(co)homologie d`Andr e-Quillen

Manuscript-Nr.
(will be inserted by hand later)
Sur l'annulation du deuxieme foncteur de
(co)homologie d'Andre-Quillen
Francesc Planas-Vilanova
Departament de Matematica Aplicada I. ETSEIB. Universitat Politecnica de Catalunya.
Diagonal 647, E-08028 Barcelona. E-mail address: [email protected]
Received <date> / Accepted <date>
Abstract. For a given ideal I of a commutative ring A, B = A=I , the vanishing
of the second Andre-Quillen (co)homology functor H2 (A B ) is characterized
in terms of the canonical homomorphism : S (I ) R(I ) from the symmetric
algebra of the ideal I onto its Rees algebra. This is done by introducing a Koszul
complex that characterizes commutative graded algebras which are symmetric
algebras.
!
1. Introduction
Soit I un ideal d'un anneau commutatif A et soit B = A=I . On denote par
: S (I ) R(I ) le morphisme canonique entre l'alg
ebre symetrique de l'ideal
I et l'alg
ebre de Rees de I , c'est a dire que R(I ) = q0 I q on denote par
: SB (I=I 2 )
G(I ) le morphisme canonique entre l'alg
ebre symetrique
du B -module I=I 2 et l'anneau gradue associe a l'ideal I , c'est a dire que
G(I ) = q0 I q =I q+1 , et on denote par : B (I=I 2) TorA (B B) le morphisme canonique entre l'alg
ebre exterieure du B -module I=I 2 et la B -alg
ebre
graduee anticommutative TorA (B B ). Les trois morphismes sont gradues de
degre zero et les deux premiers sont exhaustifs. Finalement, on denote par
nq : TorAn(A=I q B ) TorAn(A=I q;1 B ) le morphisme canonique, pour deux
entiers n q 1.
Les resultats suivants d^us a Quillen (8]) et Andre (3]), respectivement,
etablissent une relation entre l'annulation des foncteurs d'homologie d'AndreQuillen Hn (A B ) et les morphismes et .
Theoreme. (Quillen) Les deux conditions suivantes sont equivalentes:
(i) Hn (A B W ) = 0 pour tout n 2 et tout B -module W .
(ii) est un isomorphisme et I=I 2 est un B -module plat.
!
!
!
!
2
Francesc Planas-Vilanova
Theoreme. (Andre) Les deux conditions suivantes sont equivalentes:
(i) Hn (A B W ) = 0 pour tout n 2 et tout B -module W .
(ii) est un isomorphisme, I=I 2 est un B -module plat et nq = 0 pour tout
n q 2.
Dans ce travail nous caracteriserons speciquement l'annulation du deuxi
eme
foncteur d'homologie d'Andre-Quillen selon les morphismes , et . Le resultat
principal obtenu est le suivant:
Theoreme. Les conditions suivantes sont equivalentes:
(i) H2 (A B W ) = 0 pour tout B -module W .
(ii) est un isomorphisme et I=I 2 est un B -module plat.
(iii) est un isomorphisme, I=I 2 est un B -module plat et 2q = 0 pour tout
q 2.
(iv) 2 est un isomorphisme et I=I 2 est un B -module plat.
Comme corollaire de ce theor
eme on obtient le resultat suivant d^u a Andre
(3]):
Corollaire. (Andre) Si2 H2(A B W ) = 0 pour tout B-module W , alors est
un isomorphisme et I=I est un B -module plat.
Remarque. A
l'aide d'un complex de Koszul que nous introduirons pour prouver le theor
eme precedent nous trouverons un contrexemple du reciproque de ce
corollaire.
2. Un complexe de Koszul qui caracterise les algebres commutatives
graduees qui sont symetriques
Soit R = q0 Rq une A-alg
ebre commutative graduee, avec R0 = A, et engendree, comme A-alg
ebre, par R1 (par exemple, S (M ) l'alg
ebre symetrique
d'un module M , ou bien R(I ) l'alg
ebre de Rees d'un ideal I ). On dira que R est
une A-alg
ebre cgc1 (commutative graduee connexe et engendree par des elements
de degre 1).
Soit : R1 R R le morphisme produit (x y) = xy et soit ()
le complexe de Koszul de la forme R-lineaire (voir 4]). Lorsque est homog
ene de degre zero, () est un complexe de R-modules gradues ayant
comme dierentielles des morphismes gradues de degre zero de R-modules. On le
denotera par (R) et on l'appelera le complexe de Koszul de R. Concr
etement,
(R) est un complexe gradue avec (R) =
(R)n , o
u (R)n denote le
n0
subcomplexe partie homog
ene de degre n, c'est a dire:
!
K
K
K
K
K
0
;!
:::
:::
K
K
An(R1 ) @ 0 An;1 (R1 ) A R1 @ ;1 1 An;2 (R1 ) A R2 : : :
Ap (R1 ) A Rn;p @ ; Ap;1 (R1 ) A Rn;(p;1) : : :
n
;!
pn
;!
;!
A2 (R1 ) A Rn;2 @2
n
p
;!
;2
n
;!
;!
;!
R1 A Rn;1 @1
;!
;1
n
;!
Rn
;!
0
Sur l'annulation du deuxieme foncteur de (co)homologie d'Andre-Quillen
avec @pn;p (x1 : : : xp y) =
^
^
3
p
X
i=1
( 1)i;1 x1 : : : xbi : : : xp xi y, pour
;
^
^
^
^
tout xi R1 et y Rn;p . En particulier, pour chaque p 0, Hp ( (R)) =
H ( (R))n est un A-module gradue, o
u Hp ( (R))n = Hp ( (R)n ).
n0 p
2
2
K
K
K
K
Proposition 2.1. Soit R une A-algebre cgc1 et soit : S(R1 ) ! R le morphisme canonique. Alors, il existe un isomorphisme gradue de degre zero de
R-modules
H1 (K (R)) = S (RKer) Ker :
1
+
En particulier, la composante q est un isomorphisme pour tout q, 2 q n,
si et seulement si H1 (K (R)q ) = 0 pour tout q, 2 q n.
Pour prouver la proposition on a besoin du fait suivant.
Lemme 2.2. Si M est un A-module, alors H1( (S(M ))) = 0. D'ailleurs,
si M est A-plat ou bien si A contient le corps des nombres rationels, alors
Hp ( (S (M ))) = 0 pour tout p 2.
Demonstration du Lemme 2.2. Il sut de prouver que H1 ( (S (M ))n ) = 0 pour
chaque n 0. D'apr
es les propietes fonctorielles du foncteur de symetrisation,
Ker@1n;1 n'est que le A-module engendre par les elements x1 (y2 y3 yn )
y2 (x1 y3 yn ) avec x1 yi M et y2 y3 yn representant le produit des yi
dans Sn;1 (M ). C'est a dire, par les elements u (vy) v (uy) avec u v M et
y Sn;2 (M ). D'o
u, Ker@1n;1 = Im@2n;2 . La demonstration de la deuxi
eme
assertion se suit du fait que le complexe (S (M )) s'identie au complexe
S(M ) (M ) de 4] (voir page 151 de 4], ou bien 7]).
Demonstration de la Proposition 2.1. Comme : S (R1 ) R est un morphisme
gradue, Ker est un ideal homog
ene de S (R1 ) et Ker=(S+ (R1 ) Ker) est un Amodule gradue. Lorsque Si (R1 ) Kerj Si;1 (R1 ) Kerj+1 pour tout i j 2,
la composante de degre n 0 du A-module gradue Ker=(S+ (R1 ) Ker) est
Kern =(R1 Kern;1 ). Il faut donc voir que pour chaque n 0 il existe un
isomorphisme de A-modules:
n :
H1 ( (R)n ) = R Ker
(1)
Ker
n;1
1
Prouvons (1) pour n 2 (pour n = 0 1 c'est evident). Lorsque R est engendree
par des elements de degre 1, pour chaque n 2 la suite de A-modules suivante
est exacte:
0
Kern;1
Sn;1 (R1) ;1 Rn;1 0 :
En faisant le produit tensoriel par R1 on obtient la suite exacte:
K
K
K
2
;
;
2
2
K
!
K
;!
R1 A Kern;1
n
;!
;!
;!
;!
R1 A Sn;1 (R1 ) 1 1 ;1 R1 A Rn;1
d'o
u le diagramme commutatif suivant:
R
n
;!
;!
0
4
$
%
Francesc Planas-Vilanova
'
&
0
-
Ker@1S ;1
n
n
-
?
n
?
-
?
n
?
Sn (R1 )
R
n
n
?
-
Kern
R1 Kern;1
?
n
n
-
Ker
R
n
1 ;1
R1 S ;1 (R1 )
R1 R ;1
-
R1 Ker ;1
-
?
Ker@1 ;1
-
0
-
0
?
0
0
D'apr
es le diagramme du serpent, la suite de A-modules suivante est exacte:
;
Kern
0
(1 n;1 ) Ker@1Sn;1
Ker@1Rn;1
0 : (2)
R1 Kern;1
;!
;!
;!
;!
D'apr
es le Lemme 2.2, H1 ( (S (R1 ))) = 0. C'est a dire que
K
Ker@1Sn;1 = Im@2Sn;2 =< v uy u vy u v R1 y Sn;2 (R1 ) >A :
;
j
2
2
Et ainsi,
(1 n;1 )(Ker@1Sn;1 ) =
;
(1 n;1 ) < v uy u vy u v R1 y Sn;2 (R1 ) > =
< v uz u vz u v R1 z Rn;2 >A= Im@2Rn;2 :
;
;
j
j
2
2
2
2
(3)
Finalement, de (3) et (2) on obtient que
Ker@1Rn;1
Ker@ R
n :
= R Ker
H1 ( (R)n ) = Im@ R1n;1 = (1 )(Ker
S
@1n;1 )
1 Kern;1
n;1
2n;2
K
Corollaire 2.3. Soit I un ideal d'un anneau A et soit : S(I ) ! R(I ) le
morphisme canonique. Alors, q est un isomorphisme pour tout q, 2 q n,
si et seulement si les complexes de A-modules suivants sont exacts pour tout q,
2 q n,
2(I ) I q;2
(u v) y
^
@2 ;2
q
-
- Iq
I I q;1
v uy u vy
- xy
x y
@1 ;1
q
;
Sur l'annulation du deuxieme foncteur de (co)homologie d'Andre-Quillen
5
Les ideaux I dont le morphisme canonique : S (I ) R(I ) est un isomorphisme sont appeles de type lineaire et ceux dont la deuxi
eme composante
2 : S2 (I ) I 2 est un isomorphisme sont appeles syzygetiques (voir, par exemple 5], 7], 9]).
De la Proposition 2.1, et en utilisant les m^emes notations de l'introduction,
on obtient deux corollaires: l'un qui fait voir la relation entre et (voir a ce
propos, 1.3 de 9]) et l'autre qui fait voir la relation entre 2 et 2 (voir 2.5 et
2.6 de 5]).
!
!
Corollaire 2.4. est un isomorphisme si et seulement si est un isomorphisme et 2q = 0 pour tout q 2.
Demonstration. Pour chaque q 2, on a le diagramme commutatif suivant:
0
@2 ;-1
2 (I ) I q;1
q
?
I Iq
?
;
@2 ;-2
?
q
q
2q 1
2 (I ) I q;2
@1 -
?
I q+1
?
1q
-
@1 ;1
I I q;1
?
;
2q 2
q
Iq
;
?
1q 1
@ 2 ;-2 I I ;1 @ 1 ;-1 q q+1
I =I
I2 I
B2 ( II2 ) II q;;21
q
q
q
q
q
?
?
0
-
0
-
0
-
0
?
0
0
Les lignes representent, de haut en bas, les trois derniers termes des complexes
(R(I ))q+1 , (R(I ))q et (G(I ))q . Remarquons que la ligne inferieure s'obtient
en faisant le produit tensoriel de celle du milieu par B . La colonne de la gauche
et celle du milieu sont la colonne de la droite en degres q 2 et q 1 apr
es avoir
fait le produit tensoriel par 2 (I ) et I respectivement. En particulier, les trois
colonnes sont des suites exactes.
D'ailleurs, Im@2q;2 Ker@1q;1 = TorA1 (B I q;1 ) = TorA2 (B A=I q;1 ) et la
dierentielle @2q;2 : 2 (I ) I q;2 I I q;1 induit l'homomorphisme 2q;2 :
2 (I ) I q;2 TorA2 (B A=I q;1 ) pour chaque q 2. Alors, on a le diagramme
commutatif suivant:
K
K
K
;
!
!
;
6
Francesc Planas-Vilanova
2 ;1-
2 (I ) I q;1
2 ;1
q
?
2 ;2
-
TorA2 (B A=I q;1 )
q
q
?
2q
2 (I ) I q;2
2 ;2
TorA2 (B A=I q )
q
2 ;2 *
?
?
q
;
B2 ( II2 ) II q;;12
2q 2
-
Ker@ 1q;1
Lorsque TorA2 (B A=I q;1 ) est un B -module, 2q;2 factorise a 2q;2 .
Suposons que q est un isomorphisme pour tout q, 2 q n. Alors, et
d'apr
es le Corollaire 2.3, 2q;2 est un epimorphisme pour tout q, 2 q n.
En particulier, et lorsque la colonne de la gauche est un complexe, 2q = 0 pour
tout entier q, 1 q n 1.
Reciproquement, que soit un isomorphisme c'est equivalent au fait que
2q;2 soit un epimorphisme pour tout q 2. De l'hypoth
ese 2q = 0 pour tout
q 2, il en resulte que 2q;2 est un epimorphisme pour tout q 2 et ceci est
equivalent au fait que soit un isomorphisme.
Corollaire 2.5. 2 est un isomorphisme
si et seulement si 2 est un epimorphisme. D'autre part, si H2 ( (SB (I=I 2 ))2 ) = 0, alors 2 est un monomorphisme.
Demonstration. Considerons le dernier diagramme du corollaire precedent. Comme 2q;2 est un epimorphisme,
Im2q;2 = Im2q;2 = Im@2q;2 Ker@1q;1 = TorA2 (B A=I q;1 ) :
(4)
D'autre part, si q 2 et si x y I et z I q;2 , alors 2q;2 est denit par
2q;2 ((x y) z ) = @2q;2 ((x y) z ) = y (xz ) x (yz ) :
D'o
u pour q = 2, on a que 20 = 2 (voir 1]). Par consequent, que 2 soit
un isomorphisme, que 20 soit un epimorphisme ou que 20 = 2 soit un
epimorphisme, sont trois conditions equivalentes.
D'ailleurs, si H2 ( 2 (SB (I=I 2 ))2 ) = 0, alors 20 est un monomorphisme et
cel
a entra^ne que 20 = 2 soit un monomorphisme.
Remarque 2.6. Dans la derni
ere demonstration, on deduit de (4)
que, pour
chaque q 2, H1 ( (R(I ))q ) = Coker2q;2 . En calculant TorA2 (B A=I q;1 )
avec une presentation A-plate de l'ideal I et en utilisant la Proposition 2.1, on
peut recuperer une expression du quotient du Ker par S+ (I ) Ker demontree
par Kuhl dans le cas d'un ideal de type nit (voir 1.2 de 6] et 7]).
q
;
K
^
2
2
^
;
K
K
3. Annulation du groupe H2(A B G(I ))
Soit I un ideal d'un anneau A et soit B = A=I . Soit f : F A une presentation
A-plate de l'ideal I , c'est a dire que F est un A-module plat et f est un morphisme de A-modules avec f (F ) = I . Soit (f ) le complexe de Koszul de f et
!
K
Sur l'annulation du deuxieme foncteur de (co)homologie d'Andre-Quillen
7
soient @ , Z = Ker@ et B = Im@+1 la dierentielle, les cycles et les bords de
(f ), respectivement.
Pour chaque B -module W (voir 15.12 2]) il existe une suite exacte de B modules:
0 H2 (A B W ) H1 ( (f )) W F W I W 0
K
!
!
K
!
B
!
!
o
u, pour chaque x Z1 et y W , le morphisme : H1 ( (f )) W F W
B
est denit par ((x + B1 ) y) = x y.
Soit J un autre ideal de A et soit (I J ) le complexe, concentre en degres
0, 1 et 2, denit par
l2l12 (I ) J
I IJ
I J
2
2
K
!
L
(u v) y
^
-
v uy u vy
-u y
u y
;
Avec ces notations, on a la proposition suivante:
Proposition 3.1. Il existe : H1 ( (f )) B J=IJ JZ1=JB1, epimorphisme
de B -modules, tel que 0
Ker( )
H2 (A B J=IJ )
H1 ( (I J ))
0
est une suite exacte de B -modules.
Demonstration. Considerons 0 B1
Z1 H1 ( (f )) 0 et faisons le
produit tensoriel par J :
K
;!
!
?
- JB
;!
!
-
B1 J
0
;!
;!
!
1 1
;!
!
- BZ
Z1 J
?
- JZ
1
K
L
J
-0
0
?
JZ
- JB
-0
1
1
1
Soit 0 : H1 ( (f )) J JZ1 =JB1 l'epimorphisme induit. Lorsque H1 ( (f ))
est un B -module, on a le morphisme denit par la composition:
K
!
K
0
: H1 ( (f )) B (J=IJ ) ' H1 ( (f )) A J JZ1 =JB1 :
K
;!
K
;!
Soit 0 : JZ1 =JB1 JF=JIF le morphisme induit par les inclusions B1
IF et Z1 F . Comme F est un A-module plat, JF=JIF
F A (J=IJ )
denit par yx + JIF x (y + IJ ) (x F et y J ) est un isomorphisme. Soit
la composition suivante:
!
;!
7!
2
2
0
: JZ1 =JB1 JF=JIF ' F A (J=IJ ) :
On a = et ainsi la suite de B -modules 0 Ker( ) Ker() Ker( ) 0
est exacte. Il reste a
verier que Ker( ) = H1 ( (I J )). D'un c^ote on a que
Ker( ) = Ker( 0 ) = JZ1JBJIF :
1
;!
;!
!
L
\
!
!
!
8
Francesc Planas-Vilanova
D'un autre c^ote, on a le diagramme commutatif suivant:
0
0
-
-
TorA2 (B A=IJ )
?
-
-
TorA2 (B A=J )
-IJ -0
- IJ? - 0
I IJ
2
l1
?
I J
D'apr
es le lemme du serpent et en calculant les deux modules Tor2(B A=IJ ) et
Tor2(B A=J ) avec la presentation A-plate 0 Z1 F I 0, on a que
!
!
!
Ker (l1: I IJ
I J ) = Ker(Tor2 (B A=IJ )
Z
IJF
Z1 JF = JZ1 IJF :
= Ker 1IJZ
JZ1
IJZ1
1
;!
\
;!
;!
\
!
Tor2(B A=J )) =
\
Comme Iml2 Kerl1 TorA2 (B A=IJ ), alors
Im (l2 : 2 (I ) J
!
JB1 :
I IJ ) = Im 2 (I ) J l2 Tor2(B A=IJ ) = JIZ
!
1
l1 ) JZ1 IJF
0
Ainsi, H1 ( (I J )) = Ker(
Im(l2 ) = JB1 = Ker( ) = Ker( ).
Le corollaire suivant est un resultat bien connu:
L
\
Corollaire 3.2. Soit I un ideal et soit : S(I ) ! R(I ) le morphisme canonique. Alors H2 (A B B ) = Ker2 .
Demonstration. Prenons dans la Proposition 3.1, J = A. Alors, Ker( ) = 0 et,
de cette facon, H2 (A B B ) = H1 (L(I A)) = H1 (K (R(I ))2 ) = Ker2 .
Proposition 3.3. Soit I un ideal de A tel que H2( (SB (I=I 2))) = 0 (ou B =
A=I ). Si H2 (A B G(I )) = 0, alors est un isomorphisme.
K
Demonstration. On a que 0 = H2 (A B G(I )) = t0 H2 (A B I t =II t) (voir
3.23 2]). D'apr
es la Proposition 3.1, H1 (L(I I t )) = 0 pour tout t 0.
Prouvons alors, par induction en q 2, qu'avec l'hypoth
ese supplementaire
H2 (K (SB (I=I 2 ))) = 0, q est un isomorphisme.
Si q = 2, on a dej
a vu au lemme precedent que H1 (L(I A)) = 0 entra^ne
que 2 soit un isomorphisme. Prenons maintenant q 2 et suposons que p
est un isomorphisme pour tout p, 2 p q. Prouvons alors que q+1 est un
isomorphisme. Considerons le diagramme commutatif suivant:
Sur l'annulation du deuxieme foncteur de (co)homologie d'Andre-Quillen
9
0
-
@
2 (I ) I q;1 l22 ;;11
2 ;1
q
q
@3 ;-3
3 (I ) I q;3
q
?
?
?
;
?l
q
q
q
q
-
@1 ;-1
I I q ;1
q
?
;
2q 2
@
3 ( II2 ) II ;;32 3 ;3
q
q
q
?
I q+1
?
-
q
;
q
q
?
Iq
?
1q 1
-
@
@
2 ( II2 ) II ;;12 2 ;2 II2 I I;1 1 ;1
q
?
1q
@2 ;-2
3q 3
I Iq
q
2 (I ) I q;2
@1 -
I q =I q+1
?
-0
-0
-0
?
0
0
0
0
o
u les quatre colonnes sont des suites exactes car les trois premi
eres sont la
quatri
eme en degres q 3, q 2 et q 1 apr
es avoir fait le produit tensoriel par
3 (I ), 2 (I ) et I , respectivement.
La ligne inferieure represente les quatre derniers termes de (G(I ))q . D'apr
es
l'hypoth
ese d'induction, p : SBp (I=I 2 ) I p =I p+1 est un isomorphisme pour
chaque p, 2 p q. Alors, induit un isomorphisme de complexes
(SB (I=I 2 ))q
(G(I ))q :
;
;
;
K
!
K
' K
D'apr
es le Lemme 2.2, H1 ( (SB (I=I 2 ))q ) = 0 et, par hypoth
ese, on a que
H2 ( (SB (I=I 2 ))q ) = 0, d'o
u le fait que la ligne inferieure soit exacte.
La ligne du milieu represente les quatre derniers termes de (R(I ))q . D'apr
es
la Proposition 2.1, et en utilisant l'hypoth
ese que q est un isomorphisme,
Ker@1q;1 = Im@2q;2 .
La ligne superieure represente les trois derniers termes de (R(I ))q+1 . Si on
prouve que H1 ( (R(I ))q+1 ) = 0, alors d'apr
es la Proposition 2.1, on aura que
Kerq+1 = I Kerq . Comme par hypoth
ese, Kerq = 0, cela entra^nera que
Kerq+1 = 0. Voyons donc que H1 ( (R(I ))q+1 ) = 0.
Prenons x Ker@1q , c'est a dire, l1q (x) Ker@1q;1 = Im@2q;2 . Alors, il
existe y 2(I ) I q;2 avec @2q;2 (y) = l1q (x). Prenons 2q;2 (y). On a que
K
K
K
K
K
K
2
2
2
@ 2q;2 (2q;2 (y)) = 1q;1 (@2q;2 (y)) = 1q;1 (l1q (x)) = 0
c'est a dire que, 2q;2 (y) Ker@ 2q;2 . D'apr
es l'exactitude de la ligne inferieure
on deduit qu'il existe z 3(I=I 2 ) I q;3 =I q;2 avec @ 3q;3 (z ) = 2q;2 (y).
Soit t 3 (I ) I q;3 avec 3q;3 (t) = z et considerons y @3q;3 (t)
2 (I ) I q;2 . Alors, 2q;2 (y @3q;3 (t)) = 2q;2 (y) @ 3q;3 (3q;3 (t)) =
2q;2 (y) @ 3q;3 (z ) = 0. Par consequent, (comme Ker2q;2 = Im2q;1 ) il
existe u 2 (I ) I q;1 avec 2q;1 (u) = y @3q;3 (t). On a que
2
2
2
;
;
;
;
2
;
2
10
Francesc Planas-Vilanova
0 = l1q (l2q;1 (u)) = @2q;2 (2q;1 (u)) = @2q;2 (y) @2q;2 (@3q;3 (t)) = l1q (x) :
;
Comme H1 ( (I I q;1 )) = 0 et x Kerl1q , il existe v 2 (I ) I q;1 tel que
x = l2q;1 (v) = @2q;1 (v). C'est a dire que x Im@2q;1 .
L
2
2
2
4. Demonstration du theoreme
Avant de prouver le theor
eme, rappelons le resultat suivant:
Lemme 4.1. Soient I un ideal de A, B = A=I et : S(I ) ! R(I ) le morphisme canonique. Pour chaque B -module W il existe un epimorphisme canonique de B -modules
! : H2 (A B W )
;!
TorB1 (I=I 2 W )
et, 2 est un isomorphisme si et seulement si ! est un isomorphisme pour chaque
W.
Demonstration. Considerons 0
Z1 F W 0 une presentation de
W comme B -module avec F un B -module plat. En y appliquant le foncteur
d'homologie H (A B ) (3.22 2]) on obtient la suite exacte de B -modules:
!
!
!
!
H2 (A B F ) ! H2 (A B W ) ! H1 (A B Z1 ) ! H1 (A B F ) ! H1 (A B W ) ! : : :
Comme B = A=I , alors H1 (A B ) = I=I 2 , et H0 (A B ) = BjA = 0
B
B
(voir 6.1 et 6.3 2]). Alors, la suite suivante est exacte:
H2 (A B F )
!
H2 (A B W )
!
I=I 2 B Z1
!
I=I 2 B F
!
I=I 2 B W
!
0
d'o
u le fait que H2 (A B F )
H2 (A B W ) ! TorB1 (I=I 2 W )
0
soit une suite exacte de B -modules. Si 2 est un isomorphisme, alors d'apr
es
le Corollaire 3.2, H2 (A B B ) = 0. Lorsque F est un B -module plat, alors
H2 (A B F ) = H2 (A B B ) B F = 0 (voir 3.20 de 2]) et ! est un isomorphisme. Reciproquement, il sut que ! soit un isomorphisme pour le B -module
W = B.
;!
;!
;!
Theoreme 4.2. Les conditions suivantes sont equivalentes:
(i)
(ii)
(ii)0
(iii)
(iii)0
(iv)
(v )
H2 (A B W ) = 0 pour tout B -module W .
est un isomorphisme et I=I 2 est un B -module plat.
2 est un isomorphisme et I=I 2 est un B -module plat.
est un isomorphisme, I=I 2 est un B -module plat et 2q = 0 pour tout
q 2.
2 est un isomorphisme, I=I 2 est un B -module plat et 22 = 0.
2 est un isomorphisme et I=I 2 est un B -module plat.
2 est un epimorphisme et I=I 2 est un B -module plat.
Sur l'annulation du deuxieme foncteur de (co)homologie d'Andre-Quillen
11
Demonstration. Prouvons l'equivalence entre (i) et (ii)0 . Si H2 (A B ) = 0, en
particulier, 2 est un isomorphisme et d'apr
es le Lemme 4.1, 0 = H2 (A B W ) =
TorB1 (I=I 2 W ) pour tout B -module W , c'est a
dire que I=I 2 est un B -module
plat.
Reciproquement, si 2 est un isomorphisme et I=I 2 est un B -module plat,
alors d'apr
es le Lemme 4.1, 0 = TorB1 (I=I 2 W ) = H2 (A B W ) pour tout B module W . C'est a
dire que H2 (A B ) = 0.
Il est evident que (ii) implique (ii)0 . Reciproquement, si I=I 2 est un B module plat, alors d'apr
es le Lemme 2.2, H2 (K (SB (I=I 2 ))) = 0. Lorsque 2 est
un isomorphisme et d'apr
es le Lemme 4.1, H2 (A B G(I )) = TorB1 (I=I 2 G(I )).
Mais ce dernier module est nul parce que I=I 2 est un B -module plat. Alors,
H2 (K (SB (I=I 2 ))) = 0 et H2 (A B G(I )) = 0, ce qui entra^ne (d'apr
es la Proposition 3.3) que est un isomorphisme.
L'equivalence de (ii) et (iii) se deduit du Corollaire 2.4. La demonstration
du m^eme resultat implique que si 2 est un isomorphisme et 22 = 0, alors 2
est un isomorphisme. Ainsi, on a que (iii)0 implique (ii)0 .
Finalement l'equivalence entre (ii)0 , (iv) et (v) se deduit du Corollaire 2.5.
Remarque 4.3. Si on remplace
la condition que I=I 2 soit un B -module plat
2
par la condition que I=I soit un B -module projectif on peut redemontrer le
theor
eme precedent en remplacant le module d'homologie par le correspondant
module de cohomologie.
Nous nissons en donnant un exemple d'un ideal I d'un anneau A (necessairement, non noetherien) avec I=I 2 un B = A=I -module plat, : SB (I=I 2 ) ! G(I )
un isomorphisme, mais avec H2 (A B B ) 6= 0.
Exemple 4.4. Soit k un corps et soit A = kX Y1 Y2 : : :]=J le quotient de
l'anneau de polyn^omes par l'ideal J engendre par les elements XY1 , XYi+1 ; Yi
avec i = 1 2 : : :. Soit I = (x) l'ideal de A engendre par la classe de X en
A. Alors, I=I 2 est un B = A=I -module plat, : SB (I=I 2 ) ! G(I ) est un
isomorphisme et H2 (A B B ) 6= 0.
Demonstration. Soient x y1 y2 : : : les classes des variables X Y1 Y2 : : : module
J . Lorsque I est un ideal principal, alors ce n'est pas dicile de prouver
T que,
pour tout q 2, H1 (K (R(I ))q ) = (0 : x) \ I q;1 . Mais, (0 : x) q0 I q .
En eet, soit z 2 (0 : x), o
u z est la classe d'un polyn^ome Z en A. Alors,
ZX 2 J (Y1 Y2 : : :) = HP
. Lorsque X 2= H , Z 2 H car H est un ideal
premier. C'est a dire que, z = ai yi . Lorsque yp = xyp+1 = : : : = xq yp+q en A,
alors z 2 I q pour tout q.
Ainsi, H1 (K (R(I ))q ) = (0 : x) pour tout q 2. Comme y1 2 (0 : x) et
y1 6= 0, on a que
0 = (0 : x) = H1 ( (R(I ))2 ) = Ker2 = H2 (A B B ) :
6
K
Voyons que est un isomorphisme en prouvant
que H1 ( (G(I ))) = 0.
;
Comme I est un ideal principal, alors 2 (I ) = 0, Im 2 (I ) I q;2 I I q;1 =
0 et
@1q;1 = Ker ;@
q;1
q :
(0 : x) = H1 ( (R(I ))q ) = Ker
I
1q ;1 : I I
Im@2q;2
K
K
!
;!
12
Francesc Planas-Vilanova
Ainsi, pour chaque q 2, la suite 0
(0 : x) I I q;1 @1 ;1 I q
0, o
u
(z ) = x z , est exacte. En faisant le produit tensoriel par B = A=I , on obtient
la suite exacte de B -modules:
;!
;!
q
;!
;!
(0 : x) B 1 I=I 2 I q;1 =I q @ 1 ;1 I q =I q+1
0
o
u (z 1) = (x + I 2 ) (z + I q ) = 0 car z (0 : x) I q pour tout q 1. Donc,
0 = Ker@ 1q;1 = H1 ( (G(I ))q ) = 0, pour tout q 2.
B
;!
K
q
;!
;!
2
Remerciements. Je veux exprimer ma gratitude a Jose M. Giral pour de nombreuses idees et
pour son aide a la realisation de ce travail. Je veux remercier aussi Antonio G. Rodicio pour
les tres utiles conversations a propos de ce sujet et pour son encouragement.
References
1] Andre, M.: Methode simpliciale en algebre homologique et algebre commutative. Lecture
Notes in Math. 32. Springer 1967.
2] Andre, M.: Homologie des algebres commutatives. Grundlehren 206. Heidelberg: Springer
1974.
3] Andre, M.: Algebres Graduees Associees et Algebres Symetriques Plates. Comm. Math.
Helvetici 49, (1974), 277-301.
4] Bourbaki, N.: Algebre. Chapitre 10. Algebre homologique. Masson. Paris, 1980.
5] Herzog, J., Simis, A., Vasconcelos, W.V.: Koszul homology and blowing-up rings. Proc.
Trento Commutative Algebra Conf., Lecture Notes in Pure and Applied Math. 84, Marcel
Dekker (1982), 79-169.
6] Kuhl, M.: On the symmetric algebra of an ideal. Manuscripta Math. 37 (1982), 49-60.
7] Planas Vilanova, F.: Ideals de tipus lineal i homologia d'Andre-Quillen. These, Universitat
de Barcelona, 1994.
8] Quillen, D.: On the homology of commutative rings. Proc. Symp. Pure Math. 17 (1970),
65-87.
9] Valla, G.: On the symmetric and Rees algebra of an ideal. Manuscripta Math. 30 (1980),
239-255.
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