1 Résolution d`une équation différentielle On considère l`équation

1 Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle :y ' − 2 y = e
2 x
(E).
1° Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x) = x e
2 x
est une solution de (E).
2° Résoudre l’équation différentielle : y ' − 2 y = 0 (E
0
).
3° Démontrer qu’une fonction v définie sur IR est solution de (E) si et seulement si v −u est solution de (E
0
).
4° En déduire toutes les solutions de l’équation (E).
5° Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0.
2 Soit m la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ : t 
→
m(t) où m(t) est la masse de sel, en grammes, que contient une
"solution salée" (eau + sel) à l'instant t, t en minutes.
On admet que la fonction m vérifie :
m(0) = 300 et m est une solution sur [0 ; +∞ [ de l'équation différentielle (E) 5 y' + y = 0.
1° a) Résoudre l'équation différentielle (E).
b) Montrer que pour tout t de [0 ; + ∞ [ on a : m(t) = 300 e
–0,2 t
2° Déterminer le réel t
0
tel que m(t
0
) = 150.
3° on admet qu'il est impossible de détecter la présence de sel à l'instant t si, et seulement si, m(t) ≤ 10
–2
A partir de quel instant est-il impossible de détecter la présence de sel ?
3 1° Pour tout réel k positif ou nul, on considère la fonction f
k
définie sur IR par : f
k
(x) = x + 1 − k e
x
1 + k e
x
.
a) Justifier que, pour tout réel k positif ou nul, la fonction f
k
est solution de l’équation différentielle :
(E) : 2 y ' = (y − x)
2
+1.
b) En déduire le sens de variations de f
k
sur IR .
2° On note C
k
la courbe représentative de la fonction f
k
dans un repère orthonormal (O;
→
i ;
→
j )
Sur la figure ci-contre, on a représenté la droite D d’équation y = x − 1, la droite D ' d’équation y = x + 1 et
plusieurs courbes C
k
correspondant à des valeurs particulières de k.
Déterminer le réel k associé à la courbe C passant par le point O puis celui associé à la courbe C ' passant par le
point A de coordonnées (1 ; 1).
3° On remarque que, pour tout x réel, on a :
f
k
(x) = x − 1 + 2
1 + k e
x
(1) et
f
k
(x) = x + 1 − 2 k e
x
1 + k e
x
(2).
En déduire pour tout k strictement positif :
- la position de la courbe C
k
par rapport aux
droites D et D '.
- les asymptotes de la courbe C
k
.
→
j
O
→
i
y
x

1 La fonction u est le produit de deux fonctions dérivables sur IR elle est donc dérivable sur IR.
Pour tout réel x : u '(x) = 1 × e
2 x
+ x × 2 e
2 x
et donc : u '(x) – 2 u(x) = e
2 x
+ 2 x e
2 x
– 2 x e
2 x
= e
2 x
.
u est donc bien solution de (E)
2°
On sait que les solutions de (E
0
) sont de la forme : x 
→
C e
2 x
.
3° u est solution de (E) donc u ' – 2 u = x e
2 x
.
v solution de (E) si et seulement si v ' – 2 v = x e
2 x
si et seulement si v ' – 2 v = u ' – 2 u car on sait que x e
2 x
= u ' – 2 u
si et seulement si v ' – u ' – 2 (v – u) = 0
si et seulement si v – u est solution de (E
0
)
4°
Les solutions de (E
0
) sont de la forme x 
→
C e
2 x
donc les solutions de (E) sont de la forme x 
→
u(x) + C e
2 x
f solution de (E) définie sur IR par : f(x) = x e
2 x
+ C e
2 x
5° f solution de (E) définie sur IR par : f(x) = x e
2 x
+ C e
2 x
f(0) = 1 ⇔ 0 × e
0
+ C × e
0
= 1 ⇔ C = 1.
f est donc définie sur IR par : f(x) = x e
2 x
+ e
2 x
.
2
5 y ' + y = 0 ⇔ y ' = – y
5 ⇔ y ' = – 0,2 y. Les solutions de (E) sont de la forme : t 
→
C e
–0,2t
b)
On a : m(0) = 300 ⇔ C e
0
= 300 ⇔ C = 300. La fonction m est définie sur IR par : m(t) = 300 e
–0,2t
2° m(t
0
) = 150 ⇔ 300 e
–0,2t
0 = 150 ⇔ e
–0,2t
0 = 0,5 ⇔ – 0,2 t
0
= ln (0,5) ⇔ t
0
= – ln 0,5
0,2
t
0
≈ 3,47 mn donc t
0
≈ 3 mn 28 s
3° On détermine par essai rectification la valeur t
1
pour laquelle m(t
1
) est égale à 10
–2
.
On trouve environ 51,54. A partire d'environ 51 mn 33 s il est impossible de détecter la présence du sel.
3
f
k
'(x) = 1 + – k e
x
× (1 + k e
x
) – (1 – k e
x
) k e
x
(1 + k e
x
)
2
= 1 + k
2
e
2 x
+ 2 k e
x
– k e
x
– k
2
e
2 x
– k e
x
+ k
2
e
2 x
(1 + k e
x
)
2
= 1 + k
2
e
2 x
(1 + k e
x
)
2
(f
k
(x) – x)
2
+ 1 = 
1 − k e
x
1 + k e
x
2
+ 1 = 1 – 2 k e
x
+ k
2
e
2 x
+ 1 + 2 k e
x
+ k
2
e
2 x
(1 + k e
x
)
2
= 2 + 2 k
2
e
2 x
(1 + k e
x
)
2
= 2 × f
k
'(x)
b)
On a vu que pour tout réel x, 2 × f
k
'(x) =(f
k
(x) – x)
2
+ 1 ≥ 1
Pour tout réel x, f
k
'(x) ≥ 1 > 0 donc f
k
est croissante sur IR .
2° f
k
(0) = 0 ⇔ 0 + 1 – k
1 + k = 0 ⇔ k = 1 et f
k
(1) = 1 ⇔ 1 + 1 – k × e
1 + k × e = 1 ⇔ k = 1 e
3°
f
k
(x) – (x – 1) = 2
1 + k e
x
> 0 donc C
k
est toujours au dessus de D
f
k
(x) – (x + 1) = – 2 k e
x
1 + k e
x
< 0 donc C
k
est toujours au dessous de D '
On pose X = k e
x
on a : lim
x → +∞
k e
x
= + ∞ (k ≥ 0) donc lim
x → +∞
f
k
(x) – (x – 1) = lim
x → +∞
2
1 + k e
x
= lim
X → +∞
2
X = 0
D est asymptote à C
k
en + ∞ .
On pose X = k e
x
On a : lim
x → –∞
k e
x
= 0 donc lim
x → –∞
f
k
(x) – (x + 1) = lim
x → 0 2 X
1 + X = 0
Donc D ' est est asymptote à C
k
en – ∞ .