Algèbre linéaire I (Révisions) - Lycée Militaire d`Aix-en

Mathématiques
Chapitre I
Algèbre linéaire I (Révisions)
1 Espaces vectoriels sur un corps K = R ou K = C
1.1 Dénition d'un espace vectoriel
Dénition 1.1
On dit que (E, +, ·) est un espace vectoriel sur K si
1. E est muni d'une loi de composition interne + appelée
telle que :
(a) Il existe un élément appelé
0E + x = x + 0E = x.
addition à savoir une application de E × E → E
élément neutre pour l'addition
0E ∈ E tel que pour tout x ∈ E ,
(b) Pour tous x, y ∈ E , on a x + y = y + x ∈ E .
(c) Pour tous x, y, z ∈ E , (x + y) + z = x + (y + z).
(d) Pour tout x ∈ E , il existe un y ∈ E tel que x + y = y + x = 0E . Un tel y est unique et on le note
y = −x.
On dit que (E, +) est un groupe commutatif.
2. E est muni d'une loi de composition externe · appelée multiplication, à savoir une application de E×K →
E (λ · x ∈ E , ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E ) telle que pour tous x ∈ E , λ, µ ∈ K
(a) Il existe un élément appelé élément neutre pour la multiplication 1K ∈ K tel que 1K · x = x · 1K = x.
(b) λ · (x + y) = λ · x + λ · y .
(c) (λ + µ) · x = λ · x + µ · x.
(d) λ · (µ · x) = (λµ) · x.
On dira plus brièvement que E est un K-espace vectoriel ou K-ev.
Exemples :
I
R2 est un R-ev, Rn est un R-ev,
C2 est un C-ev, Cn est un C-ev,
L'ensemble des fonctions continues sur un segment à valeurs dans K C([a, b], K) est un K-ev,
L'ensemble des polynômes (K[X], +.) est un K-ev
Soit X un ensemble quelconque et E un K-ev, l'ensemble des applications de X dans E est un K-ev, il est noté F(X, E).
....
1.2 Familles libres, liées, génératrices, bases
Dénition 1.2
Soit n ∈ N∗ et x1 , . . . , xn des éléments de E , E K-ev. On appelle combinaison linéaire de la famille
n
X
(x1 , . . . , xn ) tout vecteur x =
αi xi où les αi sont des éléments de K (c.a.d des scalaires).
i=1
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Dénition 1.3
Soit E un K-espace vectoriel.
1. Soit (x1 , · · · , xn ) une famille nie d'éléments de E . On dit que la famille (x1 , · · · , xn ) est
toute famille (α1 , · · · , αn ) ∈ Kn telle que
α1 x1 + · · · + αn xn =
n
X
αk xk = 0E
=⇒
libre, si pour
∀i ∈ [|1, n|], αi = 0.
k=1
2. Soit (xi )i∈I une famille d'éléments de E de cardinal quelconque. La famille (xi )i∈I est
ses sous-familles nies sont libres.
3. On dit que la famille (xi )i∈I est
4.
libre
si
toutes
liée si elle n'est pas libre.
On dit que la famille (xi )i∈I est génératrice de E si pour tout x ∈ E il existe n ∈ N et (α1 , · · · , αn ) ∈ Kn
n
X
tels que x =
αk xk .
k=1
Autrment dit, si tout vecteur de E s'écrit comme une combinaison linéaire de vecteurs de la famille (xi )i∈I .
5.
I
base de E
Remarque : Une combinaison linéaire de vecteurs de E
si elle libre
et génératrice.
ne fait intervenir qu'un nombre
ni de vecteurs !
Exemples :
I
On dit que la famille (xi )i∈I est une
Si x, y ∈ E , la famille (x, y) est liée si, et seulement si, x = 0 ou y = 0 ou il existe α ∈ K tel que y = αx.
(1, X, . . . , X n ) est une base de Kn [X].
(X k )k∈N est une base de K[X].
Toute famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre.
((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) est une base de R3 .
La famille (cos, sin) est libre dans C(R, R).
Proposition 1.4
Soient E un K-ev et B = (e1 , · · · , en ) une base de E . Pour tout x ∈ E , il existe un unique n−uplet
(α1 , · · · , αn ) ∈ Kn appelé les coordonnées de x dans la base B tel que
x = α1 e1 + · · · + αn en =
n
X
αk ek .
k=1
Démonstration :
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1.3 Sous-espaces vectoriels
Dans ce paragraphe, E désigne un K-ev.
Dénition 1.5
On dit que F ⊂ E est
un sous espace vectoriel (sev) de
E si :
1. 0E ∈ F (ou F 6= ∅)
2. ∀(x, y) ∈ F 2 , x + y ∈ F .
3. ∀x ∈ F , ∀λ ∈ K, λ · x ∈ F .
Proposition 1.6
F ⊂ E est un sev de E si et seulement si 0E ∈ F et ∀(x, y) ∈ F 2 , λ ∈ K, x + λ · y ∈ F .
Proposition 1.7
Si F est un sev de E , alors (F, +, .) est un K-ev.
I Cette proposition est très importante car pour montrer en général qu'un espace est un K-ev, on montre que c'est un
sev d'un K-ev connu (par exemple ceux rappelés en début de chapitre).
Dénition 1.8 (Espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs)
Soit (fi )i∈I un famille d'éléments de E . On appelle espace vectoriel engendré par la famille
sous ensemble de E consititué des combinaisons linéaires des éléments fi :
(
def
Vect ((fi )i∈I ) =
x ∈ E, ∃k ∈ N∗ et ∃(α1 , . . . , αk ) ∈ Kk , x =
k
X
(fi )i∈I le
)
αi fi
i=1
Vect ((fi )i∈I ) est un sev de E .
Démonstration : Faire en exercice la démonstration.
I Remarque : La famille (fi )i∈I est une famille génératrice
seulement si la famille est libre.
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de Vect ((fi )i∈I ) par construction. C'est une base si et
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1.4
Sous espaces vectoriels remarquables
Dans ce paragraphe, E désigne un K-ev.
Proposition 1.9
Soit F et G deux sev de E , alors H = F ∩ G est un sous espace vectoriel de E .
Démonstration :
Dénition et Proposition 1.10
Soit F et G deux sev de E .
On note K = F + G = {x ∈ E tels que x = y + z avec y ∈ F, z ∈ G}.
L'espace K est un sous espace vectoriel de E appelé
somme de
F
et G.
Démonstration :
Proposition 1.11
Soit F et G deux sev de E . Si (f1 , · · · , fn ) est une famille génératrice de F et (g1 , · · · , gp ) est une famille
génératrice de G alors la famille (f1 , · · · , fn , g1 , · · · , gp ) est une famille génératrice de K = F + G.
Démonstration :
Dénition 1.12 (Somme directe)
Soit F et G deux sev de E . On dit que F et G sont en
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somme directe si F ∩ G = {OE }.
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Dénition 1.13 (Sous espaces supplémentaires)
Soit F et G deux sev de E . On dit que F et G sont
en somme directe. On note E = F ⊕ G.
supplémentaires dans E
si E = F + G et si F et G sont
Proposition 1.14
Soient F et G deux sous espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E . Les espaces F et G sont supplémentaires
si et seulement si tout vecteur x ∈ E s'ecrit de façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur
de G. Autrement dit :
F ⊕G=E
⇐⇒
E = F + G et F ∩ G = {0E }
⇐⇒
∀x ∈ E, ∃!(xF , xG ) ∈ F × G, x = xF + xG .
Démonstration :
2 Espace vectoriel de dimension nie
Dénition 2.1
Soit E un K-ev, on dit que E est de dimension nie lorsque E = {0E } ou bien lorsqu'il existe
génératrice nie. dans le cas contraire, on dit que E est de dimension innie.
une famille
Théorème 2.2 (Dimension d'un espace vectoriel)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie non réduit à {0E }. Alors E possède au moins une base et
toutes les bases ont même cardinal appelé
dimension de l'espace vectoriel E , notée dim(E).
Proposition 2.3
Soit E est K-ev de dimension n > 1, alors :
le cardinal d'une famille libre est inférieur ou égal à n,
le cardinal d'une famille génératrice est supérieur ou égal à n.
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Théorème 2.4
Soient E un K-ev de dimension n > 1 et (e1 , . . . en ) une famille de n éléments de E . Alors les propositions
suivantes sont équivalentes :
(e1 , . . . en ) est une base de E .
(e1 , . . . en ) est une famille génératrice de E .
(e1 , . . . en ) est une famille libre de E .
Théorème 2.5 (Théorème de la base incomplète)
Soit E un K-ev de dimension n.
Soit p un entier positif, (f1 , · · · , fp ) une famille libre d'éléments de E . Soit (g1 , · · · , gq ) une famille génératrice
de E . Alors il existe une base (e1 , · · · , en ) de E telle que ei = fi pour tout i 6 p et ei ∈ {g1 , · · · , gq } pour tout
i > p.
Démonstration :
On raisonne par récurrence sur p. Si n = p il n'y a rien a faire. Si p < n, on regarde la famille
(f1 , · · · , fp , gi ) qui est libre pour un certain i sinon la famille (fi ) serait génératrice. la famille (g1 , · · · , gq ) est toujours
génératrice et on continue...
Proposition 2.6
Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie et F un sous espace vectoriel de E . Alors il existe au moins
un sous espace vectoriel G de E tel que F et G soient supplémentaires dans E .
Démonstration :
I Exemple Soit F = {(x, y, z) ∈ R3 , x + y + z = 0}. Montrer que F est un sev de R3 et détermminer un supplémentaire
de F dans R3 .
Proposition 2.7
Soient F et G deux sous espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E . On a
dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G).
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Théorème 2.8 (Caractérisation de supplémentaires en dimension nie)
Soient F et G deux sous espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E de dimension nie. Les propositions
suivantes sont équivalentes :
1. E = F ⊕ G.
2. E = F + G et dim(E) = dim(F ) + dim(G).
3. F ∩ G = {0E } et dim(E) = dim(F ) + dim(G).
I
Exemple
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3 Applications linéaires sur un K-espace vectoriel
3.1 Dénitions et premières propriétés
Dénition 3.1
Soit E et F deux K-espaces vectoriels. On dit qu'une application u : E → F est
linéaire si
1. ∀(x, y) ∈ E 2 , u(x + y) = u(x) + u(y).
2. ∀x ∈ E et ∀λ ∈ K, u(λx) = λu(x).
On note L(E, F ) ou L(E) si F = E l'ensemble des applications linéaires de E dans F . Si E = F , on parle d'
endomorphisme de E .
Proposition 3.2
Une application u : E → F est
linéaire si et seulement si
∀(x, y) ∈ E 2 , λ ∈ K,
u(x + λy) = u(x) + λu(y).
I Remarques :
Si u est une application linéaire u(0E ) = 0F .
E → E
L'application IdE :
est une application linéaire appelée
x 7→ x
l'identité.
Proposition 3.3
Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels.
(L(E, F ), +, .) est un K-espace vectoriel.
La composée de deux applications linéaires est une application linéaire : si f ∈ (F, G), g ∈ L(E, F ) alors
f ◦ g ∈ L(E, G) avec
∀x ∈ E, f ◦ g(x) = f (g(x)).
I
Remarque :
Si E = F = G, et si f ∈ L(E), on peut dénir pour n ∈ N les applications linéaires f (n) dénies par
f (0) = IdE , f (n) = f ◦ f (n−1) = f (n−1) ◦ f = f ◦ · · · ◦ f .
| {z }
n fois
On peut alors, pour tout polynôme P ∈ K[X], P (X) =
n
X
ai X i , dénir l'endomorphisme
i=0
P (f ) =
n
X
ai f (i) ∈ L(E).
i=0
On parle de polynôme d'endomorphisme.
Attention, en général, si f
∈ L(E) et g ∈ L(E),
f ◦ g 6= g ◦ f.
Prendre par exemple E = R2 et f (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x2 ) et g(x1 , x2 ) = (0, x2 ).
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Dénition 3.4
Soit E et F deux K-espaces vectoriels. Soit u une application linéaire de E sur F . On appelle
Noyau de u l'ensemble noté Ker u deni par
Ker u = {x ∈ E tel que u(x) = 0E }.
Image de
u l'ensemble noté Im u deni par
Im u = {y ∈ F tel qu'il existe x ∈ E tel que y = u(x)}.
Proposition 3.5
Soit E et F deux K-espaces vectoriels. Soit u une application linéaire de E sur F .
L'espace Ker u est un sous espace vectoriel de E et l'espace Im u est sous espace vectoriel de F .
Démonstration :
I
Exemple
Montre que H = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn / x1 + x2 + · · · + xn = 0} est un sev de Rn .
I
Exemple
Soit E un K espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que f 2 + 2f + IdE = 0. Montrer que Ker (f + IdE ) ⊕ Ker (f + 2IdE ) = E .
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Dénition 3.6
Soit E et F deux K-espaces vectoriels. Soit u une application linéaire de E sur F . On appelle
dimension de l'espace vectoriel Im (u) et on le note rg(u).
I
rang de
u la
Exemple :
Soit E un K espace vectoriel de dimension nie. Soit f, g ∈ L(E), montrer que rg(f + g) 6 rg(f ) + rg(g).
Proposition 3.7
Soit E et F deux K-espaces vectoriels. Soit u une application linéaire de E sur F .
L'application u est injective si et seulement si Ker u = {0E }.
L'application u est surjective si et seulement si Im u = F .
L'application u est bijective si et seulement si Ker u = {0E } et Im u = F . On parle alors d'
phisme, et d' automorphisme si F = E .
isomor-
Démonstration :
Proposition 3.8
Soit E et F deux K-espaces vectoriels. Soit u ∈ L(E, F ).
1. L'image par u d'une famille génératrice de E est une famille génératrice de Im u :
Si E = Vect (e1 , . . . , ep ) alors Im (u) = Vect (u(e1 ), . . . , u(ep )).
2. L'image par u d'une famille liée est une famille liée de F .
3. Si
u est injective, l'image par u d'une famille libre de E
est une famille libre de F .
Démonstration :
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3.2 Applications linéaires en dimension nie
Proposition 3.9
Soit E et F deux K-espaces vectoriels et u une application linéaire de E dans F . On suppose que E est un
espace vectoriel de dimension n et on considère B = (e1 , · · · , en ) une base de E , alors pour tout x ∈ E
u(x) =
n
X
xi u(ei ), avec x1 , · · · , xn les coordonnées de xdans la base B ..
i=1
Par conséquent, l'application linéaire u est entièrement déterminée par la donnée des u(ei ).
Démonstration : On raisonne par récurrence sur la dimension n de E .
Proposition 3.10
Soit E et F deux K-ev avec E de dimension nie et (e1 , . . . , en ) une base de E . Soit f, g ∈ L(E, F )
Si ∀i ∈ [|1, n|], f (ei ) = g(ei ) alors f = g : deux applications linéaires qui sont égales sur une base sont égales !
I
Exemple
Déterminer l'unique application linéaire f de R3 dans R3 telle que
f (e1 )
=
2e1 + e3
f (e2 )
= e1 + e2
f (e3 )
= e3
Corollaire 3.11
Soit E et F deux K-espace vectoriel de dimension nie. Alors L(E, F ) est un K espace vectoriel de dimension
nie et
dim L(E, F ) = dim E × dim F.
Proposition 3.12
Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimension nie. Soit B une base de E .
Une application linéaire u ∈ L(E, F ) est bijective ssi l'image de cette base B de E est une base de F .
Démonstration :
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Corollaire 3.13
Soient E et F un K-espace vectoriel de dimension nie.
Si u est un isomorphisme entre E et F alors dim E = dim F .
Réciproquement si dim E = dim F , alors il existe un isomorphisme entre E et F .
Proposition 3.14
Soit E , F deux K-ev de dimension nies. Soit φ ∈ L(E)
bijective, u ∈ L(E, F ) et ψ ∈ L(F ) bijective alors
rg(φ ◦ u ◦ ψ) = rg(u).
I Le rang est invariant par isomorphisme.
3.2.1 Théorème du rang
Proposition 3.15
Soient E un K-ev de dimension nie et F un K-ev quelconque. Soit u ∈ L(E, F ).
Soit G un supplémentaire de Ker u dans E , alors la restriction de u à G réalise un isomorphisme de G dans
Im u.
Démonstration :
Théorème 3.16 (Théorème du rang)
Soient E un K-ev de dimension nie et F un K-ev quelconque. Soit u ∈ L(E, F ), on a
dim(E) = dim(Ker u) + dim(Im u).
Démonstration :
I
Conséquence :
Si dim(E) = dim(F ), u bijectif ⇔ u injectif ⇔ u surjectif
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Exemples :
I
1. Soit E un K espace vectoriel de dimension nie n, f , g ∈ L(E) tels que f ◦ g = 0 et f + g ∈ GL(E). Montrer que
rg(f + g) = rg(f + g) et en déduire que Im f = Ker g .
2. Soit E un K-ev de dimension n et f, g ∈ L(E). Montrer que rg(f ◦ g) 6 min(rg f, rg g).
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3.3 Applications linéaires remarquables
3.3.1 Homothéties
Dénition 3.17
Pour λ ∈ K, on appelle
fλ (x) = λx.
homothétie
de rapport λ l'endomorphisme fλ ∈ L(E) qui à tout x ∈ E associe
3.3.2 Projecteur
Dénition 3.18
Soit E un K-espace vectoriel. On dit que p ∈ L(E) est un projecteur si p ◦ p = p.
Proposition 3.19
Soit E un K-espace vectoriel. Si p ∈ L(E) est un projecteur alors
E = Im p ⊕ Ker p : ∀x ∈ E, x = p(x) + x − p(x) avec p(x) ∈ Im p et x − p(x) ∈ Ker p.
x ∈ Ker p ssi p(x) = 0 et y ∈ Im p ssi p(y) = y .
Autrement dit, un projecteur n'est rien d'autre qu'une projection sur Im p parallèlement à Ker p :
∀x ∈ E, x = xIm + xKer , avec xIm ∈ Im p, xKer ∈ Ker p et p(x) = xIm .
Démonstration :
I
Exemple :
Déterminer la projection p de R3 sur D = Vect (ε1 ) avec ε1 = (1, −1, 0), parallèlement au plan P = Vect (ε2 , ε3 ) avec
ε2 = (0, 1, 1) ε3 = (1, 0, −1).
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3.3.3 Symétrie
Dénition 3.20
Soit E un K-espace vectoriel. On dit que s ∈ L(E) est une symétrie si s ◦ s = IdE .
Proposition 3.21
Soit E un K-espace vectoriel. Si s ∈ L(E) est une symétrie alors
E = Ker (s − IdE ) ⊕ Ker (s + IdE ) :
s(x) + x x − s(x)
s(x) + x
−s(x) + x
+
avec
∈ Ker (s − IdE ) et
∈ Ker (s + IdE ).
2
2
2
2
On peut remarquer que s = 2p − IdE avec p ∈ L(E) un projecteur. On dit que p est le projecteur associé à
la symétrie s et réciproquement. On a
∀x ∈ E, x =
Ker (p) = Ker (s + IdE )
I
et
Im (p) = Ker (s − IdE ).
Exemple :
Déterminer la symétrie s de R3 par rapport à D = Vect (ε1 ) avec ε1 = (1, −1, 0) et parallèlement au plan P = Vect (ε2 , ε3 )
avec ε2 = (0, 1, 1) ε3 = (1, 0, −1).
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4 Matrices
Dans tout ce qui suit, K désigne le corps R ou le corps C.
4.1 Dénitions
Dénition 4.1
Pour tous entiers positifs n et p, on appelle matrice de taille n × p
lignes et p colonnes :


a11 · · · a1p
 ..
..  .
 .
. 
an1 · · · anp
Les aij s'appellent les
la colonne.
à coecients dans
K un tableau à n
coecients de la matrice. Le premier indice est celui de la ligne et le second celui de
On note Mn,p (K) l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes et Mn (K) = Mn,n (K), on parle alors de matrice
carrées.
Quelques matrices particulières :
I


0
 ..
= .
0
···

1
0
··· 0
.
..
. ..
..
. 0
0 1
0

 0 1

.
..  ∈ Mn,p (K), la matrice identité In = 
la matrice nulle On,p
 . .
..
 ..
··· 0
0 ···


a11 0 · · ·
0

.. 
 0 a22 . . .
. 
 ∈ Mn (K).
les matrices diagonales A = 

 .
..
..
 ..
.
.
0 
0
· · · 0 ann


? ? ··· ?

. 
 0 ? . . . .. 
 ∈ Mn (K)

les matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) A =  .

 .. . . . . . . ? 
0 ··· 0 ?


? 0 ··· 0

. 
 ? ? . . . .. 
 ∈ Mn (K)).
(resp. A = 
 . .

.. ... 0 
 ..
? ··· ? ?
les matrices lignes ou vecteurs lignes sont les matrices de M1,n (K).
les matrices colonnes ou vecteurs colonnes sont les matrices de Mn,1 (K).



 ∈ Mn (K).


Dénition 4.2
On appelle ième ligne de la matrice A = (aij ) ∈ Mn,p (K) la matrice ligne
On appelle j ème
· · · aip .


a1j
 .. 
colonne de la matrice A = (aij ) ∈ Mn,p (K) la matrice colonne  . .
ai1
anj
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4.2 Opérations élémentaires sur les matrices
Dénition 4.3
La somme de deux matrices de même taille A = (aij ) ∈ Mn,p (K) et B = (bij ) ∈ Mn,p (K), est la matrice
I
C = A + B = B + A = (cij ) ∈ Mn,p (K) avec cij = aij + bij .
Le produit d'une matrice A = (aij ) ∈ Mn,p (K) par un scalaire λ ∈ K est la matrice B = λA = Aλ =
(bij ) ∈ Mn,p (K) avec bij = λaij .
Attention : On ne dénit pas la somme de deux matrices de tailles diérentes.
Dénition 4.4
Le produit de deux matrices
Mn,q (K) avec
A = (aij ) ∈ Mn,p (K) et B = (bij ) ∈ Mp,q (K) est la matrice C = (cij ) ∈
cij = ai1 b1j + · · · + aip bpj =
p
X
aik bkj
k=1
I
Attention :
Si A ∈ Mn,p (K) et B ∈ Mq,l (K) on ne peut eectuer le produit AB que si p = q et le produit BA que si l = n.
En général, même si p = n = l = q , AB 6= BA.
Corollaire 4.5

x1
 
Si A = (aij ) ∈ Mn,p (K) et X =  ...  ∈ Mp,1 (K) est un vecteur colonne, le produit AX est un vecteur

xp


y1
 .. 
colonne Y =  .  ∈ Mn,1 (K) avec
yn
yi =
p
X
aik xk , i = 1, · · · , n.
k=1

Si X = x1
···

y1
 
xn ∈ M1,n (K) est un vecteur ligne et Y =  ...  ∈ Mn,1 (K) est un vecteur colonne alors
yn
le produit XY ∈ M1,1 (K) est un scalaire donné par
x1 y1 + · · · + xn yn =
n
X
xi yi .
i=1


x1
 
Ce n'est rien d'autre que le produit scalaire usuel des deux vecteurs X 0 et Y où X 0 =  ...  est ce que l'on
xn
appelle la transposé de X .
PSI
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Remarque
I
Soit A = (aij ) ∈ Mn,p (K), on note Ej ∈ Mp,1 (K), Fi ∈ M1,n (K) les matrices
 
0
 .. 
.
 
0
 
ème

ligne, Fi = 0 · · · 0 1 0 · · · 0 .
Ej = 
1 − j
0
|
 
ième colonne
.
 .. 
0
Alors la matrice AEj est la j ème colonne de la matrice A et la matrice Fi A est la ième ligne de la matrice A.
Règles de calcul
I
On se donne A, B, C ∈ Mn,p (K), D, E ∈ Mp,q (K), F ∈ Mq,r (K) et λ, µ ∈ K.
1. A + (B + C) = (A + B) + C .
2. A + B = B + A, A + 0 = A, A − A = 0.
3. λ(A + B) = λA + λB .
4. (λµ)A = λ(µA).
5. In A = A, AIp = A.
6. λ(AC) = (λA)C = A(λC).
7. (A + B)E = AE + BE et A(D + E) = AD + AE .
8. A(EF ) = (AE)F .
Corollaire 4.6
L'espace (Mn,p (K), +, .) est K espace vectoriel de dimension nie, égale à n × p.
L'espace (Mn (K), +, ×) est un anneau non commutatif, non intègre.
I Exhiber une base de Mnp (K) ou de Mn (K).
I Exemples : Le produit matriciel n'est pas toujours possible, mais lorsqu'il est possible dans les deux sens, il n'est pas
toujours égal :
1 2
1 0
Soit A =
et B =
. Comparer AB et BA
3 4
−1 1
Soit A =
PSI
1
−3
−1
3
et B =
1
1
1
1
. Calculer AB .
18/30
F. Bachmann
Matrices nilpotentes :
I
Dénition 4.7
On dit qu'une matrice A ∈ Mn (K) est nilpotente d'ordre q si Aq−1 6= 0 et Aq = 0.
La matrice A ∈ Mn (K) dénie par

0

0


A =  ...

.
 ..
0
1
..
.
..
.
···

··· 0
.
..
. .. 


..
..
.
. 0


..
..
.
. 1
··· 0 0
0
..
.
est nilpotente d'ordre n.
Dénition 4.8
Soit A une matrice de Mn (K) et k ∈ N
on dénit les puissances de la matrice A de la façon suivante :
A0 = In , Ak = A · Ak−1 pour tout entier k > 1.
Soit P un polynôme à coecients dans K, P (X) =
p
X
αk X k , on dénit la matrice
k=0
P (A) =
p
X
αk Ak .
k=0
On parle de polynômes de matrices.
4.3 Matrice inversible et matrice transposée
Dénition 4.9
On dit qu'une matrice A ∈ Mn (K) est inversible ssi il existe une matrice B ∈ Mn (K) telle que AB = BA = In .
Si B existe, elle est unique et on note B = A−1 et A−1 est appelé l'inverse de A.
I
Remarque : Une des deux relations AB = In
ou BA = In sut pour montrer que A est inversible.
On notera GLn (K) l'ensemble des matrices inversibles de taille n × n.
I
Attention : On ne parle de matrices inversibles que pour des matrices carrées ! ! !
On étudiera au chapitre 4 la notion de déterminant qui nous donnera un critère ecace pour tester si une matrice est
inversible ou non.
Dénition 4.10
Soit A ∈ Mnp (K). On dénit
1.
2.
PSI
le noyau Ker (A) de A comme l'ensemble des X ∈ Mp,1 (K) tel que AX = 0.
l'image Im (A) de A comme l'ensemble des Y ∈ Mn,1 (K) tels que il existe
AX = Y .
19/30
X ∈ Mp,1 (K) tel que
F. Bachmann
Proposition 4.11
Soient A, B ∈ Mn (K) deux matrices inversibles. Alors la matrice AB est inversible et (AB)−1 = B −1 A−1 .
(GLn (K), ×) est un groupe.
Démonstration :
Dénition 4.12
On appelle
par
transposée d'une matrice A ∈ Mn,p (K), la matrice de Mp,n (K) que l'on note t A = (αij ) dénie
αij = aji .
Proposition 4.13
1. Soient A, B ∈ Mn,p (K), alors t (A + B) ∈ Mp,n (K) et t (A + B) = t A + t B.
2. Soient A ∈ Mn,p (K), B ∈ Mp,n (K). Alors t (AB) ∈ Mn (K) et t (AB) = t B t A.
3. Si A ∈ Mn (K) est inversible, alors t (A−1 ) = (t A)−1 .
Démonstration :
Remarque
I
Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) est triangulaire supérieure (resp. inférieure).
L'inverse d'une matrice inversible triangulaire supérieure (resp. inférieure) est triangulaire supérieure (resp. inférieure).
Dénition 4.14
Soit A, B ∈ Mnp (K). On dit que A et B sont équivalentes si et seulement si il existe Q ∈ GLp (K) et
P ∈ GLn (K) tel que B = QAP −1 .
Soit M, N ∈ Mn (K). On dit que M et N sont semblables si et seulement si il existe P ∈ GLn (K) tel que
M = P N P −1 .
I
Remarque : Nous étudierons des propriétés de ces relations plus tard dans ce chapitre etle chapitre 5.
PSI
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F. Bachmann
4.4 Matrice d'une famille de vecteurs
Dénition 4.15
Soient E un K-ev de dimension n > 1. On se donne B = (e1 , · · · , en ) une base de E et F = (x1 , · · · , xp )
une famille de p > 1 vecteurs de E . On appelle matrice de la famille F dans la base B la matrice notée
Mat(F) ∈ Mnp (K) dont les coecients de la j ème colonne sont les coordonnées de xj dans la base B :
B
Mat(F) = (aij ), avec xj = a1j e1 + · · · + anj en .
B
I
Exemples
Proposition 4.16
Soit E un K-ev de dimension n > 1 muni d'une base B = (e1 , . . . , en ).
L'application ϕ : E p → Mnp (K), (x1 , . . . , xp ) 7→ Mat(x1 , . . . , xp ) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
B
4.5 Matrice d'une application linéaire
Dénition 4.17
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension p et n. On se donne B = (e1 , · · · , ep ) une base de E et
B 0 = (ε1 , · · · , εn ) une base de F . Soit f ∈ L(E, F ). On appelle matrice de f dans les bases B, B 0 la matrice
notée Mat0 (f ) ∈ Mnp (K) dont les coecients de la j ème colonne sont les coordonnées de f (ej ) dans la base B0 :
B,B
Mat0 (f ) = (aij ), avec f (ej ) = a1j ε1 + · · · + anj εn .
B,B
Si E = F et B = B0 on notera Mat(f ).
B
I
Exemples :
R3
L'application
(x, y, z)
espaces.
L'application
PSI
−→
7→
R2 [X] −→
P
7→
R2
est linéaire. Déterminer sa matrice dans les bases canoniques des
(2x + 3y + 5z, x + y)
R2
est linéaire. Déterminer sa matrice dans les bases canoniques des espaces.
(P (0), P 0 (0))
21/30
F. Bachmann
Proposition 4.18
Soient E un K-ev de dimension p muni d'une base B et F un K-ev de dimension n muni d'une base B0 .
L'application Ψ : L(E, F ) → Mnp (K), f 7→ Mat0 (f ) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
B,B
Proposition 4.19
Soient E , F , G trois K-espaces vectoriels de dimension nie On se donne B = (e1 , · · · , ep ) une base de
E , B 0 = (ε1 , · · · , εn ) une base de F et B 00 = (η1 , · · · , ηq ) une base de G. Soit f ∈ L(E, F ), g ∈ L(E, F ),
h ∈ L(F, G) et λ ∈ K. On a
1. Mat0 (f + g) = Mat0 (f ) + Mat0 (g).
B,B
B,B
B,B
2. Mat0 (λf ) = λ Mat0 (f ).
B,B
B,B
3. Mat00 (h ◦ f ) = Mat
(h) · Mat0 (f ).
0
00
B,B
B ,B
B,B
Corollaire 4.20
Soit E un K-espace vectoriel, B une base de E et f ∈ L(E) inversible, alors
−1
Mat(f −1 ) = Mat(f )
.
B
B
Réciproquement, si Mat(f ) est inversible alors f est inversible.
B
f est inversible ssi Ker (f ) = {0E } ssi Im (f ) = E ssi rg(f ) = dim E ssi Mat(f ) est inversible.
B
Proposition 4.21
Soient E un K-ev de dimension p muni d'une base B et F un K-ev de dimension n muni d'une base B0 et
f ∈ L(E, F ).
Pour tout x de E , on note X = Mat(x) qui est un vecteur colonne formé des corrdonnées de x dans la abse
B
B , A = Mat0 (f ) et Y = Mat
(f (x), vecteur colonne formé des coordoonées de f (x) dans la base B 0 .
0
B,B
B
Alors Y = AX .
PSI
22/30
F. Bachmann
4.6 Changement de bases
E désigne un K-ev de dimension n > 1.
Dénition 4.22
Soient B et B0 deux bases de E . On appelle matrice de passage de la base B à la base B0 , la matrice notée PB,B0
dénie par Mat0 (IdE ).
B,B
I Les colonnes de PB,B0 sont formées des coordonnées des vecteurs de B 0 dans la base B .
Proposition 4.23
−1
Soient B et B0 deux bases de E , alors PB,B0 est inversible et on a PB,B
0 = PB 0 ,B .
Théorème 4.24
Soient B et B0 deux bases de E et x ∈ E , alors si X et X 0 désignent les coordonnées de x dans respectivement
la base B et la base B0 et si PB,B0 désigne la matrice de passage de la base B à la base B0 , alors
X = PB,B0 X 0
Théorème 4.25
Soient E , F deux K-espaces vectoriels, B et B0 deux bases de E et C et C 0 deux bases de F .
Soit f ∈ L(E, F ), alors si PB,B0 désigne la matrice de passage de la base B à la base B0 et QC,C 0 désigne la
matrice de passage de la base C à la base C 0 on a
−1
−1
.
(f )PB,B
Mat(f ) = QC,C 0 Mat
0 = Q Mat(f )P
0
0
0
0
B,C
I
B ,C
B ,C
Remarque : Ainsi les matrices Mat(f ) et Mat(f ) sont équivalentes.
B,C
B0 ,C 0
4.7 Application canoniquement associée à une matrice
Dénition 4.26
Soient n, p ∈ N∗ ,et M ∈ Mnp (K). On appelle application linéaire canoniquement associée à M , l'application
linéaire f de Rp dans Rn telle que la matrice de f relativement aux bases canoniques de Rp et Rn soit M .
On appelle rang de M , le rang de f .
I Le rang de M est égal au rang de ces vecteurs colonnes !
I
Exemple
Déterminer l'application linéaire canoniquement associée à M =
PSI
23/30
1
4
2
5
3
6
et son rang.
F. Bachmann
I
Exemple

1
1
1

2
2 .
2

1
1
1

1
0 .
3
1
Déterminer le rang de la matrice M =  1
1
I
Exemple
1
Déterminer le rang de la matrice M =  1
1
Proposition 4.27
Soit M ∈ Mnp (K), alors rg(M ) = rg(t M ).
I Le rang d'une matrice est égal au rang des vecterus colonnes ou des vecteurs lignes
Théorème 4.28
Soit A ∈ Mn,p (K) de rang r. Alors A est équivalente
I
Jr,n,p = r
0
à la matrice suivante
0
∈ Mn,p (K)
0
Proposition 4.29
Soit M ∈ Mnp (K), P ∈ GLn (K) et Q ∈ GLp (K) alors rg(P M Q) = rg(M ).
Corollaire 4.30
Deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang.
I Deux matrices semblables ont même rang mais la réciproque est fausse !
Théorème 4.31
Soit E un K-espace vectoriel, B et B0 deux bases de E .
Soit f ∈ L(E), alors si PB,B0 désigne la matrice de passage de la base B à la base B0 on a
−1
−1
Mat(f ) = PB,B0 Mat
(f )PB,B
.
0 = P Mat(f )P
0
00
B
PSI
B
24/30
B
F. Bachmann
Remarque :
I
Ainsi les matrices Mat(f ) et Mat
(f ) sont semblables. Autrment dit, deux matrices sont semblables si elles représentent
0
B
B
le même endomorphisme dans deux bases diérentes.
Exemple :
I

2
Dans R3 rapporté à sa base canonique, on considère l'endomorphisme f de matrice A =  3
1

0
4
−4 12 .
−2 5
1. Montrer que Ker f , Ker (f − IdE ) et Ker (f − 2IdE ) sont des droites vectorielles et en déterminer une base.
2. Déterminer une nouvelle base dans laquelle la matrice de f est diagonale.
I
Exemple :
Exemple d'une matrice de rang 1.
PSI
25/30
F. Bachmann
4.8 Les matrices élémentaires de Mn (K)
Dénition 4.32
Soit i ∈ {1, · · · , n}, on dénit pour a ∈ K, a 6= 0 la matrice Di (a) ∈ Mn (K) qui est diagonale et dont tous
les coecients diagonaux sont égaux à 1 excepté le ième qui est égal à a :


1 0 ··· ··· ··· ··· 0
.. 

.
..
0 . .
.
.


 .. . .
.
..
.. 
.

.
.
1


 ..
.
.
.
.. a
..
.. 
Di (a) =  .
 − ième ligne


.
.. 
..
..
 ..
.
.
1
.


.

.. ..
 ..
.
. 0
0 ··· ··· ··· ··· 0 1
Soient i, j deux entiers distincts de {1, · · · , n} (i 6= j ), on dénit la matrice Eij comme la matrice dont tous
les coecients sont nuls sauf le coecient i, j qui est egal à 1.
Soient i, j deux entiers distincts de {1, · · · , n} (i 6= j ), pour tout λ ∈ K la matrice Tij (λ) = Idn + λEij :

1

0

 ..
.

Tij (λ) = 
0
.
 ..

.
 ..
0
0
..
.
..
.
λ
···
···
..
.
..
.
0
···
···
..
1
..
···
···
0
..
.
..
.
···
0
.
.
···
..
..
.
.

0
.. 
.

.. 
.

ème
0
ligne
−i
.. 

.

0
1
|
j ème colonne
Les matrices Di (a) pour a 6= 0 et Tij (λ) sont appelées
matrices élémentaires ou dilatation et transvection.
Proposition 4.33
On a
1. t (Di (a)) = Di (a), t (Tij (λ)) = Tji (λ).
2. Si a 6= 0, Di (a) est inversible et (Di (a))−1 = Di
Tij (−λ).
1
a
, ∀λ ∈ K Tij (λ) est inversible et (Tij (λ))−1 =
Corollaire 4.34
Si P ∈ Mn (K) est le produit de matrices élémentaires, alors P est inversible et son inverse est encore un
produit de matrices élémentaires.
PSI
26/30
F. Bachmann
Théorème 4.35 (Opérations élémentaires sur les lignes ou sur les colonnes d'une matrice)
Soit A ∈ Mn,p (K).
1. La matrice Di (a)A est la matrice obtenue à partir de A en multipliant la ième ligne de A par a.
2. La matrice Tij (λ)A est la matrice obtenue à partir de A en ajoutant à la ième ligne de A λ fois la j ème
ligne.
3. La matrice ADi (a) est la matrice obtenue à partir de A en multipliant la ième colonne de A par a.
4. La matrice ATij (λ) est la matrice obtenue à partir de A en ajoutant à la ième colonne de A λ fois la j ème
colonne.
Proposition 4.36
Si une matrice s'obtient à partir d'une autre par des opérations élémentaires sur les lignes ou sur les colonnes,
les deux matrices sont équivalentes.
Le rang d'une matrice est invariant par des opérations élémentaires sur ses lignes ou sur ses colonnes.
I
Méthode du pivot de Gauss
Déterminer le rang de la matrice suivante :
PSI

1
A = 3
2
27/30
2
2
0
3
4
1

1
5
1
F. Bachmann
4.9 Résolution des systèmes linéaires
Proposition 4.37
Soit A ∈ Mnp (K), P ∈ GLn (R) et b ∈ Mn,1 (K). Alors X ∈ Kp est solution du système linéaire AX = b si et
seulement si X ∈ Kp est solution du système linéaire P AX = P b.
Les systèmes linéaires que l'on sait résoudre à la main sont les systèmes associés à une matrice A triangulaire. La
proposition précédente et l'algorithme du pivot de Gauss assurent qu'on peut toujours se ramener à la résolution d'un
systéme triangulaire.
Dénition 4.38
On appelle système de Cramer, tout système linéaire de la forme AX = B avec A ∈ GLn (K), B ∈ Mn1 (K)
sont données et X ∈ Mn1 (K) est l'inconnue.
Proposition 4.39
Tout système de Cramer admet une unique solution, donnée par X = A−1 B .
I Résoudre un système de Cramer, c'est déterminé l'inverse de la matrice A.
I
Déterminer l'inverse d'une matrice

1
Déterminer l'inverse de A = 1
1
PSI
2
3
2
A ∈ GLn (K)

3
4.
5
28/30
F. Bachmann

1
 2

Déterminer l'inverse de A = 
1
0
PSI
1
0
1
0
1
1
0
1

2
1 
.
0 
1
29/30
F. Bachmann
4.10 Matrices par blocs
Dénition 4.40
Soit A11 , A12 , . . . , App ∈ Mn (K). On dénit la matrice M ∈ Mn×p (K) par blocs comme suit :


A11 . . . A1p

.. 
M =  ...
. 
Ap1
I
...
App
Remarques :
L'addition de deux matrices par bloc peut se faire par bloc.
La multiplication de deux matrices par bloc peut se faire par bloc (compatible en taille)
La transposée est obtenue en transposant les blocs : si on reprend les notations de la dénition précédente, on a
t

A11 . . . t Ap1

.. 
t
M =  ...
. 
t
A1p
...
t
App
On dit que M est diagonale par bloc si Aij = 0 pour tout (i, j) ∈ {1, . . . , p} avec i 6= j .
Une matrice diagoanle par bloc est inversible si et seulement si chacun des blocs diagonaux est inversible.
I
Exemple :
Montrer que la matrice suivante est inversible et déterminer

In
M =0
0
son inverse :

A B
In C 
0 In
avec A, B, C ∈ Mn (R).
PSI
30/30
F. Bachmann