1 Résolution d`une équation différentielle On considère l`équation

1 Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle :y ' − 2 y = e2 x
(E).
2x
1° Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x) = x e est une solution de (E).
2° Résoudre l’équation différentielle : y ' − 2 y = 0
(E0).
3° Démontrer qu’une fonction v définie sur IR est solution de (E) si et seulement si v −u est solution de (E0).
4° En déduire toutes les solutions de l’équation (E).
5° Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0.
2 Soit m la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ : t → m(t) où m(t) est la masse de sel, en grammes, que contient une
"solution salée" (eau + sel) à l'instant t, t en minutes.
On admet que la fonction m vérifie :
m(0) = 300 et m est une solution sur [0 ; +∞ [ de l'équation différentielle (E) 5 y' + y = 0.
1° a) Résoudre l'équation différentielle (E).
b) Montrer que pour tout t de [0 ; + ∞ [ on a : m(t) = 300 e–0,2 t
2° Déterminer le réel t0 tel que m(t0) = 150.
3° on admet qu'il est impossible de détecter la présence de sel à l'instant t si, et seulement si, m(t) ≤ 10–2
A partir de quel instant est-il impossible de détecter la présence de sel ?

1 − k ex
.
1 + k ex
a) Justifier que, pour tout réel k positif ou nul, la fonction fk est solution de l’équation différentielle :
(E) : 2 y ' = (y − x)2 +1.
b) En déduire le sens de variations de fk sur IR .

→ 
→
2° On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal (O; i ; j )
Sur la figure ci-contre, on a représenté la droite D d’équation y = x − 1, la droite D ' d’équation y = x + 1 et
plusieurs courbes Ck correspondant à des valeurs particulières de k.
Déterminer le réel k associé à la courbe C passant par le point O puis celui associé à la courbe C ' passant par le
point A de coordonnées (1 ; 1).
y
3° On remarque que, pour tout x réel, on a :
2
fk (x) = x − 1 +
(1) et
1 + k ex
2 k ex
fk (x) = x + 1 −
(2).
1 + k ex
En déduire pour tout k strictement positif :
- la position de la courbe Ck par rapport aux

→
droites D et D '.
j
- les asymptotes de la courbe Ck .
3 1° Pour tout réel k positif ou nul, on considère la fonction fk définie sur IR par : fk (x) = x +
O

→
i
x
1 La fonction u est le produit de deux fonctions dérivables sur IR elle est donc dérivable sur IR.
Pour tout réel x : u '(x) = 1 × e2 x + x × 2 e2 x et donc : u '(x) – 2 u(x) = e2 x + 2 x e2 x – 2 x e2 x = e2 x.
u est donc bien solution de (E)
2x
2° On sait que les solutions de (E0) sont de la forme : x → C e .
2x
3° u est solution de (E) donc u ' – 2 u = x e .
v solution de (E) si et seulement si v ' – 2 v = x e2 x
si et seulement si v ' – 2 v = u ' – 2 u car on sait que x e2 x = u ' – 2 u
si et seulement si v ' – u ' – 2 (v – u) = 0
si et seulement si v – u est solution de (E0)
2x
2x
4° Les solutions de (E0) sont de la forme x → C e donc les solutions de (E) sont de la forme x → u(x) + C e
f solution de (E) définie sur IR par : f(x) = x e2 x + C e2 x
2x
2x
5° f solution de (E) définie sur IR par : f(x) = x e + C e
0
0
f(0) = 1 ⇔ 0 × e + C × e = 1 ⇔ C = 1.
f est donc définie sur IR par : f(x) = x e2 x + e2 x.



y
⇔ y ' = – 0,2 y. Les solutions de (E) sont de la forme : t → C e–0,2t
5
0
–0,2t
b) On a : m(0) = 300 ⇔ C e = 300 ⇔ C = 300. La fonction m est définie sur IR par : m(t) = 300 e
ln 0,5
–0,2t0
2° m(t0) = 150 ⇔ 300 e
= 150 ⇔ e–0,2t0 = 0,5 ⇔ – 0,2 t0 = ln (0,5) ⇔ t0 = –
0,2
t0 ≈ 3,47 mn donc t0 ≈ 3 mn 28 s
–2
3° On détermine par essai rectification la valeur t1 pour laquelle m(t1) est égale à 10 .
On trouve environ 51,54. A partire d'environ 51 mn 33 s il est impossible de détecter la présence du sel.
2 5 y' + y = 0 ⇔ y' = –

– k ex × (1 + k ex) – (1 – k ex) k ex 1 + k2 e2 x + 2 k ex – k ex – k2 e2 x – k ex + k2 e2 x 1 + k2 e2 x
=
=
(1 + k ex)2
(1 + k ex)2
(1 + k ex)2
1 − k ex2
1 – 2 k ex + k2 e2 x + 1 + 2 k ex + k2 e2 x 2 + 2 k2 e2 x
=
= 2 × fk'(x)
(fk(x) – x)2 + 1 = 
x + 1 =
(1 + k ex)2
(1 + k ex)2
1 + k e 
2
b) On a vu que pour tout réel x, 2 × fk'(x) =(fk(x) – x) + 1 ≥ 1
Pour tout réel x, fk'(x) ≥ 1 > 0 donc fk est croissante sur IR .
1–k
1–k×e
1
2° fk(0) = 0 ⇔ 0 +
= 0 ⇔ k = 1 et fk(1) = 1 ⇔ 1 +
=1⇔k=
1+k
1+k×e
e
2
> 0 donc Ck est toujours au dessus de D
3° fk(x) – (x – 1) =
1 + k ex
2 k ex
fk(x) – (x + 1) = –
< 0 donc Ck est toujours au dessous de D '
1 + k ex
2
2
On pose X = k ex on a : xlim+∞ k ex = + ∞ (k ≥ 0) donc xlim+∞ fk(x) – (x – 1) = xlim+∞
=0
x = lim
→
→
→
1 + k e X → +∞ X
D est asymptote à Ck en + ∞ .
2X
On pose X = k ex On a : xlim
k ex = 0 donc xlim
fk(x) – (x + 1) = lim
=0
→ –∞
→ –∞
x→01 +X
Donc D ' est est asymptote à Ck en – ∞ .
3 fk'(x) = 1 +