Texte du contrôle continu 2

ISFATES - 1e année - 2005-2006
Université de Metz
Département de Mathématiques
CONTROLE CONTINU no 2 : Calcul matriciel.
Exercice I
Les quantités de vitamines A, B, C et D dans trois aliments S1 , S2 and S3 sont données dans la
matrice Q ci-dessous (les valeurs sont en unité de vitamine par gramme d’aliment). Pendant une diète,
la consommation journalière en grammes de S1 , S2 et S3 de deux personnes P1 et P2 est donnée par la
matrice R suivante :
 S1 S2 S 3 
0, 5 0.3 0, 1
A


Q = 0, 5 0 0, 1 B
 0 0, 2 0, 2 C
0 0, 1 0, 5
D
 P1
200
R= 
100
100
P2 
100
S1
150 S2
300
S3
Calculer, si possible, les produits matriciels RQ et QR et les interpréter dans le contexte donné.
Exercice II
Dans un test clinique d’un nouveau médicament contre l’herpès, les patients examinés ont été divisés
en trois groupes : patients avec le syndrome débutant (D), patients avec syndrome avancé (A) et patients
rétablis (R).
On a pu établir le modèle suivant : après une semaine
– un patient dans l’état (D) a une probabilité de 30% de rester dans l’état (D), de 20% de passer à
l’état (A) et de 50% de passer à l’état (R).
– Un patient dans l’état (A) a une probabilité de 80% de rester dans l’état (A), de 20% de passer à
l’état (R) et ne peut pas passer à l’état (D).
– Un patient dans l’état (R) ne peut que le rester.
Au début le groupe comprend 20% de patients avec un syndrome débutant et 80% de patients avec
un syndrome avancé.
1. Tracer le diagramme des probabilités de transition.
2. Donner la matrice des probabilités de transition.
3. Calculer la composition du groupe de patients après 1 semaine et après 2 semaines.