Mathématiques

SESSION 2012
DEUG
EPREUVE ECRITE DE MATHEMATIQUES
1. Présentation du sujet
Le concours comporte deux épreuves de mathématiques indépendantes, de deux heures chacune,
appelées « partie I » et « partie II ». La première partie a été traitée par les candidats des concours
Mathématiques, Physique et Chimie et la seconde uniquement par les candidats de Mathématiques
et Physique.
La première épreuve comportait trois exercices indépendants :
– une étude de fonction avec étude locale en 0 et comportement à l’infini,
– un exercice sur la diagonalisation des symétries vectorielles,
– un vrai-faux d’analyse constitué de cinq questions indépendantes.
La seconde épreuve était un problème où l’on étudiait une fonction f définie comme une série de
fonctions. Les notions de convergence uniforme et de convergence normale étaient sollicitées. Un
équivalent de f en +∞ était déterminé, puis une étude locale en 0 était menée en redémontrant le
théorème de la limite de la dérivée et en montrant que la limite simple d’une somme de fonctions
croissantes est encore une fonction croissante.
2. Appréciation générale des copies
Les deux sujets étaient de difficultés et de longueurs très raisonnables. D’ailleurs, certains candidats
ont eu d’excellents résultats, réussissant la plupart des questions. Pourtant, l’ensemble est
globalement très insuffisant et inquiétant. Beaucoup de notions essentielles ne sont pas assimilées.
Par exemple, certains candidats confondent continuité et dérivabilité, beaucoup ne savent pas
trouver l’équation d’une tangente à la courbe de exp... Ces cas extrêmes ne sont pas légions mais
témoignent d’une incompréhension de haut niveau.
Le spectre des notes étant très large, le sujet a pu jouer son rôle pour le concours et a permis de bien
départager les candidats.
3. Erreurs rencontrées
1. À propos des développements limités :
Il s’agissait de calculer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de f ( x) 
x
.
e 1
(a) Moins de 5 % des candidats ont réussi. La plupart donnant d’ailleurs un résultat sous
forme de quotient de développements limités !
Rappelons qu’écrire un développement limité d’une fonction f consiste à écrire
localement f comme un polynôme plus un reste négligeable.
Rappelons aussi que les calculatrices étant autorisées, celles-ci permettent de vérifier le
résultat.
(b) On ne peut pas dériver un développement limité sans savoir au préalable que la fonction
est dérivable. Donc, on ne pouvait pas montrer que f n’était pas dérivable en 0, en
dérivant le développement limité de f obtenue précédemment !
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x
x3
2. Trop peu de candidats savent dériver la fonction x   et
2
1
0
dt .
3. On demandait de traduire algébriquement la propriété suivante : « la courbe de la fonction
exponentielle est au-dessus de sa tangente au point d’abscisse 0 ».
Beaucoup ont écrit e x  x , or l’équation de la tangente est y  x  1, donc l’inégalité attendue
était e x  x  1 .
4. Le théorème des accroissements finis ne semble plus connu !
5. En algèbre linéaire :
(a) Certains ne connaissent pas la notion de somme directe.
(b) Très peu de candidats savent écrire la matrice dans la base canonique de l’application f
l’application de M 2    dans M 2    définie par f  M   t M . Comme
dim M 2     4 , la matrice est de taille 4 !
6. Rappelons que la norme infinie d’une fonction est le sup de sa valeur absolue, et donc pour
prouver la convergence normale d’une série de fonctions  f n , il faut étudier sup f n et non
pas sup f n .
7. La convergence normale sur  a,  pour tout a  0 n’implique pas la convergence normale
sur 0,  .
8. Les hypothèses du théorème de dérivation d’une série de fonctions sont souvent méconnues.
9. À la question 11 du sujet 2, il y a eu une confusion entre « la suite  g n  est croissante », c’està-dire pour tout n  , gn1  gn et «  g n  est une suite de fonctions croissantes », c’est-àdire pour tout n   , la fonction g n est croissante et donc pour tout x et x avec x  x , on a
gn  x   gn  x  .
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