Algèbre linéaire I (Révisions) - Lycée Militaire d`Aix-en

K=R K =C
(E, +,·)K
E+E×E→E
0E∈E x ∈E
0E+x=x+ 0E=x
x y ∈E x +y=y+x∈E
x, y, z ∈E(x+y) + z=x+ (y+z)
x∈E y ∈E x +y=y+x= 0Ey
y=−x
(E, +)
E·E×K→
E λ ·x∈E∀λ∈K∀x∈E x ∈E λ, µ ∈K
1K∈K1K·x=x·1K=x
λ·(x+y) = λ·x+λ·y
(λ+µ)·x=λ·x+µ·x
λ·(µ·x)=(λµ)·x
EK K
I
R2R RnR
C2C CnC
KC([a, b],K)K
(K[X],+.)K
X E KX E KF(X, E)
n∈N∗x1, . . . , xnE E K
(x1, . . . , xn)x=
n
X
i=1
αixiαiK

EK
(x1,· · · , xn)E(x1,· · · , xn)
(α1,· · · , αn)∈Kn
α1x1+· · · +αnxn=
n
X
k=1
αkxk= 0E=⇒ ∀i∈[|1, n|], αi= 0.
(xi)i∈IE(xi)i∈I
(xi)i∈I
(xi)i∈IE x ∈E n ∈N(α1,· · · , αn)∈Kn
x=
n
X
k=1
αkxk.
E(xi)i∈I
(xi)i∈IE
IE
I
x, y ∈E(x, y)x= 0 y= 0 α∈Ky=αx
(1, X, . . . , Xn)Kn[X]
(Xk)k∈NK[X]
((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) R3
(cos,sin) C(R,R)
EKB= (e1,· · · , en)E x ∈E n−
(α1,· · · , αn)∈KnxB
x=α1e1+· · · +αnen=
n
X
k=1
αkek.

EK
F⊂E E
0E∈F F 6=∅
∀(x, y)∈F2x+y∈F
∀x∈F∀λ∈Kλ·x∈F
F⊂E E 0E∈F∀(x, y)∈F2λ∈Kx+λ·y∈F
F E (F, +, .)K
IK
K
(fi)i∈IE(fi)i∈I
E fi
Vect ((fi)i∈I)def =(x∈E, ∃k∈N∗∃(α1, . . . , αk)∈Kk, x =
k
X
i=1
αifi)
Vect ((fi)i∈I)E
I(fi)i∈IVect ((fi)i∈I)

EK
F G E H =F∩G E
F G E
K=F+G={x∈E x =y+z y ∈F, z ∈G}.
K E F G
F G E (f1,· · · , fn)F(g1,· · · , gp)
G(f1,· · · , fn, g1,· · · , gp)K=F+G
F G E F G F ∩G={OE}

F G E F G E E =F+G F G
E=F⊕G.
F G KE F G
x∈E F
G
F⊕G=E⇐⇒ E=F+G F ∩G={0E} ⇐⇒ ∀x∈E, ∃!(xF, xG)∈F×G, x =xF+xG.
EKE E ={0E}
E
EK{0E}E
Edim(E)
EKn>1
n
n