Probabilité. Variable aléatoire.

Variable aléatoire.
I
Leçon.
Souvent lors d'une expérience aléatoire on ne s'intéresse pas au résultat (issue)
de l'expérience mais à un nombre qui lui est associé. Ainsi ce n'est pas la combinaison de 6 nombres du résultat du tirage de lotto qui nous intéresse mais la somme
que l'on gagne et la probabilité de ce gain.
On appelle variable aléatoire la fonction qui à chaque issue de l'expérience
associe un nombre (le gain).
La loi de probabilité d'une variable aléatoire X qui prend les valeurs x , . . . ,x
est donnée sous forme d'un tableau :
1
x
P (X = x)
x1
P (X = x1 )
...
...
p
xp
P (X = xp )
est l'événement formé des issues pour lesquelles X vaut x .
On appelle espérance de la variable aléatoire le nombre :
(X = xk )
k
E(X) = P (X = x1 ) × x1 + · · · + P (X = xp ) × xp
L'espérance représente la valeur obtenue en moyenne pour la variable aléatoire
si on répète inniment l'expérience.
Remarques.
1. La formule de l'espérance est celle d'une moyenne :
E(X) =
mais P (X = x ) + · · · + P (X = x ) = 1.
2. Bien souvent dans les exercices la méthode consistera à
(a) Identier l'expérience.
(b) Identier la variable aléatoire.
(c) Trouver les valeurs x , . . . ,x que peut prendre la variable.
(d) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire sous forme d'un
tableau.
(e) Calculer l'espérance grâce à la loi de probabilité.
P (X=x1 )×x1 +···+P (X=xp )×xp
P (X=x1 )+···+P (X=xp )
1
p
- 1
1
p
II
Exercices.
Exercice 1
Exercices 14, 15 et 16 page 232 du manuel hachette déclic 2015 : tableau de la loi de
probabilité d'une variable.
Exercice 2
Exercices 25, 27 et 28 page 234 du manuel hachette déclic 2015 : construire la loi de
probabilité d'une variable aléatoire.
Exercice 3
Exercice 31 page 234 du manuel hachette déclic 2015 : exprimer des événements avec
une variable aléatoire et calculer les probabilités correspondantes.
Exercice 4
Exercices 55, 56, 57 et 58 page 238 du manuel hachette déclic 2015 : étude d'un
problème faisant intervenir une variable aléatoire.
Exercice 5
Exercices 67 et 68 page 240 du manuel hachette déclic 2015 : situation introduisant
la loi binomiale.
III
Ce qu'il faut retenir.
IV
Exercices Wims.
1. Calculer un taux d'évolution à partir des valeurs de départ et d'arrivée ou à
partir du coecient multiplicateur.
2. Calculer une valeur d'arrivée à partir d'un taux d'évolution en utilisant le
coecient multiplicateur.
3. Retrouver la valeur de départ avec le coecient multiplicateur réciproque.
1ieme_es_probabilite_02_001_variable_aleatoire
1ieme_es_probabilite_02_002_variable_aleatoire
1ieme_es_probabilite_02_003_variable_aleatoire
1ieme_es_probabilite_02_004_variable_aleatoire
1ieme_es_probabilite_02_005_variable_aleatoire
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