Sujets d`examens

1
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumedienne
Faculté de Physique
LMD – L2 – S4 - S.M Option Physique
Module Physique 4 : Electromagnétisme
Epreuve de Synthèse (Durée : 1h30mn)
Données : En coordonnées cylindriques (r, θ ,z)
()
()
2
2
2
2
2
2
z
rzr
r
z
z
r
zr
z
ff
r
1
r
f
r
rr
1
ff
e
A
r
Ar
r
1
e
r
A
z
A
e
z
AA
r
1
A
z
AA
r
1
Ar
rr
1
A
e
z
f
e
f
r
1
e
r
f
f
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=∇=Δ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ∂
∂
−
∂
∂
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
θ∂
∂
=×∇
∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
=∇
θ
θ
θ
θ
θ
GGG
G
G
G
G
G
G
G
G
Exercice 1 : (3 pts)
On donne
()
(
)
2
r
2mCesin28er7D −
θ⋅θ+=
G
G
G
en coordonnées cylindriques, trouver la
densité volumique de charge ρ.
Exercice 2 : (5 pts)
Deux plans d’équation respectives θ=0 et θ=π/4
en coordonnées cylindriques, sont isolés le long de
l’axe Oz comme indiqué sur la figure ci-contre. On
négligera les effets de bord et on supposera que
0
zr = ∂
∂
=
∂
∂.
1. Trouver le potentiel électrostatique entre les
plans, en prenant un potentiel de 100 V pour
θ=π/4 et l’origine des potentiels en θ=0.
2. En déduire l’expression du champ électrique
E
G
entre les plans.
Exercice 3 : (12 pts)
1. Une onde électromagnétique plane harmonique polarisée rectilignement selon Oy, ayant
une amplitude constante E0 et une pulsation
ω
, se propage dans le vide selon la direction de
l’axe Ox dans le sens des x positifs.
a) Ecrire l’expression des composantes du vecteur d’onde et l’expression complexe du
champ électrique.
b) Calculer le champ magnétiqueB
G
associé à cette onde.
c) Exprimer le vecteur de Poynting et calculer son flux à travers une
surfaceΣperpendiculaire à k
G
.
x
y
z
θ
V=100V
V
=
0V

2
2. On considère une deuxième onde électromagnétique plane harmonique dont le
champ magnétique B
G
, polarisé selon Oz, a une amplitude constante B0 et une pulsation
ω
.
Cette onde se propage également selon la direction de l’axe Ox mais dans le sens des x
négatifs.
a) Ecrire l’expression des composantes du vecteur d’onde et l’expression complexe du
champ magnétique.
b) Calculer le champ électriqueE
G
associé à cette onde.
c) En un point d’abscisse x, on place une petite boucle conductrice suffisamment petite
pour considérer que le champ électromagnétique est constant sur sa surface. Soit
(
)
zyx n,n,nn
G le vecteur unitaire normal à cette boucle. Calculer l’amplitude de la
f.é.m induite dans cette boucle, en fonction de B0, nx, ny et nz . Pour quelles valeurs
de nx, ny et nz :
i. L’amplitude de cette f.é.m est maximale
ii. L’amplitude de cette f.é.m est nulle.
3. On étudie l’onde électromagnétique résultant de la superposition des ondes
précédentes.
a) Quelle relation doit relier E0 et B0 pour que le champ électrique résultant soit nul en
x=0 ?
b) En déduire l’expression des amplitudes du champ électrique et du champ
magnétique résultants en fonction de y.
c) On utilise la boucle de l’exercice précédent, dont la surface est placée parallèlement
au plan yOz. En faisant varier sa position selon Ox, on trouve que l’amplitude de la
f.é.m induite est maximale en deux positions successives distantes de a. Calculer la
fréquence des deux ondes électromagnétique en fonction de a.

Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumedienne
Faculté de Physique
LMD – Filière SM – Option Physique – S4 – Module Electromagnétisme
Epreuve de rattrapage – Juillet 2007
Exercice 1 : (/6 points)
On considère la configuration ci contre constituée
de deux conducteurs séparés par un isolant et
placés dans le vide. Le premier conducteur est un
plan dont le potentiel électrostatique est V=0V. Le
second conducteur est un cône de demi-angle au
sommet θ=α. Tenant compte de la symétrie, on a :
() ()
θ
θ
=∇
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ
θ
θ
θ
=Δ e
d
dV
r
1
V;
d
dV
sin
d
d
sinr
1
V2
G
G
De plus on donne :
()
cte
2
x
tanlndx
xsin
1+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∫
1) Calculer le potentiel électrostatique en chaque point de l’espace 2
π
<θ<α .
2) En déduire le champ électrostatique dans cette région de l’espace.
Exercice 2: (4 points)
Soit dans le vide, une onde électromagnétique plane sinusoïdale progressive de pulsation
dont le champ électrique est de la forme
E
30expit−z e
x
V/m
1) Calculer le champ magnétique
B
de cette onde.
2) Calculer la quantité
.
Exercice 3 :( /10 points)
Une onde électromagnétique plane, sinusoïdale se propage dans le vide. Son champ électrique
est porté par l’axe Oy d’un repère Oxyz, tel que :
(
)
y
kxti
0eeEE
G
G
−ω
=.
1) Quelle est la direction de propagation de cette onde ? Quelle est la direction et la nature de
la polarisation ?
2) Un cadre rectangulaire DCC’D’ de côtés a et b de milieu O est placé dans le plan Oxy,
avec DC=D’C’=a parallèle à Oy et CC’=DD’=b parallèle à Ox. Le cadre porte N tours d’un
fil conducteur formant un circuit fermé. Calculer la circulation de E
G
le long du circuit. Dans
le cas où λ>>b , donner une expression simplifiée de la f.é.m. dans le circuit.
3) A partir des équations de Maxwell déterminer les composantes du champ magnétique B
G
.
4) Si λ>>b, on pourra considérer que B
G
est uniforme sur la surface du cadre et égal à sa
valeur en O centre du cadre. Calculer, dans cette approximation, le flux de B
G
à travers le
circuit et en déduire la f.é.m. induite. Comparer avec le résultat de la question 2°)
5) A.N. Calculer l’amplitude de la f.é.m. induite pour a=20 cm, b = 20 cm, λ= 1837m, N=10
et E0= 1V.m-1.
V=V0
θ=α
V=0
isolan
t

1
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène
Faculté de Physique - Année Universitaire 2007-2008
LMD – L2 – S4- Sciences de la Matière – Option Physique
Module : Electromagnétisme
Epreuve de Synthèse - Durée 1h30mn
Exercice 1 :
Soit D
G
le vecteur excitation du champ électrique défini en coordonnées cylindriques
par :
(
)
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≤<=
ailleurspartoutm/Ce
r
1
D
ar0m/CerD
2
r
2
r
3
G
G
G
G
Calculer la densité de charge électrique correspondante.
Exercice 2 :
Résoudre l’équation de Laplace dans la région comprise entre deux cônes coaxiaux
représentés sur la figure ci-dessus. On suppose que V=V1 pour θ=θ1 et V=0 pour θ=θ2. Les
sommets des cônes sont isolés en r=0.
On donne :
()
∫⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛θ
=
θ
θ
2
tgln
sin
d
Exercice 3 :
Dans une région cylindrique d’axe Oz, le vecteur densité de courant est :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>=
≤≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−=
arpour0j
ar0e
a
r
1Jj z
2
2
0
G
G
G
G
Calculer en fonction de r, le champ magnétique
B
G
créé par ce courant.

2
Exercice 4 :
Le conducteur de 2m de long de la figure ci-dessus, tourne à une vitesse constante
N=1200/tours/mn dans le champ magnétique
(
)
(
)
Tesin10.0B φ φ=
G
G
. Trouver le courant dans la
boucle, fermée sur une résistance de 100 Ω.
Exercice 5 :
Soit, dans le vide, le champ magnétique donné par
(
)
(
)
x0 eytcosx2cosBB G
G
β−ω= .
Calculer :
• Le vecteur densité de courant de conduction
• Le champ électrique
• La densité volumique de charge électrique.
Exercice 6 :
La figure ci-contre illustre une antenne en
réseau située dans l’air et qui est formée de
deux boucles de fil métallique de rayon a. Les
surfaces des boucles sont perpendiculaires à
l’axe des y et les centres des boucles sont
situées à y=-d et y=+d. Les boucles sont reliées
en série de façon à ce que le signal à la sortie
de l’antenne soit égal à la somme des forces
électromotrices induites dans chacune des deux
boucles. Soit une onde électromagnétique dont
le champ électrique, d’amplitude E0, est
polarisé selon Oz et qui se propage dans le plan xOy selon le vecteur d’onde k
G
 Quelle est l’expression du champ magnétique B
G
?
 Calculer la somme des forces électromotrices induites dans les boucles.
 Quelles sont les distances d pour lesquelles la somme des f.é.m induites dans les deux
boucles est nulle ? Quelle pourrait être l’application d’un tel dispositif ?
y
+d
-d
-+
x
z
θ
G
k