80 cm du
point O. Il mesure alors la distance AB et il trouve 1 mètre. Prouver que les murs sont bien perpendiculaires.
AB = 1 m = 100 cm donc AB2 = 1002 = 10 000 et OA2 + OB2 = 602 + 802 = 3 600 + 6 400 = 10 000.
Dans le triangle OAB, on a AB2 = OA2 + OB2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle
OAB est rectangle en O, donc les deux murs sont bien perpendiculaires.
Utiliser le théorème de Thalès et sa réciproque
o Théorème de Thalès
Soit A, M et B trois points alignés et A, N et C trois autres points alignés dans le même ordre.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a :
.
C
C
Deux configurations possibles :
B
N
B
M
A
M
A
N
Exemple :
Soit ABC un triangle et deux points M [AB] et N [AC] tels que (MN) et (BC) sont parallèles.
On a AM = 3,5 cm, AB = 5 cm et AC = 4 cm. Que vaut AN ?
On peut appliquer le théorème de Thalès et on a :
On a donc
, puis 3,5×4 = 5×AN et AN =
.
= 2,8 cm.
o Réciproque du théorème de Thalès
Soit A, M et B trois points alignés et A, N et C trois autres points alignés dans le même ordre.
Si on a l’égalité
, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Utiliser la trigonométrie pour calculer une longueur ou un angle
Dans le triangle ABC rectangle en A :
cos(ABC) 
" côté adjacent à ABC " AB

hypoténuse
BC
sin(ABC) 
" côté opposé à ABC " AC

hypoténuse
BC
tan(ABC) 
" côté opposé à ABC " AC

" côté adjacent à ABC " AB
Propriétés :
Dans le triangle ABC rectangle en A :
 tan(
)=
si cos(

0
cos(
)
1;

0
sin(
)
1;
)
0;
Exemple :
Simon joue avec son cerf-volant au bord de la plage.
La ficelle est déroulée au maximum et, tendue, elle mesure 50m.
C
S : position de Simon ; C : position du cerf-volant ; SC = 50m.
S
H
a) La ficelle fait avec l’horizontale un angle
qui mesure 80°.
Calculer la hauteur à laquelle vole le cerf-volant, c’est-à-dire CH (arrondir au mètre près).
b) Lorsque la ficelle fait avec l’horizontale un angle de 40°, la distance CH est-elle la moitié de celle
calculée à la première question ? Justifier la réponse.
a) Dans le triangle CSH rectangle en H :
sin(
b) sin(
)=
)=
donc sin 80° =
donc sin 40° =
puis CH = 50×sin 80°
49 m.
et CH = 50×sin 40°
32 m.
Si la ficelle fait avec l’horizontale un angle de 40°, la distance CH n’est pas la moitié de la première distance
CH calculée à la première question.