Chapitre 1 Les erreurs

Chapitre 1
Les erreurs
1
Erreur absolue et erreur relative
Soient x une valeur exacte et x∗ une valeur approchee de x.
1.1
Erreur absolue
Définition
On appelle erreur absolue de x∗ (sur x), la quantite E = |x − x∗ |. L’erreur absolue
sert a déterminer la précision de la valeur approchée x∗ par rapport a la valeur exacte x.
Exemple
Pour la valeur exacte x = 2/3, la valeur approchée x∗1 = 0.666667 est mille fois plus
précise que la valeur approchée x∗2 = 0.667 En effet, nous avons :
E1 = |x − x∗1 | = |2/3 − 0.666667| = 31 10−6
E2 = |x − x∗2 | = |2/3 − 0.667| = 13 10−3
1.2
Erreur relative
Définition
On appelle erreur relative de x∗ , la quantite Er =
|x−x∗ |
|x|
=
∗
E
.
|x|
∗
L’erreur relative
sert a comparer la precision de différentes valeurs approchées x , y , ... relativement à
différentes valeurs exactes x, y, ....
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CHAPITRE 1. LES ERREURS
Exemple
Pour les valeurs exactes x = 2/3 et y = 1/15, on considére les valeurs approchées
respectives x∗ = 0.67 et y ∗ = 0.07 les erreurs absolues sont :
E1 = |x − x∗ | = |2/3 − 0.67| = 13 10−2
E2 = |y − y ∗ | = |1/15 − 0.07| = 13 10−2
Les erreurs relatives sont :
Er1 = E1 /|x| = 0.5%
Er2 = E2 /|y| = 0.5%
Ainsi, bier que les erreurs absolues soient égales, x∗ est une approximation dix fois plus
précise pour x que ne l’est y ∗ pour y.
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Majorants des erreurs absolue et relative
On appelle majorant de l’erreur absolue dune valeur approchée x∗ tout nombre réel
positif 4x vérifiant :
E = |x − x∗ | ≤ 4x ou de manière équivalente : x∗ − 4x ≤ x ≤ x∗ + 4x. On écrit
x = x∗ ± 4x
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Propagation des erreurs
Soient x et y deux valeur exactes, x∗ et y ∗ deux approximations de x et y, 4x et
4y les erreurs absolues et δx et δy les erreurs relatives.
3.1
Addition
4(x + y) = 4x + 4y et δ(x + y) ≤ max(δx, δy)
3.2
Soustraction
4(x − y) = 4x + 4y et δ(x − y) ≤
3.3
|x∗ +y ∗ |
max(δx, δy)
|x∗ −y ∗ |
Multiplication
4(xy) = x∗ 4y + y ∗ 4x et δ(xy) = δx + δy
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CHAPITRE 1. LES ERREURS
3.4
Division
4(x/y) =
4
x∗ 4y+y ∗ 4x
(y ∗ )2
et δ(x/y) = δx + δy
Chiffres significatifs
4.1
Représentation décimale des nombres approches
On sait que tout nombre réel positif x Peut être representé sous la forme d’un nombre
décimal de développement limite ou illimite :
x = am 10m + am−1 10m−1 + ... + am−n 10m−n + ...
ou les ai sont les chiffres du nombre réel x (les ai prennent les valeurs 0, 1, 2, ., 9), avec
am 6= 0 ou m est un entier naturel appelé rang supérieur du nombre réel x.
Exemple
Cas d’un développèrent limite :
3125.1670 = 3.103 + 1.102 + 2.103 + 5.100 + 1.10−1 + 6.10−2 + 7.10−3 + 0.10−4
Cas d’un développèrent illimité :
π = 3.14159265358... = 3.100 + 1.10−1 + 4.10−2 + 1.10−3 + 5.10−4 + ... + 5.10−10 +
8.10−11 + ...
Dans la pratique on n’utilise, essentiellement, que des nombres approches finis (avec
développements limites) :
x ≈ bm 10m + bm−1 10m−1 + ... + bm−n 10m−n
|
{z
}
bm 6= 0
x*
- Tous les chiffres conservés bi (i = m, ...m − n) s’appellent chiffres significatifs du
nombre approché x.
- Certains des bi peuvent être nuls.
- Les exemples suivants illustrent les cas où le zéro n’est pas considéré comme chiffre
significatif.
1. x∗ = 3.10−3 +0.10−4 +4.10−5 +0.10−6 qui s’écrit en notation décimale x∗ = 0.003040
. Les zéros soulignes ne sont pas des chiffres significatifs.
2. x∗ = 2.108 + 0.107 + 0.106 + 1.105 + 0.104 qui s’écrit en notation décimale x∗ =
200100000. Les zéros soulignes ne sont pas des chiffres significatifs.
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CHAPITRE 1. LES ERREURS
Définition de chiffre significatif
On appelle chiffre significatif d’un nombre approché, tout chiffre dans sa représentation
décimale différent du zéro ; et un zéro s’il se trouve entre deux chiffres significatifs, où
s’il constitue un chiffre conserve.
Exemple
Une approximation a 6 décimales de x = 0.00301045 est :
0.003010 = x ∗ (= 3.10−3 + 0.10−4 + 1.10−5 + 0.10−6 )
Ce zéro traduit le fait que le nombre approche a conserve la décimale 106 : c’est un
chiffre significatif.
Etant place entre les chiffres significatifs 3 et 1, zero est lui-même un chiffre significatif.
Ne sont pas significatifs car ils ne servent qu’a, indiquer les rangs des autres chiffres.
4.2
Chiffres significatifs exacts
Définition
Un chiffre significatif d’un nombre approche x∗ est dit exact (c.s.e) si l’erreur absolue
de ce nombre ne dépasse pas un demi unite de rang du chiffre significatif.
Ainsi :
Le neme chiffre significatif apres la virgule est exact si : 4x ≤ 0.5 10n
Le neme chiffre significatif avant la virgule est exact si : 4x ≤ 0.5 10n−1
Exemple
Pour x = 35.97 et x∗ = 36.00 (une approximation de x), nous avons :
4x = |x − x∗ | = |35.97 − 36.00| = 0.3 10−1 ≤ 0.5 10−1 donc les chiffres significatifs
3, 6 et le premier zero apres la virgule sont exacts.
• Si un chiffre significatif est exact, tous les chiffres significatif a sa gauche sont exacts.
• Si un chiffre significatif nest pas exact, tous ceux a sa droite ne le sont pas.
• Si l’erreur absolue ne dépasse pas une unite de rang du chiffre significatif, on dit que
c’est une approximation au sens large ou encore que c’est une approximation a chiffres
exacts dans un sens large.
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CHAPITRE 1. LES ERREURS
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Arrondissement d’un nombre
Une méthode habituelle pour tronquer un nombre pour ne garder qu’un nombre fini
de chiffres significatifs est l’arrondi.
5.1
Règles d’arrondissement
Pour arrondir un nombre jusqu’à n chiffres significatifs, il faut éliminer les chiffres a
droite du neme c. s. conservé si on se trouve après la virgule, sinon on remplace par des
zéros, puis on procède de la manière suivante :
1. Si le (n + 1)eme c. s. est > 5, on ajoute 1 au neme chiffre.
2. Si le (n + 1)eme c. s. est < 5, les chiffres retenus restent inchangés.
3. Si le (n + l)eme c. s. est égale a 5 alors deux cas sont possibles :
• Tous les chiffres rejetés, situes après le (n + 1)eme c.s, sont des zéros : On applique la
règle du chiffre pair, ie : le neme chiffre reste inchangé s’il est pair. On lui ajoute 1 s’il
est impair.
• Parmi les chiffres rejetés, situes après le (n + 1)eme c.s, il existe au moins un qui soit
non nul : On ajoute 1 au neme chiffre.
5.2
Conséquence
Un nombre correctement arrondi ne possède que des chiffres significatifs exacts.
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Relation entre erreur relative et c.s.e
Si un nombre approximatif possède n chiffres significatifs exacts, alors son erreur
relative est < 5 10−n (sauf si le nombre est 1 suivi de (n − 1) zéros).
Si l’erreur relative à x∗ est ≤ 0.5 10−n alors x∗ possède au moins n chiffres significatifs
exacts.
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