DS42016-2017

DS4 de MP2
18.10.16
Devoir surveill´e
Dur´ee : 4 heures
Probl`eme I – Ordre d’un ´el´ement et ordre d’un groupe ab´elien
Dans tout ce probl`eme (sauf `a la derni`ere question), Gest un groupe ab´elien d’ordre N.On
note sa loi multiplicativement et 1Gson ´el´ement neutre. Pour tout g∈G, on note o(g) l’ordre de g:
o(g) = min{k∈N∗, gk= 1G}
On sait aussi que
{k∈Z, gk= 1G}= o(g)Z
Partie I – G´en´eralit´es sur les ordres
I.1 Soit x∈G, d’ordre l.
aDonner l’ordre de xl−1.
bSi m∈N∗divise l, donner l’ordre de xm.
I.2
aRappeler l’´enonc´e du th´eor`eme de Lagrange pour les sous-groupes cycliques.
bMontrer l’´equivalence des assertions suivantes :
1. Gest cyclique.
2. Pour tout m∈N∗divisant N,Gadmet (au moins) un ´el´ement d’ordre m.
I.3 On consid`ere deux ´el´ements aet bde G, d’ordres respectifs met n.
aOn suppose met npremiers entre eux. Montrer que ab est d’ordre mn.
bOn ne suppose plus met npremiers entre eux. V´erifier qu’il existe un ´el´ement de Gd’ordre m∨n.
Indication : on pourra remarquer, en le justifiant soigneusement, que ce ppcm s’´ecrit m0n0, avec m0divisant
m,n0divisant n, et m0et n0premiers entre eux.
Partie II – Exposant d’un groupe ab´elien fini
II.1 On consid`ere l’ensemble
Ω = {k∈N∗,∀g∈G, gk= 1G}
aMontrer que Ω admet un plus petit ´el´ement. Ce plus petit ´el´ement de Ω s’appelle exposant de G, et on
le notera r.
bV´erifier que
r= ppcm(o(g), g ∈G)
cMontrer que Gadmet un ´el´ement d’ordre r.
Indication : on pourra consid´erer un ´el´ement de Gd’ordre maximal.
dEn d´eduire que m∈N∗est l’ordre d’un ´el´ement de Gsi et seulement si mdivise r.
II.2 Caract´eriser le fait que r=N, et donner un exemple o`u N= 4 et r < N .
II.3 Montrer que si on enl`eve l’hypoth`ese de commutativit´e de G, alors l’exposant de Gn’est plus n´ecessai-
rement l’ordre d’un ´el´ement de G.

Probl`eme II – Une version faible du th´eor`eme des nombres
premiers
On notera Pl’ensemble des nombres premiers. On sait que cet ensemble n’est pas vide, et on indexe la suite
ordonn´ee des nombres premiers : p1= 2, p2= 3, p3= 5, . . .
Dans tout le probl`eme, la lettre pest r´eserv´ee aux nombres premiers. ´ Etant donn´e un r´eel x, sa partie enti`ere
[x] est l’entier nqui v´erifie la double in´egalit´e suivante : [x] = n6x<n+ 1.
Partie III – L’ensemble des nombres premiers est infini
Le but de cette partie est de d´emontrer que Pest infini et d’´etudier la nature de la s´erie de terme g´en´eral
1
pn
III.1 D´emontrer que l’ensemble Pdes nombres premiers est infini.
III.2 On se donne un entier nsup´erieur ou ´egal `a 2.
aMontrer que la s´erie Pk
1
nkconverge et donner la valeur de sa somme (on rappelle que nest un entier
fix´e, sup´erieur ou ´egal `a 2, l’indice de sommation est k∈N).
Soit Nle rang du plus grand nombre premier inf´erieur `a n:N= max{i∈N∗, pi6n}, de sorte que
[[1, n]] ∩ P ={p1, . . . , pN}
bNous admettons la relation suivante :
n
X
k=1
1
k6
N
Y
i=1 1−1
pi−1
`
A l’aide de ce r´esultat admis, retrouver le fait que Psoit infini.
cMontrer la divergence de la s´erie de terme g´en´eral νk, o`u
νk=−ln 1−1
pk
dEn d´eduire la nature de la s´erie Pk
1
pk.
eMontrer que si la suite de terme g´en´eral pk+1
pkconverge (k∈N), alors sa limite vaut 1.
Partie IV – Minoration du ppcm des 2n+ 1 premiers entiers naturels non nuls
Soit nun entier sup´erieur ou ´egal `a 2, et soit dnle plus petit commun multiple de tous les entiers 1,2,3, ..., n :
dn
def
= ppcm(1,2, . . . , n)=1∨2∨ · · · ∨ n
Soit Nl’entier tel que pN6n<pN+1.
IV.1 D´emontrer que
dn=
N
Y
i=1
pαi
i,
o`u, pour tout i∈[[1, N]], αi=ln n
ln pi.
IV.2 ´ Etant donn´e un entier nsup´erieur ou ´egal `a 2 (n>2), soit Inl’int´egrale d´efinie par la relation suivante :
In=R1
0xn(1 −x)ndx.
a´ Etablir la majoration : In61
4n.
bMontrer que pour tout k∈[[0, n]], n+k+ 1 divise d2n+1.
cEn d´eduire que le produit d2n+1Inest un entier en consid´erant, par exemple, une expression de In
obtenue par d´eveloppement de (1 −x)n.
IV.3 ´ Etablir, `a l’aide de la majoration de l’int´egrale In, une minoration de d2n+1.

Partie V – Majoration du produit des Npremiers nombres premiers
Pour tous xet yr´eels positifs avec x>y, on d´efinit P(x, y) comme valant
1 si l’intervalle ]y, x] ne contient pas de nombre premier ;
le produit des nombres premiers de l’intervalle ]y, x] sinon.
On a donc, pour tout (x, y, z)∈R3
+tel que z6y6x, la relation :
P(x, z) = P(x, y)P(y, z).
Pour tout x∈R∗
+, on note K(x) = P(x, 0).
V.1 Donner K(x), pour tout x∈]0,6]. Donner les points de discontinuit´e de la fonction K.
Soit mun entier naturel non nul.
V.2 Montrer que 2m+1
m64m.
V.3 Montrer que l’entier P(2m+ 1, m + 1) divise l’entier 2m+1
m.
V.4 En d´eduire que si K(m+ 1) 64m+1, alors K(2m+ 1) 642m+1.
V.5
aMontrer que :
∀n∈N∗, K(n)64n
bEn d´eduire la majoration :
∀x∈R∗
+, K(x)64x
Partie VI – N(x)=Θx
ln(x)
On note Nla fonction d´efinie par :
∀x>0, N(x) = Card{k∈N∗, pk∈[0, x]}
Pour tout x>0, N(x) est donc le nombre d’entiers premiers inf´erieurs ou ´egaux `a x.
On note Sla fonction d´efinie sur [2,+∞[ par
∀x>2, S(x) = ln(K(x)).
VI.1 Pour tout x>2, d´eduire de la partie pr´ec´edente un majorant de S(x).
VI.2 Soit fune fonction d´efinie sur [2,+∞[ `a valeurs r´eelles, d´erivable et `a d´eriv´ee continue.
aMontrer que pour tout kentier naturel non nul, on a
Zpk
2
S(t)f0(t)dt=−X
i∈[[1,k]]
ln(pi)f(pi) + S(pk)f(pk).
bD´eduire pour tout r´eel xsup´erieur ou ´egal `a 2 la relation :
X
i∈[[1,N(x)]]
ln(pi)f(pi) = S(x)f(x)−Zx
2
S(t)f0(t)dt.
VI.3 On prend f=1
ln . D´eduire de la question pr´ec´edente l’in´egalit´e :
N(x)62 ln 2 x
ln x+Zx
2
dt
(ln t)2.
VI.4
a´ Etudier sur l’intervalle [ln 2,+∞[ la fonction ψ:u7→ eu
u2. Montrer qu’il existe un unique r´eel (not´e u0)
strictement sup´erieur `a ln 2 tel que
eu0
u2
0
=2
(ln 2)2.

bMontrer, pour tout x>eu0, la majoration :
Zln x
ln 2
eu
u2du6x (ln x)2(ln x−ln 2).
cD´eduire, pour tout x>eu0, l’in´egalit´e :
N(x)64 ln 2 x
ln x.
VI.5 En utilisant par exemple la minoration du p.p.c.m. d2n+1 obtenue pr´ec´edemment, d´emontrer qu’il
existe un r´eel x1tel que pour tout r´eel xsup´erieur ou ´egal `a x1, la fonction Nv´erifie la minoration suivante :
N(x)>ln 2
2
x
ln x
Ces deux r´esultats sont coh´erents avec le th´eor`eme des nombres premiers ´etabli par Hadamard et De La
Vall´ee Poussin en 1896, qui affirme plus pr´ecis´ement que
N(x)∼x→+∞
x
ln(x)
VI.6 On admet dans cette question le th´eor`eme des nombres premiers.
aMontrer que
pn∼nln(n)
bRetrouver la divergence de P1
pn.
cD´eterminer la limite de la suite de terme g´en´eral pn+1
pn.