Démontrer que des droites sont ou ne sont pas parallèles 1. Recherche des propriétés utiles : Voici les propriétés qui permettent de démontrer que des droites sont parallèles Si on a les conditions de la réciproque de la propriété de Thalès (points alignés dans le même ordre et deux quotients égaux) alors on en déduit des droites parallèles. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ces côtés opposés sont parallèles. Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes ou correspondants égaux alors les droites sont parallèles Si dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors ces droites sont parallèles. 2. On fait un dessin et on recherche les sous-figures utiles 3. On recherche des indices dans le texte 4. On recherche la démonstration en complétant le tableau suivant : Ce que l’on sait 5. on rédige la solution Ce que l’on utilise Ce que l’on conclut Démontrer que des droites sont ou ne sont pas parallèles Un exemple a) Enoncé ADC est un triangle rectangle tel que : DC = 6 cm ; AC = 5 cm. B est le milieu de [DC]. On trace le triangle AEF tel que AF = 15 cm et AE = 3 AB. (Les points E et F sont respectivement sur [AB] et [AC]) M est le milieu de [BE] 1. démontrer que les droites (AD) et (MC) sont parallèles. 2. démontrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles. b) Recherche de sous - figures utiles On fait apparaître des sous – figures utiles. c) Recherche de propriétés utiles On cherche des propriétés dont la conclusion est « les droites sont parallèles » Si on a les conditions de la réciproque de la propriété de Thalès (points alignés dans le même ordre et deux quotients égaux) alors on en déduit des droites parallèles. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ces côtés opposés sont parallèles. Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes ou correspondants égaux alors les droites sont parallèles Si dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors ces droites sont parallèles. d) Recherche des indices dans le texte ADC est un triangle rectangle tel que : DC = 6 cm ; AC = 5 cm. B est le milieu de [DC]. On trace le triangle AEF tel que AF = 15 cm et AE = 3 AB. (Les points E et F sont respectivement sur [AB] et [AC]) M est le milieu de [BE] e) Recherche de la démonstration 1. un tableau de recherche Ce que l’on sait ADC triangle rectangle en A ADC triangle rectangle en A M milieu de [BE] BM = ME ; AE = 3 AB AB = BM = 3 cm BC = DB = 3 cm ACMD est un rectangle (AD) est perpendiculaire à (AC) (AC) est perpendiculaire à (MC) Ce que l’on utilise Ce que l’on conclut Un triangle rectangle a deux côtés perpendiculaires Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de son hypoténuse Définition Propriété de l’égalité Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu et sont de même longueur alors c’est un rectangle Un rectangle a quatre angles droits Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors ces droites sont parallèles (AD) est perpendiculaire à (AC) AB = BC = DB = 3 cm BM = ME AB = BM = 3 cm ACMD est un rectangle (AC) est perpendiculaire à (MC) Les droites (AD) et (MC) sont parallèles 2. La rédaction de la solution. 1. Démontrons que les droites (AD) et (MC) sont parallèles. Démontrons que les droites (AD) et (AC) sont perpendiculaires. Le triangle ADC est rectangle en A d’après l’énoncé. Donc (AD) et (AC) sont perpendiculaires (H1) Démontrons que les droites (AC) et (MC) sont perpendiculaires ADC est un triangle rectangle en A Pr : si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de son hypoténuse. Donc AB = BC = DB = 3 cm (H2) M est le milieu de [BE] d’après l’énoncé. Donc BM = ME BM = ME et AE = 3 AB d’après l’énoncé Donc AB = BM = 3 cm (H3) AB = BM = 3 cm d’après (H3) et BC = DB = 3 cm d’après (H2) Pr : si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu et sont de même longueur alors c’est un rectangle. Donc ACMD est un rectangle (H4) ACMD est un rectangle d’après (H4) Pr : un rectangle a quatre angles droits Donc (AC) et (MC) sont perpendiculaires (H5) Conclusion (AD) et (AC) sont perpendiculaires (H1) (AC) et (MC) sont perpendiculaires (H5) Pr : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces droites sont parallèles Donc les droites (AD) et (MC) sont parallèles. 2. Démontrons que les droites (BC) et (EF) sont parallèles Dans le triangle AEF On considère les droites (AE) et (AF) sécantes en A A, B et E sont alignés, A, C et F sont alignés dans le même ordre AB AB 1 AE 3 AB 3 AC 5 1 AF 15 3 donc AB AC 1 AE AF 3 Puisque les rapports sont égaux et les points A, B et E sont alignés dans le même ordre que A, C et F, d’après la réciproque de Thalès, les droites (BC) et (EF) sont parallèles.