Travaux dirigés n°4 : Machines thermiques
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TD n°4 Université de Cergy-Pontoise L2S4-Thermodynamique 2016-17 page 1 Travaux dirigés n°4 : Machines thermiques Ex. 1. Questions a) Dans un gaz parfait, l'énergie interne est seulement fonction de la température. Dans une transformation isotherme, le système absorbe de la chaleur d'une source et la convertit complètement en travail. Est-ce en contradiction avec le deuxième principe de la thermodynamique ? b) Est-ce qu'on peut avoir deux adiabatiques réversibles qui se croisent ? Suggestion : supposer qu'elles se croisent et compléter pour faire un cycle. Que dit le deuxième principe ? Ex. 2. Machine de Carnot Une machine de Carnot absorbe 1000 joules de chaleur d'une source chaude à la température de l'eau bouillante et rejette la chaleur vers une source de chaleur à la température de congélation de l'eau. Trouver la quantité de chaleur rejetée, le travail accompli et le rendement. Ex. 3. Moteur à trois sources Une machine thermique réversible fonctionne entre trois températures (T1 = 400 K, T2 = 300 K, T3 = 20 K). Pendant un cycle, elle reçoit 1200 J de la source à 400 K et elle eectue un travail mécanique de 200 J. a) Calculer les énergies échangées par transfert thermique (quantités de chaleur) avec les autres sources. Sont-elles reçues ou cédées par la machine ? b) Calculer la variation d'entropie du système, de chacune T2 T3 T1 des sources et de l'univers au cours d'un cycle. Ex. 4. Calcul de rendement Une machine thermique réversible, fonctionnant avec une mole de gaz parfait, réalise le cycle (1231) représenté sur la gure. Entre les états 1 et 2, la transformation est isochore. Entre les états 2 et 3, la transformation est adiabatique. Entre les états 3 et 1, la transformation est isotherme. a) Quelles sont les coordonnées thermodynamiques des états 1, 2 et 3, en fonction de T1 , p1 , T2 et γ = cp /cv ? p 2 1 3 b) Calculer, en fonction de T1 , p1 , T2 et γ , le transfert thermique Q et le travail W échangés au cours de chaque transformation (1-2, 2-3 et 3-1) et au cours du cycle. Ces énergies sont-elles reçues ou cédées par le système ? c) En déduire le rendement du cycle en fonction de T1 , p1 , T2 et γ . Application numérique : calculer le rendement pour T1 = 300 K, T2 = 600 K, p1 = 1 atm et γ = 5/3. d) Comparer ce rendement avec le rendement du cycle de Carnot correspondant, fonctionnant entre deux sources thermiques T1 et T2 . e) Calculer la variation d'entropie du gaz au cours de chaque transformation. V TD n°4 Université de Cergy-Pontoise L2S4-Thermodynamique 2016-17 page 2 Ex. 5. Moteur diesel Un cycle moteur diesel réversible (ABCDA) est appliqué à un gaz parfait. Il est constitué de deux adiabatiques AB et CD, une isobare BC et une isochore DA. Soient les rapports R1 = VA /VB et R2 = VD /VC . R1 et R2 vérient R1 > R2 > 1. a) Tracer ce cycle dans un diagramme de Clapeyron (p, V ). b) Dénir et exprimer le rendement de ce moteur en fonction des températures des états A, B, C et D, puis en fonction de R1 et R2 et γ = Cp /CV . Calculer ce rendement pour R1 = 21, R2 = 7 et γ = 1.4. c) Pendant un cycle, avec combien de sources thermiques le gaz parfait échange-t-il de la chaleur ? Comparer le rendement calculé dans la question b) avec le rendement d'une machine thermique réversible idéale fonctionnant entre les deux températures extrêmes du cycle diesel. Ex. 6. Étude simpliée d'un réfrigérateur Partie A Un réfrigérateur (machine frigorique) est constitué essentiellement d'un uide soumis à une série de cycles thermodynamiques. A chaque cycle, le uide extrait de l'intérieur de l'enceinte une chaleur Q2 (Q2 > 0) et échange avec l'extérieur une chaleur Q1 et un travail W . On admettra que l'intérieur du réfrigérateur et l'extérieur constituent deux sources thermiques aux températures respectivement T2 = 273 K et T1 = 293 K, et qu'en dehors des échanges avec ces sources, les transformations sont adiabatiques. a) Quel sont les signes de W et Q1 ? b) L'ecacité de cette machine est caractérisée par le rapport e = Q2 /W . Pour quel type de cycle ce rapport est-il maximal ? En utilisant l'inégalité de Clausius (2ème principe), déterminer cette valeur maximale. Application numérique. Partie B On utilise comme uide n moles d'un gaz parfait caractérisé par γ = cp /cv . Le cycle se compose des quatre transformations suivantes : Compression adiabatique réversible de la pression atmosphérique p0 à la pression p1 (p1 > p0 ) ; la température passe de T2 à T10 . Passage dans un radiateur à l'extérieur de l'appareil ; lors de cette phase, la pression reste égale à p1 , le gaz se refroidit jusqu'à la température extérieure T1 , (T1 < T10 ). Détente adiabatique réversible de p1 à p0 ; la température passe de T1 à T20 . Passage dans un serpentin (radiateur) à l'intérieur de l'enceinte, à pression constante p0 ; le gaz se réchaue jusqu'à la température T2 , (T20 < T2 ). c) Tracer ce cycle sur un diagramme de Clapeyron (p, V ). d) Calculer les températures T10 et T20 , en fonction de p1 , p0 , T1 , T2 et γ . e) En déduire que : Q1 Q2 T0 = − T12 = − TT10 . 2 f) Exprimer l'ecacité e de ce réfrigérateur et la comparer à sa valeur maximale. Calculer T10 et T20 sachant que e = 6. g) Donner les expressions des variations d'entropie du gaz et des deux sources pendant chaque phase de la transformation en fonction des températures, n et γ . Quelle est la variation d'entropie du gaz et de l'univers pendant un cycle ? Université de Cergy-Pontoise L2S4-Thermodynamique 2016-17 Exercice complémentaire TD n°4 page 3 pour CUPGE uniquement Ex. 7. Moteur a) Soit deux corps A et B identiques, de volume constants, de même capacité calorique Cv . A et B sont utilisés, respectivement, comme source chaude et source froide d'un moteur thermique décrivant un cycle réversible. Ta,i et Tb,i sont les températures initiales de A et de B , respectivement. On suppose que pendant un cycle la température des deux corps varie de façon innitésimale. Ainsi, pendant un cycle, les températures de A et de B sont supposées constantes et on peut considérer que A et B sont des sources thermodynamiques. On laisse tourner le moteur. Après un certain temps, le moteur s'arrête (état nal). Expliquer. Calculer les températures nales Ta,f et Tb,f des deux corps. Calculer le travail total fourni en fonction de Cv , Ta,i et Tb,i . Calculer les variations d'entropie entre l'état initial et l'état nal du corps A, du corps B , du uide qui décrit le cycle moteur et de l'univers. b) On considère maintenant que la source froide est un réservoir thermique à la température T0 . (Rappel : par dénition la température du réservoir ne varie pas). Les autres données du problème sont celles de la question précédente. On laisse tourner le moteur. Décrire l'état nal. Quelle est la quantité de chaleur reçue par le réservoir pendant un cycle ? En déduire le travail total fourni.
