On appelle expérience aléatoire toute e

TS
LES PROBABILITES DE PREMIERE
I VOCABULAIRE
EXEMPLES
Expérience aléatoire:
On appelle expérience aléatoire toute expérience dont- • Lancé d’une pièce de monnaie (équilibrée ou non)
on connaît les conditions de réalisations et toutes les
issues possibles mais dont-on ne connaît pas celle qui • Lancé d’un dé à 6 faces.
va se produire lorsqu’on réalise l’expérience.
• Choix d’une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
Univers d'une expérience aléatoire:
On appelle univers d’une expérience aléatoire
l’ensemble de toutes les issues possibles (appelées
aussi éventualités) de cette expérience.
• Lancé d’une pièce de monnaie (équilibrée ou non):
L’univers est constitué de 2 issues: Pile (P) et Face (F):
 ={P,F}.
On le note souvent l'univers Ω. (se lit oméga (en
majuscule))
• Lancé d’un dé à 6 faces:
Une éventualité(ou issue) ω appartient à l’univers Ω .
( On note ω ∈ Ω ) .
Remarques:  se lit oméga (en majuscule)
 se lit oméga (en minuscule)
L’univers est constitué de 6 éventualité. 
={1,2,3,4,5,6}.
• Choix d’une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes:
L’univers est constitué de 32 éventualités: 8 cartes de
pique, 8 cartes de trèfle, 8 cartes de cœur, 8 cartes de
carreaux.
Evènement:
Soit une expérience aléatoire d’univers Ω.. On appelle
évènement toute partie de Ω.
• Lancé d’une pièce de monnaie (équilibrée ou non) :
Un événement A est inclus dans l’univers Ω .
• Lancé d’un dé à 6 faces :
(On note A ⊂ Ω )
A = « Obtenir 3 » , B = « Obtenir un nombre pair » sont
des évènements. A={3} et B={2,4,6}
P = « Obtenir pile » est un évènement.
• Choix d’une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes :
C = « Obtenir la dame de cœur », D = « Obtenir une
figure », E = « Obtenir une carte de pique » sont des
évènements .
Evènement élémentaire:
Un évènement élémentaire est un évènement constitué
d’une seule éventualité de l’univers.
• Lancé d’un dé à 6 faces :
A = « Obtenir 3 » est un évènement élémentaire alors
que B = « Obtenir un nombre pair » n’est pas
élémentaires (plusieurs éventualités peuvent réaliser B)
1/6
Evènement impossible:
Un évènement est dit impossible lorsque aucune
éventualité de l’univers ne permet de le réaliser. On le
note ∅.
• Lancé d’un dé à 6 faces :
A = « Obtenir 7 » est un évènement impossible.
Evènement certain:
• Lancé d’un dé à 6 faces :
L’univers Ω d’une expérience aléatoire est l’évènement
certain
A = « Obtenir 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 » est
l’évènement certain.A= 
Réunion de deux évènements:
Soit une expérience aléatoire d’univers Ω et A et B
deux évènements.
• Choix d’une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes :
C = « Obtenir la dame de cœur », D = « Obtenir un as »
On appelle réunion des évènements A et B, l’ensemble C∪D =« Obtenir un as ou la dame de cœur » : il est
des éventualités qui réalisent A ou B. On le note A∪B constitué de 5 éventualités.
C∪ D ={as de coeur,as de carreau,as de trèfle,as de
pique,dame de coeur}
Intersection de deux évènements:
Soit une expérience aléatoire d’univers Ω et A et B
deux évènements. On appelle intersection des
évènements A et B, l’ensemble des éventualités qui
réalisent A et B à la fois. On le note A∩B .
• Choix d’une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes :
C = « Obtenir une dame », D = « Obtenir une carte de
trèfle »
C∩D = « Obtenir la dame de trèfle» : il est constitué
de 1 éventualité.
Remarques:
Si A∩B = ∅ , on dit que A et B sont disjoints ou
incompatibles.
Evènement contraire:
Soit une expérience aléatoire d’univers Ω et A un
évènement. On appelle évènement contraire de A (ou
évènement complémentaire) de A, l’ensemble des
éventualités de Ω qui ne permettent pas la réalisation
de A. On le note A .
Remarques :
et A∪A=
• Lancé d’une pièce de monnaie (équilibrée ou non) :
P=F (événement contraire « obtenir pile »= « obtenir
face »)
A =  \A et A∩A = ∅
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II LOI DE PROBABILITE
1) Définition.
On note  ={  1  2 , n }l'ensemble des n éventualités d'une expérience aléatoire.
Définir une loi de probabilité p sur  , c'est associer à chaque résultat  i un nombre p i ( appelé probabilté
de  i ) positif ou nul de telle façon que:
●
●
p : i  pi = p   i 
Pour toute éventualité  i on a: 0 p i1
n
●
∑ pi =1
i=1
Modéliser une expérience aléatoire, c’est associer à cette expérience une loi de probabilité sur l’ensemble W des
résultats possibles. Les conditions de l’expérience conduisent le plus souvent au choix du modèle.
2) Exemples
Lancé d'une pièce de monnaie équilibrée  ={P,F}
Quand la pièce est dite équilibrée,cela signifie qu'il y a la même probabilité d'obtenir face que d'obtenir pile.
1
Comme dans ce cas il y a seulement 2 éventualités, elles possédent chacune une probabilité de .
2
On présente souvent la loi de probabilité sous la forme d'un tableau:
P
F
i
●
pi
1
2
1
2
Lancé d'un dè à 6 faces (non truqué)
 ={1;2;3;4;5;6}
Le dè étant non truqué les probabilités d'apparition d'une face ou d'une autre sont les mêmes.
Dans ce cas la loi de probabilité est:
1
2
3
4
5
6
i
●
pi
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
● Prélèvement d'une boule dans une urne
A l'intérieur d'une urne il y a 3 boules rouges, 2 boules bleues, 1 boule jaune. Elles sont indiscernables au touché.
On prélève au hasard une boule dans cette urne.Si l'on considère les trois issues R (rouge), B (bleue) et J
(jaune), plusieurs choix des p i remplissent les conditions: 0 p i1 pour tout i  1i3  et p 1 p2  p 3=1 ,
mais le modèle choisi n'est bon que lorsque les fréquences statistiques f i se rapprochent des p i quand le
nombre d'expériences devient grand.
Dans le cas présent, notre intuition conduit au modèle ci-dessous:
R
B
i
pi
3 1
=
6 2
2 1
=
6 3
J
1
6
3/6
3)L'équiprobabilité.
Définition: Lorsque tous les événements élémentaires d'un univers ont la même probabilité, on dit qu'il y a
équiprobabilité.
1
Dans ce cas , si l'univers  est composé de n éventualités  i , on a: pi=
n
On dit que la loi est équirépartie.
Remarque: Les expression comme “hasard”,”non pipé”,”équilibré”,”indiscernables au toucher”, indiquent que
pour les expériences réalisées, le modèle associé est l'équiprobabilité.
4) Paramètres d'une loi de probabilité.
On considère une expérience aléatoire d'univers  ={  1  2 , n }où les  i sont des nombres réels.
Soit p i la probabilité de l'issue  i .
On appelle:
● Espérance mathématique de cette loi de probabilité le nombre:
n
E=∑ p i  i
i=1
Variance de cette loi de probabilité le nombre:
●
n
V =∑ pi  i− E 2
i=1
Ecart type de cette loi de probabilitéle nombre:
=  V
●
Exemple:Dans le cas du lancé de dé à six faces:
6
1
1 6×7 7
E=∑ i pi=  123456 = ×
=
6
6
2
2
i=1
Ce nombre E représente la valeur moyenne obtenue par expérience lorsqu'on répète un grand nombre de fois, de
manière indépendante, l'expérience aléatoire dans les mêmes conditions.
Dans cet exemple, si on lance un grand nombre de fois un dè et que l'on fait la moyenne des nombres obtenus, on
trouve 3,5.
III PROBABILITE D'UN EVENEMENT.
1) Définition.
On considère une expérience aléatoire d'univers  ={  1  2 , n },
sur lequel on définit une loi de probabilité p :  i  p i
La probabilité d'un événement A, notée p  A  est la somme la somme des probabilités de chaque issue contenue
dans A.
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Exemple: On lance un dé à six faces une seule fois. Ce dé est truqué, la loi de probabilité est donnée par le tableau
suivant:
i
1
2
3
4
5
6
pi
0,12
0,13
0,25
0,15
0,3
0,05
Soit l'événement A:”le numéro sorti est pair”: A={2;4;6} et p  A  = p  2  p  4   p  6  =0,130,150,05=0,33
2) Propriétés.
Soit une expérience aléatoire d'univers  . Soient A et B deux evènements de  .
● La probabilité de l'évènement certain est 1: p    =1 .
● La probabilité de l'événement impossible est 0: p  ∅  =0
● Si A⊂B , alors p  A   p  B 
p  A∪B  = p  A   p  B  − p  A∩B 
●
● Si A et B sont incompatibles (c'est à dire A ∩ B= ∅ ), p  A∪B  = p  A   p  B 
p  A  =1− p  A 
●
2) Cas de l'équiprobabilité
Dans le cas de l'équiprobablité(c'est à dire lorsque tous les événements élémentaires de  ont la même
probabilité de se produire)
nombre d ' éléments de A card  A 
=
Pour tout événement A: p  A  =
nombre d ' éléments de  card  B 
Exemple: Dans le cas d'un dé à six faces non truqué, si A est l'événement ”le numéro sorti est pair”.
3 1
p  A = =
Car A est composé de 3 issues et  de 6 issues.
6 2
IV VARIABLES ALEATOIRES
1) Définition
Soit un univers  muni d'une loi de probabilité p .
Une variable aléatoire X est une fonction définie sur  munie de p qui prend ses valeurs dans ℝ .
Exemple: On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.On gagne 2€ pour chaque résultat “pile”et
on perd 1€ pour chaque “face”.
Dans ce cas on peut prendre comme univers:  = {PPP,PPF,PFP,FPP,PFF,FPF,FFP,FFF}, il y a 8 issues
différentes ici card  =8.
La piéce de monnaie étant équilibrée , on modélise cette expérience avec une loi de probabilité équiprobable.
1
Chacune de ces issues a une probabilité de .
8
X
On définit l a variable aléatoire
de  dans ℝ , qui à chaque issue associe le gain correspondant.
Les valeurs des gains possibles sont: -3,0,3 et 6.On dit que X prend les valeurs -3,0,3 et 6.
X  PPP  =222=6
X  PFF  =2−1−1=0
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2) Loi de probabilité d'une variable aléatoire.
Si la variable aléatoire X prend les valeurs x 1 , x 2 ,.............. x p , on définit la loi de probabilité de X ,en
associant à chaque valeur x i le nombre p  X = xi  .
Exemple: Dans l'exemple précédent.
Si je considère l'événement ( X =3 ) ,
 X =3  ={PPF,PFP,FPP} et p  X =3  =
3
8
Je peux représenter cette nouvelle loi de probabilité sous la forme d'un tableau.
Loi de X .
Gain x i
−3
0
3
6
1
8
3
8
3
8
1
8
Probabilité de
X =x i
P  X = xi 
3) Espérance ,variance.
On appelle espérance mathématique de X , variance de X et écart-type de X , l'espérance, la variance et l'écart
type de cette nouvelle loi de probabilité.
Notations: E  X  , Var  X  ,   X 
Exemple :Avec l'exemple précédent.
1
3
3
1 12 3
E  X  = −3× 0× 3× 6× = = =1,5 , c'est le gain moyen.
8
8
8
8 8 2
1
3 2 3
3 2 3
3 2 1
3 2
Var  X = × −3−
 × 0−
 × 3−  × 6−
=6,75
8
2
8
2
8
2
8
2


 
 
 
  X  = Var  X  = 6,75≈2,60
Remarque sur l'espérance: Lorsqu'un jeu est répété un grand nombre de fois, le gain moyen se rapproche de
l'espérance mathématique.Si cette espérance est négative, le jeu est plutôt défavorable au joueur , si elle est nulle ,
le jeu est équitable, alors que si elle est positive, le jeu est plutôt favorable.
6/6