Sujets d`examens

Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumedienne
Faculté de Physique
LMD – L2 – S4 - S.M Option Physique
Module Physique 4 : Electromagnétisme
Epreuve de Synthèse (Durée : 1h30mn)
Données : En coordonnées cylindriques (r,θ,z)
G
∂f G 1 ∂f G ∂f G
∇f = e r +
eθ + e z
∂r
∂z
r ∂θ
G G 1∂
(r A r ) + 1 ∂Aθ + ∂A z
∇⋅A =
∂z
r ∂r
r ∂θ
G G ⎡1 ∂A z ∂A θ ⎤ G ⎡ ∂A r ∂A z ⎤ G 1 ⎡ ∂ (r A θ ) ∂A r ⎤ G
∇×A = ⎢
−
−
−
er + ⎢
eθ + ⎢
ez
∂z ⎥⎦
∂r ⎥⎦
∂θ ⎥⎦
r ⎣ ∂r
⎣ r ∂θ
⎣ ∂z
Δf = ∇ 2f =
1 ∂ ⎛ ∂f ⎞ 1 ∂ 2f ∂ 2f
+
⎜r ⎟ +
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂θ2 ∂z 2
Exercice 1 : (3 pts)
G
G
G
On donne D = 7 r 2 er + 28 sin (θ) eθ C ⋅ m −2 en coordonnées cylindriques, trouver la
(
)
densité volumique de charge ρ.
Exercice 2 : (5 pts)
z
Deux plans d’équation respectives θ=0 et θ=π/4
en coordonnées cylindriques, sont isolés le long de
l’axe Oz comme indiqué sur la figure ci-contre. On
négligera les effets de bord et on supposera que
V=100V
V=0V
∂
∂
=
= 0.
∂r ∂z
1. Trouver le potentiel électrostatique entre les
plans, en prenant un potentiel de 100 V pour
θ=π/4 et l’origine des potentiels en θ=0.
2. En déduire l’expression du champ électrique
G
E entre les plans.
y
x
θ
Exercice 3 : (12 pts)
1. Une onde électromagnétique plane harmonique polarisée rectilignement selon Oy, ayant
une amplitude constante E0 et une pulsation ω , se propage dans le vide selon la direction de
l’axe Ox dans le sens des x positifs.
a) Ecrire l’expression des composantes du vecteur d’onde et l’expression complexe du
champ électrique.
G
b) Calculer le champ magnétique B associé à cette onde.
c) Exprimer le vecteur de Poynting et calculer son flux à travers une
G
surface Σ perpendiculaire à k .
1
2.
On considère une deuxième onde électromagnétique plane harmonique dont le
G
champ magnétique B , polarisé selon Oz, a une amplitude constante B0 et une pulsation ω .
Cette onde se propage également selon la direction de l’axe Ox mais dans le sens des x
négatifs.
a) Ecrire l’expression des composantes du vecteur d’onde et l’expression complexe du
champ magnétique.
G
b) Calculer le champ électrique E associé à cette onde.
c) En un point d’abscisse x, on place une petite boucle conductrice suffisamment petite
pour considérer que le champ électromagnétique est constant sur sa surface. Soit
G
n n x , n y , n z le vecteur unitaire normal à cette boucle. Calculer l’amplitude de la
(
)
f.é.m induite dans cette boucle, en fonction de B0, nx, ny et nz . Pour quelles valeurs
de nx, ny et nz :
i. L’amplitude de cette f.é.m est maximale
ii. L’amplitude de cette f.é.m est nulle.
3.
On étudie l’onde électromagnétique résultant de la superposition des ondes
précédentes.
a) Quelle relation doit relier E0 et B0 pour que le champ électrique résultant soit nul en
x=0 ?
b) En déduire l’expression des amplitudes du champ électrique et du champ
magnétique résultants en fonction de y.
c) On utilise la boucle de l’exercice précédent, dont la surface est placée parallèlement
au plan yOz. En faisant varier sa position selon Ox, on trouve que l’amplitude de la
f.é.m induite est maximale en deux positions successives distantes de a. Calculer la
fréquence des deux ondes électromagnétique en fonction de a.
2
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumedienne
Faculté de Physique
LMD – Filière SM – Option Physique – S4 – Module Electromagnétisme
Epreuve de rattrapage – Juillet 2007
Exercice 1 : (/6 points)
On considère la configuration ci contre constituée
de deux conducteurs séparés par un isolant et
placés dans le vide. Le premier conducteur est un
plan dont le potentiel électrostatique est V=0V. Le
second conducteur est un cône de demi-angle au
sommet θ=α. Tenant compte de la symétrie, on a :
1
d ⎛
dV ⎞ G
1 dV G
ΔV = 2
eθ
⎜ sin (θ)
⎟; ∇V =
dθ ⎠
r dθ
r sin (θ) dθ ⎝
De plus on donne :
1
⎛
V=V0
θ=α
isolant
V=0
⎛ x ⎞⎞
∫ sin (x ) dx = ln⎜⎜⎝ tan⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟⎟⎠ + cte
1) Calculer le potentiel électrostatique en chaque point de l’espace α < θ <
π
.
2
2) En déduire le champ électrostatique dans cette région de l’espace.
Exercice 2: (4 points)
Soit dans le vide, une onde électromagnétique plane sinusoïdale progressive de pulsation 
dont le champ électrique est de la forme
  30 expit − z e x
E
V/m
B de cette onde.
1) Calculer le champ magnétique 
2) Calculer la quantité  .
Exercice 3 :( /10 points)
Une onde électromagnétique plane, sinusoïdale se propage dans le vide. Son champ électrique
G
G
est porté par l’axe Oy d’un repère Oxyz, tel que : E = E 0 ei(ωt − kx ) e y .
1) Quelle est la direction de propagation de cette onde ? Quelle est la direction et la nature de
la polarisation ?
2) Un cadre rectangulaire DCC’D’ de côtés a et b de milieu O est placé dans le plan Oxy,
avec DC=D’C’=a parallèle à Oy et CC’=DD’=b parallèle à Ox. Le cadre porte N tours d’un
G
fil conducteur formant un circuit fermé. Calculer la circulation de E le long du circuit. Dans
le cas où λ>>b , donner une expression simplifiée de la f.é.m. dans le circuit.
G
3) A partir des équations de Maxwell déterminer les composantes du champ magnétique B .
G
4) Si λ>>b, on pourra considérer que B est uniforme sur la surface du cadre et égal à sa
G
valeur en O centre du cadre. Calculer, dans cette approximation, le flux de B à travers le
circuit et en déduire la f.é.m. induite. Comparer avec le résultat de la question 2°)
5) A.N. Calculer l’amplitude de la f.é.m. induite pour a=20 cm, b = 20 cm, λ= 1837m, N=10
et E0= 1V.m-1.
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène
Faculté de Physique Année Universitaire 2007-2008
LMD – L2 – S4- Sciences de la Matière – Option Physique
Module : Electromagnétisme
Epreuve de Synthèse Durée 1h30mn
Exercice 1 G:
Soit D le vecteur excitation du champ électrique défini en coordonnées cylindriques
par :
(
(
)
)
G
⎧D = r 3 eG r C / m 2
0<r≤a
⎪
⎨G 1G
2
partout ailleurs
⎪D = e r C / m
r
⎩
Calculer la densité de charge électrique correspondante.
Exercice 2 :
Résoudre l’équation de Laplace dans la région comprise entre deux cônes coaxiaux
représentés sur la figure ci-dessus. On suppose que V=V1 pour θ=θ1 et V=0 pour θ=θ2. Les
sommets des cônes sont isolés en r=0.
⎛ ⎛ θ ⎞⎞
dθ
= ln⎜⎜ tg⎜ ⎟ ⎟⎟
On donne : ∫
sin (θ)
⎝ ⎝ 2 ⎠⎠
Exercice 3 :
Dans une région cylindrique d’axe Oz, le vecteur densité de courant est :
⎧G
⎛ r2 ⎞ G
⎪ j = J 0 ⎜1 − ⎟ e z 0 ≤ r ≤ a
⎜ a2 ⎟
⎨
⎝
⎠
⎪G G
j
=
0
pour r > a
⎩
G
Calculer en fonction de r, le champ magnétique B créé par ce courant.
1
Exercice 4 :
Le conducteur de 2m de long de la figure ci-dessus, tourne à une vitesse constante
G
G
N=1200/tours/mn dans le champ magnétique B = 0.10 sin (φ) eφ (T ) . Trouver le courant dans la
boucle, fermée sur une résistance de 100 Ω.
Exercice 5 :
G
G
Soit, dans le vide, le champ magnétique donné par B = B0 cos(2x )cos(ωt − βy ) e x .
Calculer :
• Le vecteur densité de courant de conduction
• Le champ électrique
• La densité volumique de charge électrique.
Exercice 6 :
La figure ci-contre illustre une antenne en
réseau située dans l’air et qui est formée de
z
+
deux boucles de fil métallique de rayon a. Les
surfaces des boucles sont perpendiculaires à
l’axe des y et les centres des boucles sont
situées à y=-d et y=+d. Les boucles sont reliées
en série de façon à ce que le signal à la sortie
+d
-d
y
de l’antenne soit égal à la somme des forces
électromotrices induites dans chacune des deux
G
θ
boucles. Soit une onde électromagnétique dont
x
k
le champ électrique, d’amplitude E0, est
G
polarisé selon Oz et qui se propage dans le plan xOy selon le vecteur d’onde k
G
ƒ Quelle est l’expression du champ magnétique B ?
ƒ Calculer la somme des forces électromotrices induites dans les boucles.
ƒ Quelles sont les distances d pour lesquelles la somme des f.é.m induites dans les deux
boucles est nulle ? Quelle pourrait être l’application d’un tel dispositif ?
2
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène
Faculté de Physique Année Universitaire 2007-2008
LMD – L2 – S4- Sciences de la Matière – Option Physique
Module : Electromagnétisme
Epreuve de Rattrapage Durée 1h30mn
Exercice 1 : (/4 points)
On donne en coordonnées sphériques, les potentiels Va=0 sur une sphère de rayon r=a
et V=Vb pour une sphère de rayon r=b. En supposant qu’il y ait le vide entre les deux sphères
concentriques, calculer le potentiel V(r) et le champ électrique E(r) pour tout point se trouvant
entre les deux sphères ( a ≤ r ≤ b ).
Exercice 2 : (/3 points)
r
En tout point intérieur à un cylindre de rayon r0, le champ magnétique B est donné en
coordonnées cylindriques par :
r
r
B = Bφ eφ
où
⎧ βμ 0 ⎡ 1
r
⎤
sin(ar ) − cos(ar )⎥
⎪
2
⎢
Bφ = ⎨ r ⎣ a
a
⎦
⎪0
⎩
pour r ≤ r0
avec a =
partout ailleurs
π
2r0
Calculer l’intensité totale du courant qui traverse cette région de l’espace.
Exercice 3 : (/3 points)
y
Dans cet exercice, on supposera que
les
dimensions
de
la
spire
sont
E
suffisamment petites pour considérer que le
Direction de propagation
champ magnétique est uniforme sur sa
surface. La valeur du champ magnétique
x
z
sur la spire est égal à la valeur prise par ce
champ magnétique au centre de chaque spire.
Une onde électromagnétique plane, uniforme, sinusoïdale, polarisée linéairement et de
fréquence f=3MHz se propage dans le vide avec un champ électrique maximal E0= 0.1 V/m.
Quelle est la force électromotrice qu’elle induit dans une boucle réceptrice constituée de 1
tour de fil, ayant une surface S=1 m2 et orientée de façon à ce que son plan soit parallèle à la
direction de propagation de l’onde et que le vecteur du champ électrique fasse un angle θ=30°
avec le vecteur normal à la surface de la boucle.
1
Exercice 4 : (/10 points)
Pour se repérer dans le vide caractérisé par ( μ 0 , ε 0 ) , on utilise un référentiel orthonormé
r r r
O x y z muni des vecteurs unitaires (e x , e y , e z ) . On y considère le vecteur densité de courant
de déplacement donné par
où j0
(
)
r r r
r
j = j0 exp i (α t − k ⋅ r ) e x
r
r
et α sont des constantes, i 2 = −1 , k est un vecteur d’onde et r et t représentent le
vecteur position et le temps respectivement.
1. Rappeler la définition théorique du vecteur densité de courant de déplacement en
r
fonction du champ électrique E .
r
2. Donner l’expression du champ électrique E associé à une onde électromagnétique
plane progressive et harmonique sachant que ce champ est polarisé selon O x .
r
3. Sachant que le vecteur densité de courant j défini précédemment est associé à ce
r
r
champ E , trouver les composantes possibles de k .
r
4. Si l’on précise que l’onde se propage selon Oy déterminer alors définitivement k si la
longueur d’onde vaut λ = 583.6 nm .
5. Identifier les paramètres j0 et α et donner leurs valeurs numériques sachant que
l’intensité de l’onde est égale à 400 mW.
r
r
6. Ecrire alors le champ électrique E ainsi que le champ magnétique B associé.
Calculer le vecteur de Poynting.
r
r
7. On considère à présent un champ électrique E ' similaire en tous points à E sauf qu’il
r
se propage selon Oz . Déterminer E ' .
r
r
8. Donner le champ électrique résultant de la superposition de E et de E ' et le mettre
r
r
v
sous la forme E R = ξ ( y, z ) cos(ω t − φ ( y, z )) et donner ξ ( y, z ) et φ ( y, z ) .
r
9. Calculer le champ BR associé.
10. Dans quelles régions de l’espace observe-t-on des ondes stationnaires ?
2
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene
Faculté de Physique - Licence de Physique - Deuxième Année - Deuxième Semestre Module : Electromagnétisme - Année universitaire 2008-2009 .
Examen final
Données :
– Expression de ∇2 V en
coordonnées sphériques
: ∂
1
∂
∂V
1
∂2V
1
∂V
∇2 V = 2
r2
+ 2
sin θ
+ 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin2 θ ∂φ2
Z
dθ
θ
–
= ln tan
sin θ
2
z
Exercice 1 :
La figure ci-contre représente deux cônes conducteurs de même axe et opposés
par le sommet. Le demi-angle au sommet est θ1 . Les sommets des deux cônes sont
séparés par un isolant en z = 0. Les potentiels des cônes sont respectivement V1 et
V2 . Calculer le potentiel électrostatique V (θ) en fonction de V1 , V2 , θ1 et θ, pour
θ1 < θ < π − θ1 .
j1
j
j1
Exercice 2 : La distribution de charges électriques dans une région de l’espace est
caractérisée par sa densité volumique qui dépend du potentiel électrostatique :
ρ=−
ε0 V
λ20
où λ0 est une constante appelée longueur de Debye. Cette distribution présente une symétrie sphérique.
1. Ecrire l’équation de Laplace en coordonnées sphériques.
2. Faire le changement de variable W = rV et montrer que :
d2 W
= CW
dr2
Donner l’expression de C en fonction de λ0
3. En déduire l’expression de V en fonction de r.
Exercice 3 :
Une boucle fermée conductrice, de forme rectangulaire de largeur b et
de longueur a (a = 30 cm × b = 20 cm) , est déplacée à travers un champ
~ = βx ~ez (T ) avec une
magnétique non uniforme indépendant du temps B
−1
vitesse constante ~v0 = 5 ~ex (m · s ), où β = 1 T · m−1 . A t = 0, le coin
inférieur gauche de la boucle coincide avec l’origine 0. Calculer la f.é.m induite e . On négligera le champ magnétique créé par le courant induit dans
la boucle.
y
vo
b
O
a
x
Exercice 4 :
On considère une onde électromagnétique , progressive, polarisée rectilignement et sinusoïdale de
pulsation ω , se propageant dans le vide (caractérisé par ε0 et µ0 = 4π·10−7 (MKSA). L’espace est rapporté
−→
à un trièdre orthonormé direct Oxyz. L’onde se propage dans la direction Ou du plan Oxy, faisant un
angle θ avec l’axe Ox. Le champ électrique de l’onde étant parallèle à Oz et E(O, t) = E0 cos(ωt), O étant
l’origine de l’espace.
~
1. Ecrire les composantes du vecteur ~k puis celles du champ E(M,
t) au point M de coordonnées x, y
et à l’instant t.
~
2. En déduire les composantes du champ magnétique de l’onde B(M,
t).
3. Calculer la densité volumique d’énergie électromagnétique E(M, t) puis sa valeur moyenne.
~
4. Exprimer les composantes du vecteur de Poynting P(M,
t) puis son module et enfin sa valeur
~ ?
moyenne. Quelle relation a-t-on entre les valeurs moyennes de E et de kPk
5. Cette onde transporte une intensité moyenne de 0, 2W/m2 , évaluée à travers une surface normale
à la direction de propagation. Quelles sont les valeurs de E0 et de l’amplitude B0 du champ magnétique ?
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene
Faculté de Physique - Licence de Physique - Deuxième Année - Deuxième Semestre Module : Electromagnétisme - Année universitaire 2008-2009 .
Rattrapage
Exercice 1 : (/2points)
1. Calculer le potentiel V (x) dans la région 0 ≤ x ≤ 1 contenant une densité de charge uniforme
ρ = −4ε0 . Ce potentiel doit satisfaire les conditions aux frontières suivantes V (0) = 3V et V (1) = 0V .
2. En déduire le champ électrique E (x).
Exercice 2 : (/4.5 points)
Dans le vide et en absence de courant de conduction, le champ magnétique est donné par :
~ = B0 cos (2x) cos (ωt − βy) ~ex
B
Calculer :
1. Le vecteur densité de courant de déplacement.
~
2. Le vecteur excitation électrique D.
3. La densité volumique de charges électriques.
Exercice 3 : (/13.5 points)
Le champ électrique d’une onde électromagnétique se propageant dans le vide est donné par :
x
y
~
E = E0 sin ω t − √
−√
~ez
2c
2c
1.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
2. (a)
(b)
Quelle est la direction de polarisation ?
Quelle est la direction de propagation ?
Quelle est la nature de l’onde (longitudinale ou transversale) ?
Expliquer pourquoi on peut dire que cette onde est plane.
Quelle est l’amplitude de cette onde ?
Quel terme correspond à la pulsation ?
Quel terme correspond à la vitesse de propagation ?
Donner l’expression de la longueur d’onde λ.
Quelle est l’équations du plan équiphase pour lequel l’onde est déphasée de π/3 par rapport
à l’origine (x = 0, y = 0) ? Exprimer la distance de ce plan par rapport à l’origine en fonction
de la longueur d’onde λ.
3. Quelle différence de phase existe-t-il entre deux plans équiphases distants de 3λ/4 ?
~ Exprimer le déphasage de B
~ par rapport à E.
~
4. Calculer le champ magnétique B.
5. On superpose à cette onde, une deuxième onde progressive de même amplitude , de même pulsation et se propageant dans le même sens mais déphasée de φ par rapport à la première.
(a) Donner l’expression du champ électrique résultant (amplitude et phase en fonction de E0 et
φ ).
(b) Que devient ce champ électrique résultant lorsque φ = 0 ?
~ lorsque φ = 0 .
(c) Calculer le champ magnétique B
6. On superpose à l’onde initiale définie au début de l’exercice, une deuxième onde progressive de
même amplitude , de même pulsation mais se propageant dans le sens opposé.
(a) Donner l’expression de l’onde résultante (amplitude et phase en fonction de E0 , x, et y ).
(b) Quelle est la nature de l’onde obtenue ? Donner la position des maxima et des minima pour
le champ électrique. .
On donne :
sin (p) + sin (q) = 2 sin
p+q
2
cos
p−q
2
Réponses aux questions
Exercice 1 :
1. V (x) = 2x2 − 5x + 3
2. E(x) = −4x + 5
Exercice 2 :
0
1. jDz = − βB
µ0 cos(2x) sin(ωt − βy)
0
2. Dz = − βB
µ0 ω cos(2x) cos(ωt − βy)
3. ρ = 0
Exercice 3 :
1.
(a) Polarisation rectiligne selon Oz
(b) Direction de propagation ~u √12 , √12 , 0 .
(c) Onde transversale.
(d) Onde plane car les surfaces équiphases sont des plans perpendiculaires à ~u.
(e) Amplitude de l’onde E0
(f) Pulsation ω
2.
3.
4.
5.
6.
(g) Vitesse de propagation c
2πc
(a) λ =
ω
√
π 2c
λ
(b) x + y −
= 0, d =
3
6
ωd
3π
∆φ =
=
c
2
E0
x+y
Bx = √ sin ω t − √
2c
2 c x+y
E0
By = − √ sin ω t − √
2c
2c
Bz = 0
~ est en phase avec E
~
B
φ
φ
x+y
+
(a) ET z = 2E0 cos
sin ω t − √
2
2
2c
x+y
(b) φ = 0 ⇒ ET z = 2E0 sin ω t − √
2c
~T = 2 × B
~ de la question précédente
(c) B
ω(x + y)
√
(a) ET z = 2E0 cos
sin (ωt)
2c
(b) Onde stationnaire
√
2λ
Emax = 2E0 sur les plans x + y = n
2 √
2λ
Emin = 0 sur les plans x + y = (2n + 1)
4
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene
Faculté de Physique - Licence de Physique - Deuxième Année - Deuxième Semestre Module : Electromagnétisme - Année universitaire 2009-2010 .
Interrogation écrite n1
Durée : 1h15mn
Exercice 1 : Sachant que dans une région de l'espace vide repéré par un système de coordonnées
cartésiennes (x, y, z), le potentiel électrostatique est exprimé par V = 2x2 y − 5z ,
~ et le vecteur excitation électrique D
~.
1. Calculer le champ électrostatique E
2. Calculer la densité volumique de charge électrique ρ.
3. Calculer la charge électrique contenue dans le volume limité par : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 et
0 ≤ z ≤ 1.
4. Proposer une autre méthode pour répondre à la question 2.
Exercice 2 : Dans une région de l'espace vide repéré par un système de coordonnées cylindriques
(r, θ, z), le champ électrostatique est exprimé par :
~ (r, θ, z) = αr sin θ ~er + βr2 cos θ~eθ + γr e−5z ~ez
E
1. Dans le système d'unités international (S.I.), en quelles unités s'expriment les quantités α,
β et γ ?
2. Dans les cas où α = 1 (u.S.I.), β = 1 (u.S.I.) et γ = 2 (u.S.I), calculer la densité volumique
de charges électriques ρ.
~ est déni par :
Exercice 3 : Dans le vide, le champ excitation magnétique H
~ = x + 2y ~ey + 2 ~ez
H
z2
z
~ ×H
~.
1. Calculer ∇
2. Trouver le vecteur densité de courant ~jC .
3. En déduire le courant total traversant la surface dénie par : z = 4, 1 ≤ x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 5.
Exercice 4 : Dans le vide, le potentiel vecteur A~ , exprimé dans un système de coordonnées
~ = 50r2~ez .
cylindriques est donné par : A
~ et H
~.
1. Calculer B
H
~ · d~` pour r = 1 et z = 0.
2. Utiliser la valeur de Hθ en r = 1 pour calculer H
3. En déduire le courant total traversant la surface : z = 0, 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π .
4. Proposer une autre méthode pour répondre à la question précédente.
En coordonnées cylindriques :
~ = Ar~er + Aθ~eθ + Az ~ez
A
~ ·A
~ = 1 ∂ (rAr ) + ∂Aθ + ∂Az
∇
r
∂r
∂θ
∂z
1 ∂Az
∂Aθ
∂Ar
∂Az
1 ∂(rAθ ) 1 ∂Ar
~
~
∇×A=
−
~er +
−
~eθ +
−
~ez
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
r ∂θ
Remarque : Dans les expressions mathématiques des exercices ci-dessus, les diérents coecients
sont supposés avoir les dimensions nécessaires à la cohérence des équations aux dimensions.
Corrigé
Exercice 1 :
~ = −∇V
~ = −4xy ~ex − 2x2 ~ey + 5 ~ez
1. E
~ = ε0 −4xy ~ex − 2x2 ~ey + 5 ~ez
D
~ ·D
~ = −4ε0 y
2. ρ = ∇
3. Q =
Z
ZZZ
1Z 1Z 1
ρdτ =
0
τ
4. ∇2 V = 4y = −
0
−4ε0 y dx dy dz = −2ε0 (u. S.I.)
0
ρ
⇒ ρ = −4ε0 y (u. S.I.)
ε0
Exercice 2 :
1. α → V m−2 , β → V m−3 , γ → V m−2
~ ·E
~ = ρ ⇒ ρ = ε0 (2 − r) sin θ − 10 r e−5z
2. ∇
ε0
Exercice 3 :
~ ×H
~ = 2 (x + 2y) ~ex + 1 ~ez
1. ∇
3
2
z
z
2
(x
+
2y)
1
~ ×H
~ =
2. ~jc = ∇
~ex + 2 ~ez
3
z
z
Z Z
Z 2 Z 5
1
2
1
~jc · ~n dS =
3. I =
dx dy = 2 = (u. S.I.)
2
z z=4 8
x=1 y=3 z
Exercice 4 :
~ =∇
~ ×A
~ = −100r ~eθ ⇒ H
~ = Hθ ~eθ avec Hθ = −
1. B
100r
µ0
I
Z 2π
200π
~ · d~` = Hθ d` =
H
Hθ r dθ = −
µ0
0
I
~ · d~` = − 200π (u S.I)
3. I = H
µ0
ZZ
200
~
~
~
~jc · ~n dS = − 200π (u.S.I.)
4. jc = ∇ × H = −
~ez ⇒ I =
µ0
µ0
~
~
5. On peut vérier aisément que ∇ · A = 0
2.
I