Scientiae Mathematicae Japonicae Online, Vol. 10, (2004), 377–392 377
OP´
ERATEURS D´
ETERMINANT LA TOPOLOGIE D’UNE NORME
COMPL`
ETE
Z. Abdelali, E. Illoussamen, L. Oubbi
Received June 2, 2003; revised March 31, 2004
Abstract. Let Abe a Banach space (or algebra) and Ta continuous linear operator
on A. We deal with conditions under which a complete norm on Afor which Tis
continuous must be equivalent to the initial one. Several examples and applications
are provided.
1 Introduction Soient (E,|| ||) un espace de Banach de dimension infinie et B(E,|| ||)
l’alg`ebre des op´erateurs lin´eaires continus de (E, || ||) dans (E, || ||). On dit qu’un op´erateur
TB(E,|| ||)d´etermine la topologie de la norme de Esi toute norme compl`ete ||sur E
telle que TB(E,||) est ´equivalente `a || ||.SiEest une alg`ebre de Banach, un ´el´ement
aAest dit eterminer la topologie de la norme de Esi c’est le cas pour l’op´erateur
La:b→ ab.L´etude des ´el´ements d´eterminant la topologie de la norme d’une alg`ebre
de Banach a ´et´e initi´ee par A.R. Villena dans [10, 11] puis reprise par K. Jarosz dans [5].
Dans ce travail, nous poursuivons l’investigation dans ce sens. Nous ´etudions notamment
les op´erateurs d´eterminant la topologie d’un espace de Banach g´en´eral ainsi que les multi-
plicateurs d´eterminant celle d’une alg`ebre de Banach.
Nous commen¸cons par consid´erer les op´erateurs Tsur un espace de Banach (E, || ||)v´erifiant
une condition d’inhibition, `a savoir
n1
(Tλ1I)(Tλ2I)...(TλnI)(E)={0},
pour une certaine suite (λn)nC,o`uIesigne l’application identit´edeE. Nous montrons
alors qu’un tel op´erateur d´etermine la topologie de la norme de Esi et seulement si (T
λI)(E) est de codimension finie, quel que soit λCtel que TλI est non injectif. Cette
condition d’inhibition se trouve v´erifi´ee par une large classe d’op´erateurs dont, par exemple,
les shifts au sens de [10]. A ce sujet, A.R. Villena montre que si Kest un compact metrisable,
alors C(K) admet un shift. Nous montrons que, en fait, tout espace de Banach s´eparable
admet un shift. Dans le cadre des alg`ebres de Banach, on n’a consid´er´e, jusqu’`apr´esent,
que des alg`ebres commutatives et, le plus souvent, semi-simples. Ici, grˆace `a des conditions
d’inhibition appropri´ees, nous arrivons `a nous passer aussi bien de la commutativit´e que de
la semi-simplicit´e (cf. (5) et (7)). Par ailleurs, quand l’alg`ebre Aest commutative semi-
simple, nous caract´erisons les multiplicateurs de Aeterminant presque (voir D´efinition 14)
la topologie de la norme de A, montrant ainsi que la r´eciproque du Theorem 1. ii de [11]
est aussi vraie. Enfin, comme applications de nos r´esultats, nous examinons des op´erateurs
particuliers dans certaines alg`ebres classiques.
2000 Mathematics Subject Classification. 46B03, 46J10, 47B38 .
Key words and phrases. Op´erateur d´eterminant la topologie de la norme, multiplicateur.
378 Z. ABDELALI, E. ILLOUSSAMEN, L. OUBBI
2Pr´eliminaires Soient (E,|| ||) un espace de Banach et TB(E,|| ||). Nous ´ecrirons
TDTN(E) pour signifier que Tetermine la topologie de la norme de Eet, pour un
´el´ement ad’une alg`ebre de Banach A,oecrira aDTN(A) au lieu de LaDTN(A).
Lorsqu’il n’y a pas de risque de confusion, l’alg`ebre B(E, || ||) sera not´ee seulement B(E).
Elle sera toujours munie de la norme naturelle des op´erateurs
||T|| := sup{||T(a)||,||a|| ≤ 1}.
L’espace s´eparateur d’une application lin´eaire Tde Edans un autre espace de Banach F
est le sous-espace vectoriel de F
(T):={yF:(xn)nEavec xn0etT(xn)y}.
D’apr`es le th´eor`eme du graphe ferm´e, Test continue si et seulement si (T)={0}.
Pour une alg`ebre de Banach A,M(A) sera l’ensemble des caract`eres de Aet R(A) son
radical de Gelfand. Celui-ci est efini par :
R(A)={ker(χ)M(A)}:M(A)=
A:M(A)=
Il est clair que le radical de Jacobson Rad(A)deAest toujours contenu dans R(A) et que
les deux sont ´egaux si et seulement si Aest presque commutative; c’est `a dire commutative
modulo son radical de Jacobson (cf. [1], Chap. 2. 1). La topologie de Gelfand (resp. du
”hull kernel”) sur M(A) sera not´ee τG(resp. τh), asera la transform´ee de Gelfand de aA
et, pour CA, on notera
h(C):={χM(A):χ(c)=0,cC}.
On appellera pseudo-multiplicateur sur Atout TB(A) tel qu’il existe une fonction fT
efinie sur M(A)etv´erifiant pour tout χM(A)
χ(T(a)) = χ(a)fT(χ).(1)
Lorsque M(A) est vide, tout TB(A) est suppos´ee ˆetre un pseudo-multiplicateur. On voit
bien que Test un pseudo-multiplicateur si et seulement si pour tous a, b A,aT (b)T(a)b
R(A). En effet, la fonction fT(χ):=χ(T(a))
χ(a), avec χ(a)= 0, est bien efinie et v´erifie (1).
Rappelons aussi qu’une application lin´eaire de Adans elle-mˆeme est dite multiplicateur
`a gauche (resp. `a droite) si, pour tous a, b A,T(ab)=T(a)b(resp. T(ab)=aT (b)).
Un multiplicateur `a la fois `a gauche et `a droite est dit un multiplicateur de A. Tout
multiplicateur Test ´evidemment un pseudo-multiplicateur et la multiplication `a gauche
par un ´el´ement ade Aest `a la fois un pseudo-multiplicateur et un multiplicateur `a gauche.
Il est `a noter que, grˆace au th´eor`eme du graphe ferm´e, un multiplicateur sur une alg`ebre de
Banach sans ordre (i.e. o`u aA ={0}implique que a= 0) est n´ecessairement continu.
La majorit´e de nos r´esultats sont vrais aussi bien dans le cas r´eel que dans le cas com-
plexe. Cependant, dans la suite, nous nous restreindrons aux alg`ebres associatives sur le
corps Cdes complexes. Dans le cas d’une alg`ebre non commutative, nous donnerons des
esultats utilisant des propri´et´es `a gauche. Les analogues de ces r´esultats `a droite sont aussi
vrais.
OP´
ERATEURS D´
ETERMINANT LA TOPOLOGIE D’UNE NORME COMPL`
ETE 379
3Op´erateurs d´eterminant la topologie d’un espace de Banach Le r´esultat
suivant est analogue `a Lemma 1 de [11]. L’assertion ii y est eg`erement am´elior´ee.
Lemme 1 Soient ||et || || deux normes compl`etes sur un espace vectoriel Eet l’espace
eparateur de l’identit´ede(E,||)dans (E, || ||).
i. Si TnB(E,|| ||)B(E,||)pour tout nN, alors il existe NNtel que
T1T2...TN()|| || =T1T2...Tn()|| ||;nN.
ii. Si de plus TnTm=TmTnpour tout n, m, alors il existe NNtel que
T1T2...TN()|| || =
n
T1T2...Tn()
|| ||
,nN.
Preuve : L’assertion i. ecoule imm´ediatement du lemme de stabilit´e ([9], Lemma 1.6).
Concernant ii., il existe, en vertu de i.,NNtel que
T1T2...TN()|| || =T1T2...Tn()|| ||;nN.
Posons F=T1T2...TN()|| || et, pour tout nN,Rn:= TN+1 ...Tn. Alors F
est un espace de Banach et, par i.,Rntransforme Fen un sous-espace dence de F. Par le
th´eor`eme de Mittag-Leffler ([3], Chap. 2), il existe Ntel que
T1T2...TN()|| || =
n
T1T2...Tn()
|| ||
,nN. ///
La proposition suivante am´eliore Proposition 7 de [5]. Notre preuve est plus directe et
courte.
Proposition 2 Soit (E,|| ||)un espace de Banach et TB(E,|| ||).SiTest non injectif
et T(E)est de codimension infinie, alors T/DTN(E). En particulier, si Tn’est ni injectif
ni surjectif, alors T/DTN(B(E)).
Preuve : Soient uker T\{0}et (en)nune suite d’´el´ements lin´eairement ind´ependants
d’un suppl´ementaire de T(E) telle que ||en|| = 1 pour tout nN. Consid´erons une forme
lin´eaire fsur Etelle que f(en)=n, quel que soit nN,f(u)=1siu/T(E)etfest
identiquement nulle sur T(E). Alors l’application x→ 2xf(x)uest une bijection de E
sur E. Par cons´equent, |x|:= ||2xf(x)u|| est une norme compl`ete sur Enon ´equivalente
`a || ||, puisque fest discontinue. De plus
|T(x)|=||2T(x)f(T(x))u||
=||2T(x)||
=||T(2xf(x)u)||
≤||T||||2xf(x)u||
≤||T|||x|.
Par suite TB(E,||) et donc T/DTN(E).
Maintenant si Tn’est ni injectif ni surjectif, soient 0 =xker Tet u/T(E). Pour toute
fonctionnelle continue fsur Eet tout yE, on consid`ere l’application fy:e→ f(e)y.
Alors fxest un ´el´ement non nul du noyau de LT. De plus Eu:= {fu:fE}est
un espace de dimension infinie ne rencontrant l’image de LTqu’en z´ero. Par ce qui pr´ec`ede,
LTne d´etermine pas la topologie de B(E). ///
380 Z. ABDELALI, E. ILLOUSSAMEN, L. OUBBI
Th´eor`eme 3 Soit (E,)un espace de Banach et TB(E, || ||). S’il existe (λn)n1C
telle que
n1
(Tλ1I)...(TλnI)(E)={0},
alors le spectre ponctuel Spp(T)de Test inclu dans {λk:k1}. De plus, TDTN(E)
si et seulement si, (TλI)(E)est de codimension finie pour tout λCtel que TλI est
non injectif.
Preuve : Si λest une valeur propre de Tdiff´erente de tous les λn, alors il existe xE
non nul tel que T(x)=λx. Mais l’´egalit´e
x=(Tλ1I)(Tλ2I)...(TλnI)1
(λλ1)...(λλn)x,
pour tout n1 contredit notre hypoth`ese. Concernant l’´equivalence, la ecessit´ed´ecoule
imm´ediatement de Proposition 2. Pour la suffisance, soient une norme compl`ete ||sur E
rendant continu Tet l’espace s´eparateur de l’identit´e I:(E, ||)(E, || ||). Pour tout
n1, posons Tn=TλnI. D’apr`es (1) ii., il existe NNtel que pour tout nN,
(Tλ1I)(Tλ2I)...(TλNI)()|| ||
=
n
(Tλ1I)(Tλ2I)...(TλnI)()
|| ||
={0}.
Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer que chaque (TλkI) est non injectif, k=
1,...,N. Soit K=(Tλ1I)(Tλ2I)...(TλNI). Comme (TλkI)(E) est de codimen-
sion finie pour tout k, il en est de eme de K(E). Ainsi, d’apr`es un esultat classique ([9],
Lemma 3.3), K(E) est ferm´e pour les deux normes. Le diagramme suivant est commutatif:
(K(E),||)
KIK(E)
(E,||)(K(E),|| ||)
IK
(E,|| ||)
De plus, d’apr`es Lemma 1.3. i. de [9], IK(E)K=KIest continue. Comme l’application
K:(E, ||)(K(E),||) est continue et surjective, elle est ouverte. D’o`u IK(E)est continue.
Ainsi les deux normes sont ´equivalentes sur le sous-espace ferm´e K(E) de codimension finie.
Elles le sont donc sur tout E.///
Le probl`eme de savoir si un espace de Banach admet toujours un op´erateur d´eterminant
la topologie de sa norme a ´et´e soulev´e dans [10]. L’auteur montre que si Test un op´erateur
shift sur E, alors TDT N (E). Il montre alors que, pour tout compact m´etrisable K,
C(K) admet un shift (Theorem 4). Dans [5], K. Jarosz montre que si Eest un espace de
Banach s´eparable et (xn,x
n)nest une suite fondamentale totale et biorthogonale [7], alors
RDT N(E), o`u
R(x):=
n=1
1
2nx
n(x)xn,xE.
Il se trouve que
n1
(R2kI)(E)={0}
OP´
ERATEURS D´
ETERMINANT LA TOPOLOGIE D’UNE NORME COMPL`
ETE 381
et que, puisque Rest compact et 2kSpp(R), (R2kI)(E) est de codimension finie
([4], page 217). Donc (3) permet aussi de conclure que RDTN(E). Cependant, R2kI
n’est ni injectif ni surjectif. Donc R2kI/DTN(B(E)) d’apr`es (2). Par cons´equent
R/DTN(B(E)). Il en r´esulte que Rn’est pas un shift sur E. Ici, nous obtenons
Th´eor`eme 4 Tout espace de Banach s´eparable (E, )admet un op´erateur shift born´e.
Preuve : D’apr`es [7], il existe une suite fondamentale totale et biorthogonale (xn,x
n)n1.
Soit TB(E)d´efini par
T(x)=
n=1
1
2nx
nxn+1x
n(x)xn+1.
Pour tout n1,
Tn(E)Tn(span{xk:k1})=span{xk:kn+1}.
Donc {x
k:1kn}⊆ker(Tn). Ainsi nker(Tn)s´epare les points de E. Par ailleurs,
si T(x) = 0, pour tout n1, x
n+1(T(x)) = 0. D’o`u x
n(x) = 0 et comme nest quelconque
x=0etTest injectif. Donc Test un shift. ///
4 Multiplicateurs d´eterminant la topologie de la norme d’une alg`ebre de Ba-
nach Dans [5], K. Jarosz montre qu’un ´el´ement ad’une alg`ebre de Banach commutative,
semi-simple et unitaire Aetermine la topologie de la norme de Asi et seulement si (aλ)A
est de codimension finie chaque fois que aλest un diviseur de z´ero. Il soul`eve alors le
probl`eme de donner une telle caract´erisation dans le cas non commutatif (semi-simple).
Dans cette section, nous donnons quelques ´el´ements de r´eponse `a ce probl`eme.
Th´eor`eme 5 Soit (A, )une alg`ebre de Banach et TB(E)un multiplicateur `a gauche.
S’il existe (λn)n1Cet un id´eal `a gauche Jtels que
i. bA, bJ ={0}=T(b)=0,
ii.
n1
(Tλ1I)...(TλnI)(J)={0},
alors TDTN(A)si, et seulement si, (TλI)(A)est de codimension finie, quel que soit
λCtel que TλI est non injectif.
Preuve : La n´ecessit´ed´ecoule encore de Proposition 2. Pour la suffisance, soient une
norme compl`ete ||sur Atelle que TB(A, ||)etl’espace eparateur de l’identit´e
I:(A, ||)(A, || ||). D’apr`es (1) ii., appliqu´e`a la suite Tn=TλnI, il existe NNtel
que pour tout nN,
T1...T
N()|| || =
n
T1...T
n()
|| ||
.
Donc, pour tout jJ,
T1...T
N()j
n
T1...T
n()j
|| ||
n
T1...T
n(J)
|| ||
={0}.
1 / 16 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !