Chapitre 1 Les erreurs

Chapitre 1
Les erreurs
1 Erreur absolue et erreur relative
Soient xune valeur exacte et x∗une valeur approchee de x.
1.1 Erreur absolue
D´efinition
On appelle erreur absolue de x∗(sur x), la quantite E=|x−x∗|. L’erreur absolue
sert a d´eterminer la pr´ecision de la valeur approch´ee x∗par rapport a la valeur exacte x.
Exemple
Pour la valeur exacte x= 2/3, la valeur approch´ee x∗
1= 0.666667 est mille fois plus
pr´ecise que la valeur approch´ee x∗
2= 0.667 En effet, nous avons :
E1=|x−x∗
1|=|2/3−0.666667|=1
310−6
E2=|x−x∗
2|=|2/3−0.667|=1
310−3
1.2 Erreur relative
D´efinition
On appelle erreur relative de x∗, la quantite Er=|x−x∗|
|x|=E |x|. L’erreur relative
sert a comparer la precision de diff´erentes valeurs approch´ees x∗, y∗, ... relativement `a
diff´erentes valeurs exactes x, y, ....
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CHAPITRE 1. LES ERREURS
Exemple
Pour les valeurs exactes x= 2/3et y= 1/15, on consid´ere les valeurs approch´ees
respectives x∗= 0.67 et y∗= 0.07 les erreurs absolues sont :
E1=|x−x∗|=|2/3−0.67|=1
310−2
E2=|y−y∗|=|1/15 −0.07|=1
310−2
Les erreurs relatives sont :
Er1=E1/|x|= 0.5%
Er2=E2/|y|= 0.5%
Ainsi, bier que les erreurs absolues soient ´egales, x∗est une approximation dix fois plus
pr´ecise pour xque ne l’est y∗pour y.
2 Majorants des erreurs absolue et relative
On appelle majorant de l’erreur absolue dune valeur approch´ee x∗tout nombre r´eel
positif 4xv´erifiant :
E=|x−x∗|≤4xou de mani`ere ´equivalente : x∗− 4x≤x≤x∗+4x. On ´ecrit
x=x∗± 4x
3 Propagation des erreurs
Soient xet ydeux valeur exactes, x∗et y∗deux approximations de xet y,4xet
4yles erreurs absolues et δx et δy les erreurs relatives.
3.1 Addition
4(x+y) = 4x+4yet δ(x+y)≤max(δx, δy)
3.2 Soustraction
4(x−y) = 4x+4yet δ(x−y)≤|x∗+y∗|
|x∗−y∗|max(δx, δy)
3.3 Multiplication
4(xy) = x∗4y+y∗4xet δ(xy) = δx +δy
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CHAPITRE 1. LES ERREURS
3.4 Division
4(x/y) = x∗4y+y∗4x
(y∗)2et δ(x/y) = δx +δy
4 Chiffres significatifs
4.1 Repr´esentation d´ecimale des nombres approches
On sait que tout nombre r´eel positif xPeut ˆetre represent´e sous la forme d’un nombre
d´ecimal de d´eveloppement limite ou illimite :
x=am10m+am−110m−1+... +am−n10m−n+...
ou les aisont les chiffres du nombre r´eel x(les aiprennent les valeurs 0, 1, 2, ., 9), avec
am6= 0 ou mest un entier naturel appel´e rang sup´erieur du nombre r´eel x.
Exemple
Cas d’un d´evelopp`erent limite :
3125.1670 = 3.103+ 1.102+ 2.103+ 5.100+ 1.10−1+ 6.10−2+ 7.10−3+0.10−4
Cas d’un d´evelopp`erent illimit´e :
π= 3.14159265358... = 3.100+ 1.10−1+ 4.10−2+ 1.10−3+ 5.10−4+... + 5.10−10 +
8.10−11 +...
Dans la pratique on n’utilise, essentiellement, que des nombres approches finis (avec
d´eveloppements limites) :
x≈bm10m+bm−110m−1+... +bm−n10m−n
| {z }
x*
bm6= 0
- Tous les chiffres conserv´es bi(i=m, ...m −n)s’appellent chiffres significatifs du
nombre approch´e x.
- Certains des bi peuvent ˆetre nuls.
- Les exemples suivants illustrent les cas o`u le z´ero n’est pas consid´er´e comme chiffre
significatif.
1. x∗= 3.10−3+0.10−4+4.10−5+0.10−6qui s’´ecrit en notation d´ecimale x∗= 0.003040
. Les z´eros soulignes ne sont pas des chiffres significatifs.
2. x∗= 2.108+ 0.107+ 0.106+ 1.105+ 0.104qui s’´ecrit en notation d´ecimale x∗=
200100000. Les z´eros soulignes ne sont pas des chiffres significatifs.
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CHAPITRE 1. LES ERREURS
D´efinition de chiffre significatif
On appelle chiffre significatif d’un nombre approch´e, tout chiffre dans sa repr´esentation
d´ecimale diff´erent du z´ero ; et un z´ero s’il se trouve entre deux chiffres significatifs, o`u
s’il constitue un chiffre conserve.
Exemple
Une approximation a 6 d´ecimales de x= 0.00301045 est :
0.003010 = x∗(= 3.10−3+ 0.10−4+ 1.10−5+ 0.10−6)
Ce z´ero traduit le fait que le nombre approche a conserve la d´ecimale 106: c’est un
chiffre significatif.
Etant place entre les chiffres significatifs 3et 1, zero est lui-mˆeme un chiffre significatif.
Ne sont pas significatifs car ils ne servent qu’a, indiquer les rangs des autres chiffres.
4.2 Chiffres significatifs exacts
D´efinition
Un chiffre significatif d’un nombre approche x∗est dit exact (c.s.e) si l’erreur absolue
de ce nombre ne d´epasse pas un demi unite de rang du chiffre significatif.
Ainsi :
Le neme chiffre significatif apres la virgule est exact si : 4x≤0.5 10n
Le neme chiffre significatif avant la virgule est exact si : 4x≤0.5 10n−1
Exemple
Pour x= 35.97 et x∗= 36.00 (une approximation de x), nous avons :
4x=|x−x∗|=|35.97 −36.00|= 0.3 10−1≤0.5 10−1donc les chiffres significatifs
3, 6 et le premier zero apres la virgule sont exacts.
•Si un chiffre significatif est exact, tous les chiffres significatif a sa gauche sont exacts.
•Si un chiffre significatif nest pas exact, tous ceux a sa droite ne le sont pas.
•Si l’erreur absolue ne d´epasse pas une unite de rang du chiffre significatif, on dit que
c’est une approximation au sens large ou encore que c’est une approximation a chiffres
exacts dans un sens large.
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CHAPITRE 1. LES ERREURS
5 Arrondissement d’un nombre
Une m´ethode habituelle pour tronquer un nombre pour ne garder qu’un nombre fini
de chiffres significatifs est l’arrondi.
5.1 R`egles d’arrondissement
Pour arrondir un nombre jusqu’`a nchiffres significatifs, il faut ´eliminer les chiffres a
droite du neme c. s. conserv´e si on se trouve apr`es la virgule, sinon on remplace par des
z´eros, puis on proc`ede de la mani`ere suivante :
1. Si le (n+ 1)eme c. s. est >5, on ajoute 1 au neme chiffre.
2. Si le (n+ 1)eme c. s. est <5, les chiffres retenus restent inchang´es.
3. Si le (n+l)eme c. s. est ´egale a 5 alors deux cas sont possibles :
•Tous les chiffres rejet´es, situes apr`es le (n+ 1)eme c.s, sont des z´eros : On applique la
r`egle du chiffre pair, ie : le neme chiffre reste inchang´e s’il est pair. On lui ajoute 1 s’il
est impair.
•Parmi les chiffres rejet´es, situes apr`es le (n+ 1)eme c.s, il existe au moins un qui soit
non nul : On ajoute 1 au neme chiffre.
5.2 Cons´equence
Un nombre correctement arrondi ne poss`ede que des chiffres significatifs exacts.
6 Relation entre erreur relative et c.s.e
Si un nombre approximatif poss`ede nchiffres significatifs exacts, alors son erreur
relative est <5 10−n(sauf si le nombre est 1 suivi de (n−1) z´eros).
Si l’erreur relative `a x∗est ≤0.5 10−nalors x∗poss`ede au moins nchiffres significatifs
exacts.
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