Elément de cours

2nd
Trigonométrie
Lycée E. Belin
I. Cercle trigonométrique
+
J
Définition : le plan est muni d’un repère orthonormé ( O ;I; J)
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1.
Le plan est muni d’un sens direct qui correspond au sens giratoire en France
I
O
Enroulement de  sur le cercle :
La droite D tangente au cercle trigonométrique en I
est munie d’un repère (I ; A ).
D
Cette droite représente l’ensemble  des nombres réels.
On « enroule » dans le sens direct la demi-droite [IP) autour
du cercle trigonométrique.
Le point P d’abscisse x se retrouve en M sur le cercle.
_
+
_ /2
M
J
x correspond aussi à une mesure de l’arc orienté IM
+
P_x
A_ 1
On « enroule » de même la demi-droite [IK) autour
du cercle trigonométrique mais dans le sens indirect
I
O
 A tout point de la droite D correspond un unique point du cercle
 A tout point du cercle correspond une infinité de points de D
_ -1
Remarque :
K
Sur le cercle trigonométrique, tout point M peut être repéré soit :
_- /2
 par une mesure de l’arc orienté IM exprimée en unité de longueur
OU
 par une mesure de l’angle orienté au centre ( OI ; OM ) exprimé en degré
Exemples :
J
 Le point M est repéré soit :
+
 Par son angle au centre : ( OI ; OM ) = 180°
 Par la longueur du demi cercle de rayon 1 :  unités
M
 Le point J est repéré soit :
 Par son angle au centre : ( OI ; OJ ) = 90°
 Par la longueur du demi cercle de rayon 1 :

unités
2
O
I
II. Cosinus et sinus d’un nombre réel
+
J
Définition :
M
sin x
Soit M un point sur le cercle trigonométrique dont l’angle orienté ( OI ; OM ) = x
On appelle :
 cosinus de x l’abscisse du point M
 sinus de x l’ordonnée du point M
 Ainsi M a pour coordonnées (cos x ; sin x)
x
O
cos x
I
Propriétés de base : Pour tout réels x, on a :
- 1  sin (x)  1
- 1  cos (x)  1
cos2(x) + sin2(x) =1
Notation : (cos x)2 = cos2x et (sin x)2 = sin2x
cos (-x ) = cos (x)
sin (-x ) = - sin (x)
Pour tout k appartenant à , on a :
sin (x + 360 k ) = sin (x)
cos (x + 360 k ) = cos (x)
Applications :
 Calculer sin  1170 
 Déterminer sin
1
 - 90 
90°
60°
 Résoudre cos x = 2
45°
30°
Valeurs remarquables :Démonstrations : (voir activité)
 Pour 45°, utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle isocèle
de côté : 1 ; 1 et
o

-1
2
0
1
 Pour 60° et 30°, utiliser la trigonométrie dans un triangle équilatéral de
côté 1 et de hauteur
3
2
 Par symétries : centrale et axiales, on obtient alors d’autres valeurs d’angles multiples à 30°; 45° et 60°
Résumé :
mesure en degré de l’angle
associé
0
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
0
1
sin x
0
1
2
2
2
3
2
1
0
-1
0
Prolongement :
1
-
-1

-
1
O
-
-
-
-
-
-
-
-
mesure en radians de x
0

6

4

3

2

3
2
2
mesure en degré de l’angle
associé
0
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
0
1
sin x
0
1
2
2
2
3
2
1
0
-1
0