Nombres entiers et rationnels

Nombres entiers et rationnels- PGCD
I.
Plus Grand Diviseur Commun (PGDC
ou PGCD)
II.
Nombres premiers entre eux
III.
Fractions irréductibles
I. Plus Grand Diviseur Commun
(PGDC ou PGCD)
1) Multiples et diviseurs
2) Diviseurs communs à des nombres entiers
3) Recherche du PGCD
1) Multiples et diviseurs
Rappel :
Dire que k est un diviseur de a
Signifie que a / k est un nombre entier
.
Vocabulaire :
On dit aussi que
a est divisible par k
a est un multiple de k
Remarque: Trouver tous les diviseurs d’un nombre
Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, on
peut, par exemple, le diviser successivement
par les premiers nombres entiers:
Utiliser les critères de divisibilité (p. 258)
Exemples :
1) On cherche tous les diviseurs de 48
48 = 1 x 48
48 = 6 x 8
48 = 2 x 24
Les diviseurs de 48 sont:
48 = 3 x 16
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
48 = 4 x 12
2) On cherche tous les diviseurs de 13
13 = 1 x 13
2) On cherche tous les diviseurs de 13
13 = 1 x 13
Les diviseurs de 13 sont: 1 et 13
13 a exactement 2 diviseurs (1 et lui-même) on dit
que c’est un nombre premier
2) Diviseurs communs à des nombres entiers
Définition 1 :
Un diviseur commun à deux ou plusieurs
nombres entiers, est un nombre entier qui
divise chacun d’eux
Exemple :
2 est un diviseur commun à 12 et 18
3 et 6 aussi…
Définition 2 :
Le Plus Grand Diviseur Commun à plusieurs nombres,
s’appelle le PGCD (ou PGDC) de ces nombres.
Exemple : Trouver le PGCD de 48 et 30
Les diviseurs de 48 sont: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Les diviseurs de 30 sont: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
6 est le PGCD de 48 et 30
3) Recherche du PGCD
1ère méthode:
On cherche tous les diviseurs communs aux deux
nombres et on prend le plus grand de ces
nombres.
Voir exemple précédent.
2ème méthode:
Algorithme des différences
On veut calculer le PGCD de 936 et 624.
On va calculer leur différence
A
936
B
624
A-B
312
624
312
312
312
312
Le PGCD de 936 et 624 est 312
La méthode
précédente
serait bien trop
longue…
3ème méthode:
Algorithme d’ Euclide
On veut calculer le PGCD de 456 et 132.
On va effectuer la division euclidienne de 456 par 132
A
456
B
132
Reste
60
456 = 3 x 132 + 60
132
60
12
132 = 2 x 60 + 12
60
12
0
60 = 5 x 12 + 0
On effectue la division euclidienne du diviseur
par le reste
Le PGCD de 456 et 132 est 12 C’est le dernier reste non nul
Nombres premiers entre eux
Définition 3:
On dit que deux nombres sont premiers entre eux,
lorsque leur PGCD est égal à 1,
Autrement dit, lorsque leur seul diviseur commun est 1.
Exemples :
7 et 9 sont premiers entre eux.
12 et 18 ne sont pas premiers entre eux (car ils sont
tous deux multiples de 2)
Fractions irréductibles
Définition 4:
Une fraction irréductible, est une fraction simplifiée le
plus possible
Propriété 1 :
Soient a et b deux nombres entiers (b ≠ 0)
Si a et b sont premiers entre eux,
alors
a
b
est une fraction irréductible.
Propriété 2 :
Si on simplifie la fraction
a
b
par le PGCD de a et de b,
Alors on obtient une fraction irréductible.
Exemple :
Simplifier la fraction
204
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