DS5 Polynésie juin 2013
Euclide d’Alexandrie
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()*')+++()(,
Euclide d’Alexandrie
Correction :
Énoncé :
Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution du nombre de ses abonnés dans une grande ville par
rapport à son principal concurrent B à partir de .
En , les opérateurs A et B ont chacun milliers d'abonnés.
Pour tout entier naturel n, on note
an
, le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la n-ième année
après , et
bn
le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la n-ième année après .
Ainsi
a
= et
b
= .
Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante:
pour tout entier naturel n,
{
an+=!- an+! bn+.
bn+=! an+!. bn+-
On considère les matrices M =
(
!- !
! !.
)
et P =
(
.
-
)
Pour tout entier naturel n, on note
Un
, la matrice
(
an
bn
)
.
1. a. Déterminer
U
/
{
a=!- a+! b+.
b=! a+!. b+-
!
a
0
b
0!"/
a
0!-×1!×1.0!2×1.0-1.0
b
0!×1!.×1-0!-×1-03
/
U
0
(
3
)
b. Vérifier que, pour tout entier naturel n,
Un+
= M
×
Un
+ P
Commentaires et méthode /
444 506!/
50706
60705
5070860708
596070
444!7
':" pour les démarches:":"
!"#$%#"$&'
()*')+++()(,
Euclide d’Alexandrie
!:"
Retour à l'exercice :
n!
M×
Un
1P0
(
!- !
! !.
)
(
an
bn
)
1
(
.
-
)
0
0
(
!-×an+! bn
!×an+!.×bn
)
1
(
.
-
)
0
(
!-×an+! bn+.
!×an+!.×bn+-
)
0
(
an+
bn+
)
0
Un+
;<*
2) On note I la matrice
(
)
.
a. Calculer (I – M)
×
(
,
)
I9M0
(
! −!
−! !,
)
=I9M>×
(
,
)
0
(
! −!
−! !,
)
(
,
)
0
(
!×,−!× !×−!×
−!×,+!,×−!×+!,×
)
0
(
)
b. En déduire que la matrice I – M est inversible et préciser son inverse.
rappel du cours :
Définition :
?A:n"= @>:AA':n
AA'0
In
A'A0
In
B
In
:n
Propriétés :
>':AA': AA'0
In
A'A0
In
:
=C: :">
>:
'A"A'AA'0
In
Retour à l'exercice :
DB0
(
,
)
Soit on calcule B(I – M) et on montre que B(I – M) = I,
soit on rappelle la propriété 1/
!"#$%#"$&'
()*')+++()(,
Euclide d’Alexandrie
:AB=I9M>B0I!I9M":I9M
B0
(
,
)
On a aussi : B×(I – M) = I
Important puisqu'en général le produit de matrices n'est pas commutatif.
c. Déterminer la matrice U telle que U = M
×
U + P.
Commentaires et méthode :
444 #/
:=:>
'/*xx0&x1
/=9&>x0
%AA9&A"
444*!$$
444*:"!:=# >7
C:/:A:
Retour à l'exercice/
U = M×U1P⇔U9M×U0P⇔=I9M>×U0P
D/B×=I9M>×U0B×P=L'utilité de savoir que B
×
(I – M) = (I – M)
×
B = I>
*:B!U0B×P0
(
,
)
×
(
.
-
)
0
(
,×.+×-
×.+×-
)
0
(
3
-
)
3) Pour tout entier naturel n, on pose
Vn
=
Un
– U
a. Justifier que, pour tout entier naturel n,
Vn+
= M
×
Vn
'n!
(Vn)
!
Vn+
0
Un+
9U
Un+
0M×
Un
1P!
Vn+
0M×
Un
1P9U
D!U0M×U1P.
D/
Vn+
0M×
Un
1P9=M
×
U + P>
= M×
Un
9M×U
0M×=
Un
9U>0M×
Vn
/n!
Vn+
0M×
Vn
b. En déduire que, pour tout entier naturel n,
Vn
=
MnV
.
!"#$%#"$&'
,()*')+++()(,
Euclide d’Alexandrie
Démonstration par récurrence.
n!
n
/
Vn
0
MnV
*n∈ℕ
Initialisation :
n0
M
0I!:
V
0
M
V
Hérédité /
'n
n
D/
Vn
0
MnV
=E#@>
D!
Vn+
0M×
Vn
:@>
:B!
Vn+
0M×
MnV
:@:##@
0
Mn+
V
n+
D/
n
⇒
n+
Conclusion :
*:@:A!
n
n
4. On admet que, pour tout entier naturel n,
Vn
=
(
−
×!3
n
−,
×!)n
−)
×!3n+,
×!)n
)
a. Pour tout entier naturel n, exprimer
Un
en fonction de n et en déduire la limite de la suite
(an)
n!
Vn
0
Un
9UU0
(
3
-
)
!
:B!
Un
0
Vn
1U0
(
−
×!3n−,
×!)n+3F
−)
×!3n+,
×!)n+-
)
D/n!
an=−
×!3n−,
×!)n+3
9G!3G9G!)G!
(!3n)
(!)n)
!
(an)
3
b. Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme.
D":": 3"
!"#$%#"$&'
)()*')+++()(,
1
/
5
100%
