Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy

La fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle est continue strictement croissante sur Rà
valeurs dans ]0; +∞[. Elle définit donc une bijection de Rsur ]0; +∞[,
c’est-à-dire que quel que soit le réel strictement positif x, l’équation
d’inconnue y,
exp (y) = x
admet une unique solution dans R.
Définition
On appelle logarithme népérien la fonction réciproque de la fonction
exponentielle.
Le logarithme népérien du réel strictement positif xest l’unique
solution de l’équation d’inconnue y: exp (y) = x. On le note ln (x).
V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 36 / 48

Remarque
Par définition, nous avons
ln (1) = 0et ln (e) = 1.
Propriétés
La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[,
La fonction logarithme népérien est continue sur ]0; +∞[,
La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0; +∞[et
pour tout x∈]0; +∞[,ln0(x) = 1
x.
V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 37 / 48

Propriété fondamentale
Quels que soient les réels strictement positifs aet b
ln (a×b) = ln (a) + ln (b).
Propriétés
1Quels que soient les réels strictement positifs aet b
ln 1
b=−ln (b),ln a b=ln (a)−ln (b).
2Quels que soient le réel aet l’entier n
ln (an) = nln (a).
V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 38 / 48

Limites
1lim
x→+∞ln (x) = +∞,
2lim
x→0+ln (x) = −∞.
Quelques limites utiles à connaitre
1lim
h→0
ln (1+h)
h=1,
2lim
x→+∞
ln (x)
x=0,
3lim
x→0+xln (x) = 0.
V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 39 / 48

Tableau de variation
x
ln0(x)
ln(x)
0+∞
+
−∞
+∞+∞
1
0
Courbe
tracé sur R+
∗
V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 40 / 48