Chapitre 8: La relativité restreinte Exercices
Chapitre 8 : La relativité restreinte
Exercices
E1. Aumoyendel’équation8.7,ondéterminelemoduledelavitessedumètre:
=1
r1−2
2
=⇒1−2
2=1
2=⇒2
2=1−1
2=⇒=q1−1
2
Sachant que =0
, soit le rapport de la longueur propre du mètre (0)sur sa longueur
mesurée dans le référentiel en mouvement (),ona
=r1−1
³0
´2=⇒= 0600
E2. Si =1
r1−2
2
et que ¿ le développement donne
(a) =³1−2
2´−12=1−¡−1
2¢³2
2´=⇒=1+ 2
22=⇒CQFD
(b) 1
=³1−2
2´12=1−¡1
2¢³2
2´=⇒1
=1−2
22=⇒CQFD
(c) On définit, dans le logiciel Maple, l’expression correcte de et le résultat de la question
(a). On résout ensuite en fonction de la condition posée :
restart;
g1:=1/sqrt(1-v^2/c^2);
g2:=1+v^2/(2*c^2);
eq:=g1-g2=0.001*g1;
solve(eq,v);
La seule solution réelle acceptable est =0228
(d) Toujours dans le logiciel Maple, on donne une valeur à la vitesse de la lumière et on trace
le graphe pour les deux expressions de :
c:=3e8;
plot([g1,g2],v=0..0.999*c,color=[red,blue]);
Les deux courbes se séparent de façon marquée lorsqu’on atteint la moitié de la vitesse
de la lumière.
E3. La longueur propre de la tige est mesurée dans son référentiel. La théorie de la relativité
indique que la longueur propre est plus grande que la longueur mesurée en laboratoire,
soit
0= =
r1−2
2
=12
√1−(06)2= 150 m
E4. L’équation 8.9 nous donne
148 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5
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=0
=⇒=0
=10 a.l.
3a.l. =3333
Au moyen de l’équation 8.7, on établit le module de la vitesse la fusée :
=1
r1−2
2
=⇒1−2
2=1
2=⇒2
2=1−1
2=⇒=q1−1
2=⇒
=q1−1
(3333)2= 0954
E5. (a) Avec =0et, selon l’exercice 2, =1+ 2
22on obtient
−0
0=0(−1)
0=−1=1+ 2
22−1= 2
22
(b) Avec =0
et, selon l’exercice 2, 1
=1−2
22on obtient
−0
0=0³1
−1´
0=1
−1=1−2
22−1= −2
22
E6. On cherche ∆=−0le retard de l’horloge ayant voyagé.
(a)Silemoduledesavitesseestde=01 on a
=1
r1−2
2
=1
√1−(01)2=1005
Le retard vaut donc
∆=−0=0(−1) = (1 a)(1005 −1) = 159 ×105s
(b) Si le module de sa vitesse est plutôt de =0998 on a
=1
r1−2
2
=1
√1−(0998)2=158
Le retard vaut alors
∆=−0=0(−1) = (1 a)(158−1) = 467 ×108s
E7. Le module de la vitesse qu’implique ce retard est donné par l’équation trouvée en E5a,
soit
−0
0=2
22=⇒=q22∆
0=q22(1)
(36524)(24)(3600) =755km/s
E8. Le délai de 22s correspond au temps propre 0dans le référentiel du muon, alors que
la distance de 400 m est la longueur propre 0du laboratoire. Dans le référentiel du
laboratoire, le muon franchit cette distance en un temps =0=0
r1−2
2
et possède
une vitesse de module que l’on détermine ainsi
0= =0=0
r1−2
2
=⇒0
0=
r1−2
2
=⇒2
1−2
2
=³0
0´2=⇒
2=³0
0´2
−2
2³0
0´2=⇒2+2
2³0
0´2=³0
0´2=⇒
2µ1+³0
0´2¶=³0
0´2=⇒
=v
u
u
t³0
0´2
1+³0
0´2=v
u
u
t³400
22×10−6´2
1+µ400
(3×108)(22×10−6)¶2= 155 ×108m/s
v5 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte 149
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E9. (a) L’intervalle de temps de 5s représente le temps propre de l’observateur au repos mesuré
à l’aide d’une seule horloge. La même mesure de passage prise à bord du train nécessite
deux horloges qui, selon le tableau 8.2, indiquent un intervalle dilaté de
=0=¡5
3¢(5 s)= 833 s
(b) La longueur propre du train correspond à la distance franchie par l’observateur pendant
qu’il passe de l’avant à l’arrière du train à une vitesse de module dans le référentiel du
train
0= =(08)¡833 ×10−6¢=200 ×103m
(c) La longueur du train mesurée par l’observateur sur le quai se calcule avec le temps propre
de l’observateur qui se trouve sur le quai :
=0=(08)¡5×10−6¢=120 ×103m
E10. On cherche ∆=−0=³1−1
´. On a choisi de mettre en évidence parce que
sa valeur est donnée par =0
Ainsi, si on fait appel au résultat de l’exercice 2, on
obtient
∆=³1−1
´=0
³1−³1−2
22´´=0
22=400(200×103)
2(3×108)2= 444 ×10−10 s
E11. On veut que ∆=−0=³1−1
´=05 donc
1
=05=⇒q1−2
2=05=⇒=p0752= 0866
E12. (a) Le temps propre dans le vaisseau est égal à la distance =0
mesurée par un observateur
dans le vaisseau et divisée par le module de sa vitesse. Lorsqu’une distance exprimée en
année-lumière est divisée par une vitesse exprimée comme une fraction de la vitesse de
la lumière, le temps obtenu est en années :
0=
=0
=42a.l.
5(098)=(42a)
5(098)= 0857 a
(b) Cet intervalle de temps, observé dans le référentiel Terre-étoile vaut
=0=5(0857 a)= 429 a
(c) La distance Terre-étoile observée à bord du vaisseau est de
=0
=42a.l.
5= 0840 a.l.
E13. (a) Avec l’équation 8.9, on détermine que la longueur propre de est de
=0
=⇒0= =
r1−2
2
=150
√1−(02)2=153 m
(b) Pour déterminer le temps que prend pour défiler devant on n’a besoin que d’un
seul observateur en ce point et on obtient
150 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5
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0=
=150
6×107= 250 s
(c) Mesuré à partir du vaisseau par deux horloges situées aux deux extrémités, le délai
en temps est de
=0=0
r1−2
2
=250×10−6
√1−(02)2= 255 s
E14. La distance propre entre la Terre et l’étoile, mesurée par un observateur sur la Terre est
0=80a.l. =(80a)
Si le temps propre à bord du vaisseau est de 70 a, le module de la vitesse du vaisseau
s’exprime par
=
0=0
0=⇒22=³0
0´2=⇒2
1−2
2
=³0
0´2
Si, pour cette égalité, on suit le même développement algébrique qu’à l’exercice 8, on
arrive à
=v
u
u
t³0
0´2
1+³0
0´2=v
u
u
u
tµ(80 a)
70 a¶2
1+µ(80 a)
(70 a)¶2= 226 ×108m/s
E15. (a) On cherche le temps propre mesuré par un observateur immobile par rapport à l’arbre
au moyen de la longueur mesurée :
0=
=320
06= 178 s
(b) Pour deux observateurs situés aux deux extrémités du train, le délai en temps est plutôt
de
=0=0
r1−2
2
=178×10−6
√1−(06)2= 222 s
E16. (a) Comme =06 on a =5
4selon le tableau 8.2. La longueur propre du train est donc
de
0= =¡5
4¢(1200) = 150 km
(b) Mesuré dans le référentiel du quai par deux observateurs, le délai en temps est de
=0
=1500
06= 833 s
(c) Cet intervalle de temps, tel que mesuré par un seul observateur dans le train, correspond
au temps propre, soit
0=
=1200
06= 667 s
E17. (a) Si la longueur contractée du vaisseau est de 120 m, son passage devant un observateur
de la station spatiale durera, pour l’observateur
0=
=120
098= 0408 s
v5 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte 151
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(b) Comme =098 on a =5selon le tableau 8.2. À bord du vaisseau, il se sera écoulé
=0=5¡0408 ×10−6¢=205 s
E18. (a) On veut que =0
=36a.l. Sachant que 0=42a.l., on déduit que
a=0
=42
36=1167Ainsi, en exprimant aen termes de acomme à l’exercice 1, on
obtient
a=q1−1
2
a=q1−1
(1167)2= 0515
(b) On cherche btel que 0=24a; donc
b=
0=0
b0=⇒bb=0
0=⇒2
b2
b=³0
0´2=⇒2
b
1−2
b
2
=³0
0´2
Si, pour cette égalité, on suit le même développement algébrique qu’à l’exercice 8, on
arrive à
b=v
u
u
t³0
0´2
1+³0
0´2=v
u
u
u
tµ(42a)
24 a¶2
1+µ(42a)
(24 a)¶2= 0172
(c) On cherche le temps écoulé sur Terre pendant le voyage des astronautes de la question
(b). On doit d’abord calculer le facteur gamma pour ce module de vitesse :
b=1
r1−2
b
2
=1
√1−(0172)2=1015
On obtient ensuite le résultat à partir du temps propre (0=24a)des astronautes :
=b0=(1015) (24 a)= 244a
E19. (a) La durée du voyage 0pour le pilote est donnée par 0=0
On calcule d’abord :
=1
r1−2
2
=1
√1−(02)2=10206
On obtient ainsi
0=0
=5×105
(10206)(02)= 817 ms
(b) Le pilote mesure une distance de
=0
=5×105
10206 =490 km
E20. (a) On obtient la durée de vie moyenne mesurée dans un référentiel en mouvement au moyen
de l’équation 8.8, en utilisant le tableau 8.2 :
=0=¡5
3¢¡26×10−8¢=433 ×10−8s
(b) On mesure la distance parcourue dans le laboratoire, qui correspond à une longueur
propre, ce qui donne
0= =(08)¡433 ×10−8¢=104m
(c) Mesurée par les pions, cette longueur est contractée, et sa valeur est de
152 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5
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6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1
/
22
100%
