IE Probabilités, loi binomiale avril 2012 Ex1. Un sac contient 26

IE Probabilités, loi binomiale avril 2012
Ex1. Un sac contient 26 jetons portant chacun une lettre de l’alphabet. On tire trois fois de suite un jeton qu’on
remet dans le sac après avoir noté la lettre correspondante. Les trois lettres forment dans l’ordre un « mot ».
1. Quelle est la probabilité d’obtenir le mot « BAC » ? Le mot « CEE » ?
ଵ
ଶ଺య
ଵ
= ଵ଻ହ଻଺
2. Quelle est la probabilité d’obtenir un mot commençant par la lettre « A » ?
ଵ
ଶ଺
3. Quelle est la probabilité d’obtenir un mot ayant la lettre « A » en seconde position ?
ଵ
ଶ଺
Ex2. On lance 4 fois de suite une pièce parfaitement équilibrée. On note P et F les côtés de cette pièce.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre PFFP ?
ଵ
ଶర
ଵ
=
ଵ
ଵ଺
ଵ
2. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 piles ou 4 faces ? ଶర = ଵ଺
3. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois le côté P ? événement contraire de « d’obtenir au moins une
ଵ
ଵ
ଵହ
fois le côté P » est l’événement A « ne pas obtenir le côté pile. » ‫݌‬ሺ‫ܣ‬ሻ = ଵ଺ donc ‫ = ݌‬1 − ଵ଺ = ଵ଺
Ex3. On a constaté que 10 % des pièces sortant d’une machine étaient défectueuses.
On fait des lots de 10 pièces et on suppose que les défectuosités sont indépendantes.
On considère l’événement S « la pièce est défectueuse. ». La situation se ramène à une répétition de 10 épreuves
de Bernoulli identiques et indépendantes ; la loi de probabilité associée à la variable aléatoire X donnant le nombre
de succès est une loi binomiale ℬ ሺ ݊ = 10 ; ‫ = ݌‬0.1 ሻ
1. Quelle est la probabilité pour qu’on ait dans un lot :
10
a. exactement 3 pièces défectueuses ? ‫݌‬ሺܺ = 3ሻ = ቀ ቁ × 0.1ଷ × 0.9଻ ≈ 0.06
3
10
b. exactement 10 pièces défectueuses ? ‫݌‬ሺܺ = 10ሻ = ቀ ቁ × 0.1ଵ଴ × 0.9଴ = 0.1ଵ଴
10
10
c. exactement 1 pièce défectueuse ? ‫݌‬ሺܺ = 1ሻ = ቀ ቁ × 0.1ଵ × 0.9ଽ ≈ 0.39
1
10
d. aucune pièce défectueuse ? ‫݌‬ሺܺ = 0ሻ = ቀ ቁ × 0.1଴ × 0.9ଵ଴ = 0.9ଵ଴ ≈ 0.35
0
3. Combien aura-t-on en moyenne, de pièces défectueuses dans un lot de 10 ? ‫ܧ‬ሺܺሻ = ݊ × ‫ = ݌‬10 × 0.1 = 1
ଶ
Ex4. Sur une route, à un carrefour, le feu tricolore reste vert pendant ହ du temps. Un automobiliste passe trois fois
à ce carrefour dans une journée.
Quelle est la probabilité qu’il rencontre le feu vert :
a) trois fois ?
b) deux fois ?
c) au moins une fois ?
On considère l’événement S « le feu est vert. ». La situation se ramène à une répétition de 3 épreuves de Bernoulli
identiques et indépendantes ; la loi de probabilité associée à la variable aléatoire X donnant le nombre de succès
ଶ
ହ
est une loi binomiale ℬ ሺ ݊ = 3 ; ‫ = ݌‬ሻ
ଶ ଷ
ହ
a) ‫݌‬ሺܺ = 3ሻ = 1 × ቀ ቁ =
ଷ ଷ
ହ
c) ‫݌‬ሺܺ = 0ሻ = ቀ ቁ =
଼
ଵଶହ
ଶ଻
; le
ଵଶହ
ଶ ଶ
ଷ
ଷ଺
3
= 0.064 b) ‫݌‬ሺܺ = 2ሻ = ቀ ቁ × ቀ ቁ × =
= 0.288
ହ
ହ
ଵଶହ
2
contraire de « au moins une fois . » est « aucune fois » de probabilité
ଶ଻
ଶ଻
ଵଶହ
ଽ଼
‫ = ݌‬1 − ‫݌‬ሺܺ = 0ሻ = 1 − ଵଶହ = ଵଶହ
Ex5. Un candidat répond au hasard à un QCM comportant 20 questions. Á chaque question, il doit choisir parmi
quatre propositions dont une seule est exacte. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de réponses exactes.
1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
On répète, 20 fois de suite et de façon indépendante, l’expérience aléatoire qui consiste à répondre au hasard à une question
avec une probabilité p = 0,25 de choisir la bonne réponse. Donc la loi de X est la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,25.
2. E(X)=݊ × ‫ = ݌‬20 × 0.25 = 5
3. Calculer la probabilité pour que le candidat n’ait bon à aucune question.
ଷ ଶ଴
‫݌‬ሺܺ = 0ሻ = ቀସቁ
≈ 0.003
4. Calculer la probabilité pour que le candidat ait bon à exactement deux questions.
ଵ ଶ
ଷ ଵ଼
20
‫݌‬ሺܺ = 2ሻ = ቀ ቁ × ቀସቁ × ቀସቁ ≈ 0.067
2
BONUS. Calculer la probabilité pour que le candidat n’ait bon qu’à moins de trois questions.
ଷ ଶ଴
‫݌‬ሺܺ < 3ሻ = ‫݌‬ሺܺ = 0ሻ + ‫݌‬ሺܺ = 1ሻ + ‫݌‬ሺܺ = 2ሻ = ቀସቁ
ଵ
ଷ ଵଽ
+ 20 × ቀସቁ × ቀସቁ
ଵ ଶ
ଷ ଵ଼
20
+ ቀ ቁ × ቀସቁ × ቀସቁ ≈ 0.09
2