Elément de cours

2nd
Trigonométrie
Lycée E. Belin
I. Cercle trigonométrique
Définition : le plan est muni d’un repère orthonormé ( O ;I; J)
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1.
Le plan est muni d’un sens direct qui correspond au sens giratoire en France
Enroulement de  sur le cercle :
La droite D tangente au cercle trigonométrique en I
est munie d’un repère (I ; A ).
Cette droite représente l’ensemble  des nombres réels.
On « enroule » dans le sens direct la demi-droite [IP) autour
du cercle trigonométrique.
Le point P d’abscisse x se retrouve en M sur le cercle.
x correspond aussi à une mesure de l’arc orienté IM
On « enroule » de même la demi-droite [IK) autour
du cercle trigonométrique mais dans le sens indirect
 A tout point de la droite D correspond un unique point du cercle
 A tout point du cercle correspond une infinité de points de D
Remarque :
Sur le cercle trigonométrique, tout point M peut être repéré soit :
 par une mesure de l’arc orienté IM exprimée en unité de longueur
OU
 par une mesure de l’angle orienté au centre (
OI
;
OM
) exprimé en degré
Exemples :
 Le point M est repéré soit :
 Par son angle au centre : (
OI
;
OM
) = 180°
 Par la longueur du demi cercle de rayon 1 :  unités
 Le point J est repéré soit :
 Par son angle au centre : (
OI
;
OJ
) = 90°
 Par la longueur du demi cercle de rayon 1 :
2
unités
O
+
I
J
M
O
I
J
+
I
+
O
J
D
A_ 1
_ -1
P _ x
M
+
_
_ /2
_ - /2
K

II. Cosinus et sinus d’un nombre réel
Définition :
Soit M un point sur le cercle trigonométrique dont l’angle orienté (
OI
;
OM
) = x
On appelle :
 cosinus de x l’abscisse du point M
 sinus de x l’ordonnée du point M
 Ainsi M a pour coordonnées (cos x ; sin x )
Propriétés de base : Pour tout réels x , on a :
Notation : (cos x )2 = cos2 x et (sin x )2 = sin2 x
Pour tout k appartenant à , on a :
Applications :
 Calculer sin
1170 
 Déterminer sin
90 - 
 Résoudre cos x = 2
Valeurs remarquables :Démonstrations : (voir activité)
 Pour 45°, utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle isocèle
de côté : 1 ; 1 et
2
 Pour 60° et 30°, utiliser la trigonométrie dans un triangle équilatéral de
côté 1 et de hauteur
2
3
 Par symétries : centrale et axiales, on obtient alors d’autres valeurs d’angles multiples à 30°; 45° et 60°
Résumé :
mesure en degré de l’angle
associé
0
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
cos x
1
2
3
2
2
2
1
0
- 1
0
1
sin x
0
2
1
2
2
2
3
1
0
- 1
0
- 1  cos ( x )  1
- 1  sin ( x )  1
cos2( x ) + sin2( x ) =1
cos (- x ) = cos ( x )
sin (- x ) = - sin ( x )
cos ( x + 360 k ) = cos ( x )
sin ( x + 360 k ) = sin ( x )
90°
30°
60°
-1
1
1
o
45°
0
+
cos x
sin x
O
x
I
M
J

Prolongement :
mesure en radians de x
0
6
4
3
2
2
3
2
mesure en degré de l’angle
associé
0
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
cos x
1
2
3
2
2
2
1
0
- 1
0
1
sin x
0
2
1
2
2
2
3
1
0
- 1
0
-
-
-1
1
1
O
-
-
-
-
-
-
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-
-
-
-