1 Statistiques et probabilités : corrections

Statistiques et probabilités : corrections 1
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1 Statistiques et probabilités
:
corrections
5.2. Exercices de base en statistiques
5.2.1. À la maternité
A la maternité = D’après Bac L, Pondichéry, avril 2001
Corrigé : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Corrige_2001_04_Pondichery.pdf
5.2.2 La Rache qui Vit
D’après bac L, Amérique du Sud, novembre 2002 : corrigé
http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Corrige_2002_11_AmSud.pdf
5.2.3. ADN ?
D’après Bac L, Nouvelle Calédonie, novembre 2002
On considère les quatre lettres A, T, C, G. Dans cet exercice, on s’intéresse aux mots de trois lettres (mots
ayant un sens ou non) que l’on peut former avec ces lettres. Ainsi, les mots CAT, TTG et GAG conviennent.
1. a. Si on écrit tous les mots possibles, on a TAA, TAC, TAG, TCA, TCC, TCG, TGA, TGC, TGG, TTA,
TTC, TTG, TTT.
En enlevant ceux où deux lettres sont identiques on a : TAC, TAG, TCA, TCG, TGA, TGC.
b. Pour la première lettre on a le choix entre 4, 3 pour la deuxième et 2 pour la troisième, soit
4 3 2 24
× × =
.
2. Il y a 4 choix par lettre c’est-à-dire
4 4 4 64
× × = .
La probabilité d’avoir 3 lettres distinctes est 24 3
0,375
64 8
= = .
3. a. On tire au hasard un entier entre 1 et 4 : si on prend la fonction ALEA() des tableurs qui donne un
nombre de
[
[
0 ;1
, il faudra utiliser la formule : =ENT(4*ALEA())+1.
b. Dans A1 à recopier sur A1 : D20 : =ENT(4*ALEA())+1.
Dans E1 à recopier sur E1 : H20 : =SI(A1=1;"A";SI(A1=2;"C";SI(A1=3;"G";"T")))
Dans I1 à recopier sur I1 : I20 : =CONCATENER(E3;F3;G3;H3)
A B C D E F G H I
1 3
1 1 1 G A A A GAAA
2 2
1 1 1 C A A A CAAA
3 2
1 2 3 C A C G CACG
4 3
4 2 2 G T C C GTCC
5 4
4 3 2 T T G C TTGC
6 2
1 1 1 C A A A CAAA
7 2
2 3 1 C C G A CCGA
8 4
3 2 3 T G C G TGCG
9 2
2 2 1 C C C A CCCA
10 1
4 4 3 A T T G ATTG
11 3
1 3 3 G A G G GAGG

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12 1
3 4 4 A G T T AGTT
13 3
4 2 3 G T C G GTCG
14 3
2 1 3 G C A G GCAG
15 1
3 4 2 A G T C AGTC
16 1
4 3 4 A T G T ATGT
17 4
2 4 4 T C T T TCTT
18 1
3 2 4 A G C T AGCT
19 1
1 4 3 A A T G AATG
20 3
2 2 1 G C C A GCCA
Pour compter le nombre de fois où on a 3 lettres différentes de manière automatique on peut utiliser les
fonctions logiques OU, ET, NON.
5.2.5. Nouveaux-nés
D’après Bac L, France, juin 2003
1. a. 48 50,5 51,5 50 52,5 50 49 53 50
50,5
9
+ + + + + + + + =.
b. 50 % de 9 = 4,5, soit la 5
ème
valeur par ordre croissant ; la médiane est 50.
2. a. 46 1 47,5 2 48 3 ...
49,99 50
57
× + × + × +
≈ ≈
.
b. 50 % de 57 = 28,5 ; on prend la 29
ème
mesure par ordre croissant, soit environ 50.
c. Il y a 16 nouveaux-nés d’une taille inférieure ou égale à 49 cm, soit 16
100 28,1 %
57 × ≈ .
d. On détermine ici le troisième quartile : 75 % de 57 = 42,75, ce qui correspond à une taille d’environ 50,7.
e. Voir ci-dessous.
3. a.
44 46 48 50 52 54 56 58 60
cm
Beaux-jours
Bon accueil
b. Les tailles des nouveaux-nés semblent globalement plus petites à Bon accueil (50 % de plus petits) ; on peut
penser que le service de prématurés est dans cette clinique.
c. Il y a 57 nouveaux-nés de taille moyenne 50 cm à Beaux jours et 64 nouveaux-nés de taille moyenne 49,3 à
Bon accueil, la moyenne est alors : 57 50 64 49,3
49,6
57 64
× + × ≈
+.

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Pour la médiane ça ne marche pas car l’effectif moyen est 57 64
60,5
2
+= et on ne peut amalgamer les deux
séries.
5.2.6. Plus âgés
D’après Bac L, Liban, juin 2003 (exercice 2)
Corrigé : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Corrige_2003_06_Liban.pdf
5.2.7. Le cœur a ses raisons
D’après Bac L, Amérique du Sud, novembre 2003 (exercice 2)
Corrigé : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Corrige_2003_11_AmSud.pdf
5.2.8. Mickey’s Labyrinth
D’après Bac L, Liban, juin 2004 (exercice 1)
Corrigé : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Corrige_2004_06_Liban.pdf
5.3. Exercices de base en probabilités
5.3.1. Boules
Il y a 6 boules : appelons les boules tirées U et V. On a 6 manières de tirer U puis 5 manières de tirer V, soit 30
tirages possibles, mais quand on regarde ce qu’on a dans la main, on a aussi bien UV que VU ; il y a donc 15
tirages possibles (par exemple tirer B1, V3 est identique à tirer V3, B1.)
A : On doit tirer R1 et R2, soit 1 tirage possible et donc 1 chance sur 15.
B : On doit tirer BR (
1 2
×
tirages) ou BV (
1 3
×
tirages) ou RV (
2 3
×
tirages), soit un total de 11 tirages et
une probabilité de 11/15.
C : C’est RB, RV, ou RR, soit 2+6+1=9, soit 9/15.
D : C’est VR, VB ou VV ( 3 2
3
2
×
=
tirages possibles), soit 6+3+3=12 et la probabilité = 12/15=4/5.
E : On peut avoir V1R1, V1R2, V2B1, V2R1, V2R2, V2R3, V3B1, V3R1, V3R2, V3R3, soit 10/15=2/3.
F : On utilise la formule
(
)
(
)
(
)
(
)
A B A B A B
∪ = + − ∩
P P P P
:
( )
2 4
1R
15
×
=P,
( )
3 3
num 1
15
×
=P (1
numéro 1 parmi 3 et une numro 2 ou 3 parmi 3), soit
( ) ( )
8 9 13
1 2, 1 3, 2 1, 2 1
15 15 15
A B R V R V R V R B∪ = + − =P P .
5.3.2. Dans une urne
1.
A : « X est divisible par 5 » : il y a 200 boules divisibles par 5, de 0 à 995=199
×
5 tous les 5.
B : « X se termine par 0 » : il y a 100 boules divisibles par 10, de 0 à 990=99
×
10 tous les 10.
C : « X est multiple de 2 » : il y a 500 boules divisibles par 2, de 0 à 999=499
×
2 tous les 2.
D : « X est divisible par 3 » : il y a 334 boules divisibles par 3, de 0 à 999=333
×
3 tous les 3.
2.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
100
A C B 0,1 ;
1000
200 500 100 600
A C = A C A C = 0,6 ;
1000 1000 1000 1000
∩ = = =
∪ + − ∩ + − = =
P P
P P P P

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( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
34 100 334 34
B D = , B D = =0,4 ;
1000 1000
67 200 334 67
A D = , A D = =0,467 ;
1000 1000
500 334 167
A B = B , C D 0,667.
1000
+ −
∩ ∪
+ −
∩ ∪
+ −
∩ ∪ =
P P
P P
P P P
5.3.3. Dés - 1
On peut écrire tous les résultats et compter…
1 2 3 4 5 6
1 11 12 13 14 15 16
2 21 22 23 24 25 26
3 31 32 33 34 35 36
4 41 42 43 44 45 46
5 51 52 53 54 55 56
6 61 62 63 64 65 66
1. A : « Obtenir exactement un 1 ».
( )
10 5
36 18
A= =P.
B : « Obtenir aucun 1 ».
( )
25
36
B=P.
C : « Obtenir au moins un 1 ».
( ) ( )
11
1
36
C B= − =P P .
D : « Obtenir au plus un 1 ».
( ) ( )
35
1 deux 1
36
D= − =P P .
E : « Obtenir deux nombres pairs ».
( )
9 1
36 4
E
= =
P.
F : « Obtenir une somme supérieure ou égale à 8 ».
( )
15 5
36 12
F= =P.
2. L’événement
E×F
consiste à fabriquer des couples où le premier élément est dans E et le deuxième dans F,
par exemple
(
)
24, 56
; il y a 9 éléments dans E, 15 dasn F, on a alors
( )
9 15
36 36
E F × × = × P.
5.3.4. La loterie
1.
( )
3
1
100
G=P.
2. Il y a
100 99
2
× manières de choisir les deux billets parmi 100. Le contraire de « gagner au moins un lot »
c’est « gagner 0 lot », soit choisir les deux billets parmi les 97 perdants : il y a
97 96
2
× manières de le faire.
On a donc la probabilité :
97 96
2
1 0,06
100 99
2
×
− ≈
× de gagner au moins un lot.
5.3.5. Dés - 2
Si on appelle X la variable aléatoire égale au résultat inscrit sur le dé, on a
( )
3
1
6
X
= =
P,
( )
1
10
6
X
= =
P et
( )
2
100
6
X
= =
P.

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Son espérance est
( )
3 1 2 213
1 10 100
6 6 6 6
X= × + × + × =E.
La variance est
( )
2
2 2 2
3 1 2 213
Var 1 10 100 2090,25
6 6 6 6
X  = × + × + × − =
  .
5.3.6. Dés - 3
1. Soit p la probabilité d’obtenir le 1 (ou le 3 ou le 5) et q celle d’avoir un 2 (ou le 4 ou le 6).
On a
3 3 1
p q
+ =
et
3
4
q p
=, soit
3 4
3 3 1
4 21
p p p+ = ⇔ = et
3
21
q=.
2.
( )
4 3 4 3 4 3 72 24
1 2 3 4 5 6
21 21 21 21 21 21 21 7
X= × + × + × + × + × + × = =E.
5.3.7. Dés - 4
A :
( )
4
1 1 1 1 1
6 6 6 6
6
A= × × × =P .
B :
( )
4
6 5 4 3 360
6 6 6 6
6
B= × × × =P .
C : C est le contraire de B.
P :
( )
6 6 6 3 1
6 6 6 6 2
P
= × × × =
P.
I : Comme P.
E : Le dernier est impair, on a le choix entre 3, pour les autres c’est comme au B :
( )
4
5 4 3 3 180
6 6 6 6
6
E= × × × =P .
F :
(
)
(
)
(
)
(
)
P B P B P B
∪ = + − ∩
P P P P
: il manque
P B
∩
qui est l’événement « tirer un nombre pair
formé de 4 chiffres distincts », c’est la même probabilité que E.
5.3.8. Dés - 5
X
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 2 3 4 5 6
3 3 3 3 4 5 6
4 4 4 4 4 5 6
5 5 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6
On a donc la loi de X :
X 1 2 3 4 5 6
P
X
1
36
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36
2.
(
)
4,472
X=
E
,
(
)
1,404
X σ =.
5.3.9. Chemises
1. La chemise bleue peut aller dans 4 tiroirs, de même pour les deux autres, on a 4
3
=64 rangements possibles.
Un rangement peut s’écrire par exemple bba (Bleue dans b, Blanche dans b, Rouge dans a).
2. A : rangement aaa, soit 1/64.