Fonctions de la variable réelle

IUFM du Limousin
Master MEFE - S1
S. Vinatier
2010-11
Rappels de cours
Fonctions de la variable réelle
Soit I un intervalle de R. On rappelle qu’une fonction f de I dans R (resp. C) associe à
tout x ∈ I un unique
réel (resp. complexe) f (x), appelé l’image de x par f . Le graphe de f est
Cf = { x, f (x) , x ∈ I} ⊆ I × R (resp. I × C).
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Limites ; branches infinies
On note I l’adhérence de I dans R = R ∪ {±∞}. Soient a ∈ I ∩ R et ` ∈ R (resp. ` ∈ C),
on dit que f tend vers ` en a, ou que ` est la limite de f quand x tend vers a, si
∀ε > 0, ∃ η > 0,
(x ∈ I et |x − a| < η) ⇒ |f (x) − `| < ε ;
on écrit alors x→a
lim f (x) = `. Si f est à valeurs réelles, on dit que f tend vers +∞ en a si
∀A ∈ R, ∃ η > 0,
(x ∈ I et |x − a| < η) ⇒ f (x) > A ;
on écrit alors lim f (x) = +∞.
x→a
Exercice 1 Écrire la définition de x→a
lim f (x) = −∞.
On obtient la notion de limite à droite (resp. à gauche) en a en remplaçant la condition «x ∈ I»
par «x ∈ I et x > a» (resp. «x ∈ I et x < a» ) dans les définitions.
Si l’intervalle I est non majoré et ` ∈ R (resp. ` ∈ C), on dit que f tend vers ` en +∞ si
∀ε > 0, ∃ A ∈ R,
(x ∈ I et x > A) ⇒ |f (x) − `| < ε ;
on écrit alors lim f (x) = `. De même, si I est non minoré, on étudiera la limite de f en
x→+∞
−∞. On aura des définitions analogues aux précédentes pour « f tend vers +∞ (resp. −∞)
en +∞ », ainsi qu’en −∞.
Définition 1 La fonction f est continue en a ∈ I si lim f (x) = f (a). Elle est continue sur I
x→a
si elle est continue en tout point de I.
Exercice 2 On suppose f continue en a ∈ I, montrer qu’il existe un ouvert U (contenant a)
tel que f soit bornée sur U ∩ I. On suppose de plus f (a) > 0, montrer qu’il existe un ouvert V
(contenant a) tel que f (x) > 0 pour tout x ∈ V ∩ I.
Exercice 3 Soient I un intervalle de R et f une fonction de I dans R. Montrer que f est
continue (sur I) si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert de R par f est un ouvert
(de I).
1
La propriété suivante peut rappeler son analogue si utile pour les suites.
Exercice 4 Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I = ]a, b[ avec a ∈ R
et b ∈ R∪{+∞}. On suppose f croissante, montrer que f (x) tend vers supI f = sup{f (x), x ∈
I} quand x tend vers b.
On s’intéresse maintenant aux branches infinies de f .
Définition 2 Une fonction f définie sur I admet une branche infinie en a ∈ I si la distance
à l’origine du point d’abscisse x du graphe Cf tend vers +∞ quand x tend vers a.
Si a ∈ R et limx→a |f (x)| = +∞, la droite x = a est asymptote verticale à Cf en a. Si I est
non majoré, alors +∞ ∈ I donc Cf admet une branche infinie en +∞ (de même en −∞ si
l’intervalle est non minoré). On commence par considérer la limite de f en +∞ : si elle n’existe
pas, on ne peut rien dire de la nature de la branche infinie en +∞. Si elle existe et est finie,
cette branche infinie est une asymptote horizontale ; si elle est infinie, on considère la limite de
f (x)
. On est confronté à l’une des éventualités suivantes :
x
— si elle n’existe pas, on ne peut rien dire ;
— si elle est nulle, Cf admet une branche parabolique de direction (Ox) ;
— si elle est infinie, Cf admet une branche parabolique de direction (Oy) ;
— si elle est finie de valeur a 6= 0, on considère la limite de f (x) − ax : si elle est finie
de valeur b, alors y = ax + b est asymptote oblique à Cf ; sinon Cf admet une branche
parabolique de direction y = ax.
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Propriétés locales de la continuité
On fait sur les limites les mêmes opérations que sur les fonctions : multiplication par un
réel (resp. complexe), somme, produit, inverse, avec les règles habituelles (notamment celle des
signes) et quelques formes indéterminées (essentiellement « ∞ − ∞ » et « 0 × ∞ »). Les règles
concernant la continuité s’en déduisent (la somme de deux fonctions continues est continue...).
En utilisant ces propriétés, on voit par exemple facilement que les fonctions polynômes sont
continues sur R et que les fractions rationnelles sont continues en tout point où le dénominateur
ne s’annule pas.
Pour ce qui est de la composition des fonctions, énonçons un résultat plus précis :
Proposition 1 Soient f une fonction admettant une limite `1 ∈ R quand x tend vers a ∈ I¯ et
g une fonction définie sur un intervalle J tel que `1 ∈ J¯ et admettant une limite `2 ∈ R quand
x tend vers `1 . Alors g ◦ f tend vers `2 quand x tend vers a.
Sur le même principe, si (un )n est
une suite d’éléments de I convergeant vers ` ∈ I et f
une fonction continue en `, alors f (un ) est une suite convergeant vers f (`). On a même
n
l’équivalence suivante :
Proposition 2 La fonction f est continue en a ∈ I si et seulement si, pour toute suite (un )n
d’éléments de I convergeant vers a, la suite image f (un ) converge vers f (a).
n
2
Exercice 5 En déduire que la fonction partie entière n’est pas continue en 1 ; que la fonction
définie sur R par f (0) = 0 et f (x) = sin x1 pour x 6= 0 n’est pas continue en 0.
On rappelle pour mémoire qu’on peut définir les notions de continuité à droite (resp. à
gauche), à partir de celle de limite à droite (resp. à gauche). On montrera par exemple que la
partie entière est une fonction continue à droite en tout point.
Enfin, si f est définie sur I et a ∈ R ∩ (I \ I), on dira que f est prolongeable par continuité
en a s’il existe une fonction fe continue sur I ∪ {a} telle que fe(x) = f (x) pour tout x ∈ I.
Exercice 6 Soient f et g deux fonctions définies sur I et a ∈ R ∩ (I \ I). On suppose que
f (x) ≤ g(x) pour tout x ∈ I et que f et g sont prolongeables par continuité en a, par les valeurs
` et `0 respectivement. Montrer que ` ≤ `0 .
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Propriétés globales de la continuité
On a les deux résultats fondamentaux suivants pour les fonctions réelles continues sur un
intervalle.
Théorème 1 (des valeurs intermédiaires) L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
En d’autres termes, si f est continue sur un intervalle I et si a, b ∈ I, alors toutes les valeurs
comprises strictement entre f (a) et f (b) sont atteintes par f sur ]a, b[ . En particulier f s’annule
sur ]a, b[ si f (a)f (b) < 0.
Exercice 7 Montrer que tout polynôme de degré impair s’annule sur R ; que toute fonction
continue sur un intervalle et de valeur absolue constante est constante.
Le corollaire suivant du théorème des valeurs intermédiaires est souvent utile.
Exercice 8 Soit f une fonction continue sur un intervalle I, avec inf I f = −∞ et supI f =
+∞. Montrer que f (I) = R.
Lorsqu’on suppose de plus l’intervalle compact, c’est-à-dire fermé et borné (de la forme
I = [a, b] avec a, b ∈ R, autrement dit I est un segment), on obtient :
Théorème 2 (Weierstrass) Soit f une fonction réelle continue sur un intervalle compact I.
Alors f est bornée (−∞ < inf I f ≤ supI f < +∞) et atteint ses bornes (il existe c, d ∈ I tels
que f (c) = inf I f et f (d) = supI f ).
En combinant les deux théorèmes, on obtient que l’image d’un intervalle compact I par une
fonction continue f est un intervalle compact ([inf I f, supI f ] en l’occurence). Enfin, en débordant à peine des notions explicitement au programme du Capes, on peut citer :
Théorème 3 (Heine) Une fonction continue sur un intervalle compact y est uniformément
continue :
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x, y ∈ I, |x − y| < η ⇒ |f (x) − f (y)| < ε .
3
La continuité uniforme correspond au fait que le choix du η ne dépend que de celui de ε, et
pas du point x au voisinage duquel on se place.
Exercice 9 Soit k ∈ R+× . Montrer qu’une fonction f k-lipschitzienne sur I, c’est-à-dire
vérifiant
∀x, y ∈ I , |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y| ,
est uniformément continue sur I (quelle que soit la nature de I).
Intéressons-nous maintenant aux fonctions strictement monotones.
Théorème 4 Soit f une fonction continue strictement monotone sur I. Alors f définit une
bijection de I sur f (I), de fonction réciproque continue strictement monotone, de même sens
de monotonie que f .
Ce résultat permet de construire les fonctions réciproques usuelles : exp à partir de ln et toutes
les réciproques des fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques.
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Dérivabilité
Définition 3 La fonction f est dérivable en a ∈ I si le taux d’acroissement
f (x) − f (a)
x−a
a une limite réelle (resp. complexe) quand x tend vers a. Dans ce cas, on note f 0 (a) cette limite
et on l’appelle la dérivée de f en a. La fonction est dérivable sur I si elle est dérivable en tout
point de I.
Le taux d’accroissement étant la pente de la corde joignant les points d’abscisses a et x sur le
graphe de f , on voit que, lorsqu’elle existe, la dérivée en a donne la pente de la tangente au
graphe de f au point d’abscisse a.
Exercice 10 Déduire de la définition que si f est dérivable en a et y atteint un extremum,
alors f 0 (a) = 0.
Comme pour la continuité, on pourra aussi parler de dérivée à droite et de dérivée à gauche ;
faire des opérations algébriques sur des fonctions dérivables en un point ; composer des fonctions
dérivables en des points adéquats ; et enfin obtenir la dérivabilité en f (a) de l’application
réciproque d’une fonction f continue strictement monotone, dérivable en a, à condition que
f 0 (a) soit non nulle.
Lorsque f est dérivable sur un intervalle I, sa dérivée f 0 est une fonction sur I, éventuellement elle-même dérivable sur I, auquel cas f est dite 2 fois dérivable, de dérivée seconde la
dérivée de f 0 . En itérant ce processus, on peut parler le cas échéant de fonction n fois dérivable,
pour n ∈ N.
Définition 4 Soit n ∈ N. Une fonction n fois dérivable sur I, de dérivée n-ième continue sur
I, est dite de classe C n sur I. Une fonction de classe C n sur I pour tout entier n est dite de
classe C ∞ .
4
On parle aussi de fonction C n par morceaux sur [a, b] s’il existe une suite a = a0 , a1 , . . . , am = b
telle que f restreinte à ]ai , ai+1 [ soit prolongeable en une fonction de classe C n sur [ai , ai+1 ]
pour tout i = 0, 1, . . . , m − 1. Enfin on parle de fonction C n par morceaux sur I intervalle
quelconque si sa restriction à tout segment inclus dans I l’est.
Exercice 11 Déterminer la classe de la fonction f définie par f (0) = 0 et f (x) = x sin x1 pour
x ∈ R× .
Passons aux résultat essentiels de cette section.
Théorème 5 (Rolle) Soit f une fonction réelle continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle
que f (a) = f (b). Alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f 0 (c) = 0.
Un bon choix de fonction (exercice : retrouvez-le !) permet alors de montrer :
Théorème 6 (des accroissements finis) Soit f une fonction réelle continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que
f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a) .
On en déduit notamment, pour une fonction dérivable sur I intervalle ouvert :
f constante sur I ⇐⇒ f 0 = 0 sur I ;
f croissante sur I ⇐⇒ f 0 ≥ 0 sur I ;
f 0 > 0 sur I =⇒ f strictement croissante sur I .
Exercice 12 Donner un contre-exemple à la réciproque de la dernière implication.
On obtient aussi à partir du théorème précédent la fameuse inégalité des accroissements
finis : sous les mêmes hypothèses, en supposant de plus que |f 0 (x)| ≤ M pour tout x ∈ ]a, b[,
on voit que
|f (b) − f (a)| ≤ M (b − a) .
Enfin, on a comme corollaire le résultat de prolongement de la dérivée suivant :
Proposition 3 Soit f une fonction continue sur I, dérivable sur I \ {a}. Si f 0 (x) a une limite
finie ` quand x tend vers a, alors f est dérivable en a et f 0 (a) = ` ; si f 0 (x) tend vers ±∞
quand x tend vers a, alors le taux d’accroissement de f en a tend vers ±∞.
Rappelons qu’une fonction f définie sur I est convexe si
∀x, y ∈ I, ∀λ ∈ [0, 1], f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ,
ce qui revient à dire que la corde joignant les points d’abscisses x et y du graphe Cf de f est
au-dessus de Cf . Pour les fonctions dérivables, on a les critères suivants :
Proposition 4 Soit f une fonction de I dans R.
— Si f est dérivable sur I, alors (f convexe sur I ⇐⇒ f 0 croissante sur I).
— Si f est 2 fois dérivable sur I, alors (f convexe sur I ⇐⇒ f 00 ≥ 0 sur I).
Exercice 13 En déduire que la tangente au graphe d’une fonction convexe dérivable est toujours sous la courbe de cette fonction.
Noter qu’une fonction est concave si et seulement si son opposée est convexe.
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Formules de Taylor ; développements limités
On commence par énoncer d’autres corollaires du théorème de Rolle, dont le premier est
l’analogue du théorème des accroissements finis pour les fonctions plusieurs fois dérivables.
Proposition 5 (Taylor-Lagrange) Soient n ∈ N et f une fonction réelle de classe C n sur
[a, b], avec f (n) dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que
f (b) =
n
X
(b − a)k (k)
(b − a)n+1 (n+1)
f (a) +
f
(c) .
k!
(n + 1)!
k=0
Lorsque a = 0 et b = x, on obtient la formule de Maclaurin. Citons en même temps la très
similaire formule avec reste intégral, conséquence du théorème d’intégration par parties.
Proposition 6 (Taylor-Laplace) Soient n ∈ N et f une fonction réelle de classe C n+1 sur
[a, b]. Alors
Z b
n
X
(b − t)n (n+1)
(b − a)k (k)
f (b) =
f (a) +
f
(t)dt .
k!
n!
a
k=0
Le deuxième corollaire du théorème de Rolle utilise des hypothèses moins fortes sur f , mais
donne un reste (le dernier terme) moins précis.
Proposition 7 (Taylor-Young) Soient n ∈ N et f une fonction réelle sur I de classe C n−1
au voisinage de a ∈ I, avec f (n−1) dérivable en a. Alors il existe une fonction ε définie sur I,
qui tend vers 0 en 0 et telle que, pour tout h ∈ R avec a + h ∈ I :
f (a + h) =
n
X
hk (k)
hn
f (a) + ε(h) .
n!
k=0 k!
Cette formule nous donne un exemple de développement limité, c’est-à-dire d’approximation
d’une fonction par un polynôme. Plus précisément :
Définition 5 Soient n ∈ N et f une fonction définie dans un voisinage de a ∈ R. On appelle
développement limité à l’ordre n de f en a un polynôme Pn de degré inférieur ou égal à n tel
que, au voisinage de a,
f (x) = Pn (x) + (x − a)n ε(x) ,
où x→a
lim ε(x) = 0 .
L’existence d’un développement limité pour f en a équivaut à celle d’un développement limité
de x 7→ f (a + x) en 0, ce qui permet de se ramener systématiquement au voisinage de 0.
De même, le changement de variable X = x1 permet d’étudier le comportement à l’infini à
l’aide d’un développement limité en 0. Par ailleurs, on montre aisément que si f admet un
développement limité d’ordre n en 0, alors celui-ci est unique.
Exercice 14 En déduire que le développement limité en 0 d’une fonction paire (resp. impaire)
ne contient que des puissances paires (resp. impaires).
6
La définition des développements limités montre qu’on peut effectuer sur ceux-ci les mêmes
opérations que sur les limites : addition, multiplication, inverse (sous réserve de non annulation), composition (attention à utiliser un développement au bon endroit pour la seconde
fonction).
La formule de Taylor-Young assure l’existence d’un développement limité à l’ordre n pour
les fonctions n fois dérivables au voisinage d’un point ; mais cette condition n’est pas nécessaire,
autrement dit l’existence d’un développement limité à l’ordre n n’assure pas que la fonction
soit n fois dérivable (sauf pour n ≤ 1).
Exercice 15 Montrer que f (x) = x3 sin x1 admet le polynôme nul comme développement limité
à l’ordre 2 en 0, mais n’y est pas 2 fois dérivable.
Notons que lorsque f est indéfiniment dérivable sur I, son développement limité existe à tout
ordre, et est donné par la formule de Taylor-Young. La même formule appliquée à f 0 montre
que celle-ci a pour développement limité à l’ordre n la dérivée de celui de f à l’ordre n + 1 ; de
façon analogue, une primitive de f aura comme développement limité à l’ordre n la primitive
de celui de f à l’ordre n − 1 qui a la bonne valeur au point au voisinage duquel on raisonne.
Exercice 16 Déduire le développement limité de arcsin(x) à l’ordre n en 0 de
(1 + x)α = 1 + αx +
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
α(α − 1) 2
x + ··· +
x + xn ε(x) ,
2!
n!
où α ∈ R× et ε(x) tend vers 0 en 0 (développement limité à retrouver en appliquant la formule
de Taylor).
Rappelons enfin que si p est l’ordre de la première puissance ≥ 2 de x qui apparaît dans
le développement limité de f en a, la parité de p indique si la tangente à la courbe au point
d’abscisse a coupe ou non la courbe ; plus précisément, le signe du monôme correspondant
indique leurs positions relatives.
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Comparaison des fonctions
Comme pour les suites, on a les notions suivantes de comparaison de fonctions réelles au
voisinage d’un point. Étant données deux fonctions f et g définies sur I et a ∈ I (adhérence
de I dans R = R ∪ {±∞}), on dira que
• f est négligeable devant g au voisinage de a, noté f = o(g) ou f <<a g, si pour tout
ε > 0 il existe un ouvert Uε contenant a tel que |f (x)| ≤ ε|g(x)| pour tout x ∈ Uε ∩ I ;
• f est dominée par g au voisinage de a, noté f = O(g), s’il existe un ouvert U contenant
a et un réel k > 0 tels que |f (x)| ≤ k|g(x)| pour tout x ∈ U ∩ I ;
• f et g sont équivalentes au voisinage de a, noté f ∼a g, si f − g = o(g).
Par exemple, au voisinage de +∞ : x + sin x = O(x) , xn = o(ex ) pour tout n ≥ 0 , xn + xm ∼
xn si n > m ∈ N ; au voisinage de 0 : xn = o(xm ) si n > m ∈ N , ex −1 = o(1) , ln(1+x) ∼ x .
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Proposition 8 ∼ est une relation d’équivalence, O est réflexive et transitive, o est transitive.
Si g ne s’annule pas dans un voisinage de a, sauf éventuellement en a, alors (f ∼ g) ⇒ f ne
s’annule pas au voisinage de a ; de plus,
f
f ∼ g ⇔ lim
= 1 ⇔ f (x) = λ(x)g(x) au voisinage de a, avec x→a
lim λ(x) = 1 ,
x g
f
f = o(g) ⇔ lim
= 0 ⇔ f (x) = ε(x)g(x) au voisinage de a, avec x→a
lim ε(x) = 0 ,
x g
f = O(g) ⇔
f
g
bornée au voisinage de a .
Exercice 17 Soit f une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers +∞. Montrer que f ∼ 0
quand x tend vers +∞ si et seulement si f est constante égale à 0 sur un ouvert au voisinage
de l’infini.
Par rapport aux opérations sur les fonctions, on a les propriétés suivantes.
Proposition 9 o(g) et O(g) sont stables par addition et multiplication (g fixée) ; de plus f1 =
o(g1 ) et f2 = O(g2 ) ⇒ f1 f2 = o(g1 g2 ) ; ∼ est stable par multiplication et passage à l’inverse ;
si f ∼a g et h(b) = a, alors f ◦ h ∼b g ◦ h.
Par contre, ∼ n’est pas stable par addition. Attention à cette source d’erreurs ! L’utilité des
équivalents réside dans le résultat suivant.
Proposition 10 Soient f et g deux fonctions telles que f ∼ g au voisinage de a ∈ I. Si g a
une limite ` ∈ R quand x tend vers a, alors f aussi.
Exercice 18 Démontrer cette proposition.
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