Les droites parallèles

Démontrer que des droites sont ou ne sont pas parallèles
1. Recherche des propriétés utiles :
Voici les propriétés qui permettent de démontrer que des droites sont parallèles
Si on a les conditions de la réciproque de la propriété de Thalès (points alignés
dans le même ordre et deux quotients égaux) alors on en déduit des droites
parallèles.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ces côtés opposés sont parallèles.
Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes ou
correspondants égaux alors les droites sont parallèles
Si dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est
parallèle au troisième côté.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors ces
droites sont parallèles.
2. On fait un dessin et on recherche les sous-figures utiles
3. On recherche des indices dans le texte
4. On recherche la démonstration en complétant le tableau suivant :
Ce que l’on sait Ce que l’on utilise Ce que l’on conclut
5. on rédige la solution

Démontrer que des droites sont ou ne sont pas parallèles
Un exemple
a) Enoncé
ADC est un triangle rectangle tel que : DC = 6 cm ; AC = 5 cm.
B est le milieu de [DC]. On trace le triangle AEF tel que AF = 15 cm et AE = 3 AB.
(Les points E et F sont respectivement sur [AB] et [AC])
M est le milieu de [BE]
1. démontrer que les droites (AD) et (MC) sont parallèles.
2. démontrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
b) Recherche de sous - figures utiles
On fait apparaître des sous – figures utiles.
c) Recherche de propriétés utiles
On cherche des propriétés dont la conclusion est « les droites sont parallèles »
Si on a les conditions de la réciproque de la propriété de Thalès (points alignés
dans le même ordre et deux quotients égaux) alors on en déduit des droites
parallèles.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ces côtés opposés sont parallèles.
Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes ou
correspondants égaux alors les droites sont parallèles
Si dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est
parallèle au troisième côté.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors ces
droites sont parallèles.
d) Recherche des indices dans le texte
ADC est un triangle rectangle tel que : DC = 6 cm ; AC = 5 cm.
B est le milieu de [DC]. On trace le triangle AEF tel que AF = 15 cm et AE = 3 AB.
(Les points E et F sont respectivement sur [AB] et [AC])
M est le milieu de [BE]

e) Recherche de la démonstration
1. un tableau de recherche
Ce que l’on sait Ce que l’on utilise Ce que l’on conclut
ADC triangle rectangle en A Un triangle rectangle a deux
côtés perpendiculaires
(AD) est perpendiculaire à (AC)
ADC triangle rectangle en A Si un triangle est rectangle,
alors la longueur de la
médiane issue de l’angle droit
est égale à la moitié de la
longueur de son hypoténuse
AB = BC = DB = 3 cm
M milieu de [BE] Définition BM = ME
BM = ME ; AE = 3 AB Propriété de l’égalité AB = BM = 3 cm
AB = BM = 3 cm
BC = DB = 3 cm
Si les diagonales d’un
quadrilatère ont le même
milieu et sont de même
longueur alors c’est un
rectangle
ACMD est un rectangle
ACMD est un rectangle Un rectangle a quatre angles
droits
(AC) est perpendiculaire à (MC)
(AD) est perpendiculaire à (AC)
(AC) est perpendiculaire à (MC)
Si deux droites sont
perpendiculaires à une même
troisième, alors ces droites
sont parallèles
Les droites (AD) et (MC) sont
parallèles
2. La rédaction de la solution.
1. Démontrons que les droites (AD) et (MC) sont parallèles.
Démontrons que les droites (AD) et (AC) sont perpendiculaires.
Le triangle ADC est rectangle en A d’après l’énoncé.
Donc (AD) et (AC) sont perpendiculaires (H1)
Démontrons que les droites (AC) et (MC) sont perpendiculaires
ADC est un triangle rectangle en A
Pr : si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est
égale à la moitié de la longueur de son hypoténuse.
Donc AB = BC = DB = 3 cm (H2)
M est le milieu de [BE] d’après l’énoncé.
Donc BM = ME
BM = ME et AE = 3 AB d’après l’énoncé
Donc AB = BM = 3 cm (H3)
AB = BM = 3 cm d’après (H3) et BC = DB = 3 cm d’après (H2)

Pr : si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu et sont de même longueur
alors c’est un rectangle.
Donc ACMD est un rectangle (H4)
ACMD est un rectangle d’après (H4)
Pr : un rectangle a quatre angles droits
Donc (AC) et (MC) sont perpendiculaires (H5)
Conclusion
(AD) et (AC) sont perpendiculaires (H1)
(AC) et (MC) sont perpendiculaires (H5)
Pr : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces droites sont
parallèles
Donc les droites (AD) et (MC) sont parallèles.
2. Démontrons que les droites (BC) et (EF) sont parallèles
Dans le triangle AEF
On considère les droites (AE) et (AF) sécantes en A
A, B et E sont alignés, A, C et F sont alignés dans le même ordre
3
1
15
5
3
1
3
AF
AC
AB
AB
AE
AB
donc
3
1
AF
AC
AE
AB
Puisque les rapports sont égaux et les points A, B et E sont alignés dans le même ordre
que A, C et F,
d’après la réciproque de Thalès, les droites (BC) et (EF) sont parallèles.