•Elle est adiabatique, donc la chaleur reçue par le système est Q= 0.
•Elle est monobare (pext =cst), donc on sait que le travail sera facile à calculer : ∆W=−RpextdVet ici
on connaît V0et V0.
•On se dit alors que si l’on connaît Wet Q, on peut grace au 1er principe connaître ∆U, et donc connaître
∆T(car pour un gaz parfait ∆U=CV∆T), et donc T0. On aura alors ensuite p0avec la loi des gaz parfait.
Essayons de mener à bien ce programme. On commence donc par W:
∆W=−ZpextdV=−pext ZdV=−pext (V0−V0) = −pext V01
α−1.
De plus, on a pext =p0, car dans l’état final l’équilibre mécanique est atteint (voir I.5 si on n’est pas convaincu).
Donc on a W=−p0V01
α−1. On ne peut pas encore le calculer car on ne connaît pas p0, mais ceci fournit
tout de même une première relation.
Ensuite, écrivons le premier principe appliqué au système {gaz} :
∆U=W+Q=W
nR
γ−1(T0−T0) = −p0V01
α−1.(1)
On a donc une équation avec deux inconnues : T0et p0(on rappelle que par ailleurs on connaît n=p0V0/(RT0) =
0.0205 mol). On va en éliminer une des deux à l’aide de la relation p0V0=nRT 0: on écrit que p0=nRT 0/V 0=
nRT 0α/V0et on remplace dans l’équation 1:
nR
γ−1(T0−T0) = −nRT 0α
V0
V01
α−1
⇔(T0−T0) = T0(γ−1)(α−1)
⇔T0=T0
1−(γ−1)(α−1).
(2)
Cette dernière relation donne T0. Pour α= 2, on trouve T0= 488 K = 215oC. On calcule ensuite aisément le
reste : p0=nRT 0α/V0= 3.33 bar , puis W= 83.2 J ,Q= 0.
On peut aussi calculer, avec la formule fournie pour un gaz parfait : ∆S=nR
γ−1ln T0
T0
+nR ln V0
V0
= 0.10 J ·K−1.
Comme la transformation est adiabatique, on a Se= 0, et donc ∆Scorrespond aussi à l’entropie créée, qui est
strictement positive.
Remarque : La dernière des équations 2impose d’avoir 1−(α−1)(γ−1) >0(sans quoi on trouve T0<0,
impossible). On rappelle que α=V0/V 0. Pour α > 1(c’est-à-dire une vraie compression où le volume final
est inférieur au volume initial), cette condition est équivalente à α < γ
γ−1= 3.5pour γ= 1.4. On ne peut
donc pas avoir de rapport de compression supérieur pour une transformation adiabatique monobare. Ceci peut
paraître étrange, mais ne l’est en fait pas. Il faut bien comprendre que pour une compression monobare ce n’est
pas l’utilisateur qui choisit arbitrairement le rapport de compression α: comme on applique une force constante
sur le piston (c’est la condition monobare), la compression s’arrête dès que la pression dans le cylindre est
suffisamment élevée pour compenser cette force, et le rapport V0/V0= 1/α est alors fixé par cette réponse du
système. Il n’est donc pas choisi. De plus, dans des conditions adiabatiques la compression va entraîner une
augmentation de température, et la chaleur correspondante ne sera pas évacuée : la pression dans le cylindre sera
donc rapidement élevée, ce qui interdira au volume V0d’être trop petit, et donc à αde dépasser une certaine
valeur.
I.5 Détermination du volume final V0
On utilise le fait que dans l’état final l’équilibre mécanique est atteint. Ceci devrait donner la valeur de la
pression dans le cylindre.
Correction – TD : Thermodynamique, révisions 2/4 Pierre de Coubertin | TSI 2 | 2016-2017