TS SPE CHP.02 Page 1 sur 3 Chapitre 2 : Nombres premiers. I

TSSPE CHP.02
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Chapitre 2: Nombrespremiers.
I. Nombrespremiers.
1. Définition :Ondit qu’unentier naturelestunnombrepremiers’ilaexactement deux
diviseurs1etluimême.
2. Exemples:2,3,5….
3. Propriété:Toutentiernaturelsupérieurà1,nonpremier,admetau moinsundiviseur
premieràsavoirlepluspetitdiviseurdansIN autreque1.
Preuve:sin>1n’estpaspremierl’ensembledesesdiviseursstrictementsupérieursà
1contientaumoinsunélémentàsavoirn.Iladmetdoncunpluspetitélémentnotép.
pestpremiercars’ilavaitundiviseurd,ddiviseraitnetpneseraitpaslepluspetit!
4. Critère(simple)deprimalité:Soitnunentiernaturelsupérieurouégalà2.Sinn’est
divisibleparaucunentierptelque2 £p £ nalorsnestpremier.
Preuve:sinn’estpaspremieralorsiladmetundiviseurpremierpquiestsonpluspetit
diviseur.Doncn=pqavec1<p £qetp² £pqdoncp² £net2 £p £ n
Parcontrapositionsinn’estdivisibleparaucunnombrepremiertelque2 £p £ n
alorsnestpremier.
5. Théorème:Ilexisteuneinfinitédenombrespremiers.
Preuve:onraisonneparl’absurdeensupposantqueilyaunnombrefinidenombres
premiers:p1,p2,………….pn
Soitalorsn=p1 ´p2,………… ´pn +1
nn’estdivisibleparaucundesnombrespremiersp1,p2,………….pn carlerestedela
divisioneuclidiennedenparpi est1 pourtoutivariantde1àn.
Ornadmetundiviseurpremierquidoncnefaitpaspartiedecettelistecequiprouve
quecetteliste« finie»n’existepas.
II. Décompositionenproduitdenombrespremiers.
1. Théorème: Toutentiernaturelestpremierouproduitdenombrespremiers.
Preuve:n ³2doncnadmetaumoinsundiviseurpremierp1 etn=p1n1
avec1 £n1 <n
Sin1 =1alorsn=p1 etnestpremier
Sinononrecommenceavecn1 =p2n2 etc…
onconstruitainsiunesuited’entiersnaturelsni strictementdécroissante:
1£….<ni <…<n2 <n1 cettesuiteestfinieetledernierentierest1.
2. Exempleetdispositionpratique: 16758
3. Théorème: La décomposition en produit de nombres premiers de tout entier
naturelestUNIQUE.
ADMISpourl’instant.

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4. Conditiondedivisibilité: Soit a et b deux entiers naturels au moins égaux à 2
décomposésenproduitdenombrespremiers.
bdivisea si et seulement sitout facteur premier figurant dans ladécomposition de b
figureaussidanscelledeaavecunexposantsupérieurouégalàceluiqu’iladansla
décompositiondeb.
Preuve:bdiviseadonca=bq= r
r
ppp b b
b ´ ´ ´ ......
2
1
21 ´q
cequiprouvelerésultatgrâceàl’unicitédeladécomposition
Réciproquementsib= r
r
ppp b b
b ´ ´ ´ ......
2
1
21
eta= k
k
ppp a
a
a ´ ´ ´ ......
2
1
21
aveck ³ret b £ ai pour1 £i £ralorsilestaisédejustifierquebdivisea.
III. PPCMdedeuxentiers.
1. Théorèmeetdéfinition :Soitaetbdeuxentiersnaturelsnonnuls.
L’ensemble des multiples communs à a et b strictement positifs admet un plus petit
élémentappeléPPCMdeaetb.
Preuve: L’ensemble des multiples communs strictement positifs à a et b n’est pas
vide:ilcontient ab etc’estunepartiedeIN.Donciladmetunpluspetitélément.
2. Théorème:Lesmultiplescommunsàdeuxentiersnaturelsnonnulssontlesmultiples
deleurPPCM.
Preuve: Soitm=PPCM(a;b).Unmultipledemseraunmultipledeaetunmultiple
deb.
RéciproquementsoitMunmultiplecommunàaetàb.
DivisonsMparm :M=mq+ravec0 £r<m
aetbdivisentmetaetbdivisentMdoncaetbdivisentM–mqdoncdivisentrdoncr
est multiple commun à aet b avec0 £r < m doncr = 0et M = mq doncM est un
multipledem.
3. Propriété:Soita,betktroisentiersnaturelsnonnuls.
PPCM(ka,kb)=kPPCM(a ;b)
Preuve: Onnotem=PPCM(a;b)ilexistep Î IN telquem=paetp’ Î IN telque
m=p’b Donckm=kpaetkm=kp’b
ainsikPPCM(a;b)estunmultiplecommunstrictementpositifdekaetkb.
DoncPPCM(ka;kb) £kPPCM(a ;b)
NotonsM=PPCM(ka;kb)ilexisteq Î IN telqueM=qkaetilexisteq’ Î IN tel
queM=q’kbdoncadiviseM
k etbdiviseM k ainsiM k estunmultiplecommunàaetb
doncM
k ³mdoncPPCM(ka;kb) ³kPPCM(a ;b)d’oùl’égalitédemandée.

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4. Extensionà ZZ.
Siaetbsontdeuxentiersrelatifsnonnuls,onpose:
PPCM(a; b)=PPCM( ½a ½; ½b ½)
Lapropriétévueen3.s’écritalors:si a,betktroisentiersrelatifsnonnuls.
PPCM(ka,kb)= ½k ½ ´ PPCM(a ;b)
IV Utilisationdeladécomposition enproduitdenombrespremiers.
1. Théorème:Soitaetbdeuxentiersnaturelssupérieursà1.Onlesdécomposeenproduit
denombrespremiers.
LePGCDdeaetdebestalorségalauproduitdesfacteurspremierscommunsaux
deux décompositions affecté chacun du plus petit exposant figurant dans l’une ou
l’autredécomposition
Preuve:
a= n
n
ppp a a
a ´ ´ ´ ......
2
1
21 etb=
n
n
ppp b b
b ´ ´ ´ ......
2
1
21
ennotant pi
,pourivariantde1àn, lesnombrespremiersfigurantdansl’uneaumoins
desdécompositions.
Les ai pourientiervariantde1àn,sontdesentiersnaturelséventuellementnulsetles
bi pouri entiervariantde1àn,sontdesentiersnaturelséventuellementnuls
Undiviseurcommundauradoncauradoncunedécompositiondelaforme:
d= n
n
ppp d d
d ´ ´ ´ ......
2
1
21 avec di £ ai pourtoutentieri variantde1àn carddiviseaet
avec di £ bi pourtoutentieri variantde1àn carddiviseb.
Notons gi =min(ai ;bi)pourtoutentieri variantde1àn.
Onadonc di £ gi pourtoutentieri variantde1àn.
LePGCDestalorsobtenuenprenant di = gi pourtoutentieri variantde1àn.
Exemple:
2. Théorème:Soitaetbdeuxentiersnaturelssupérieursà1.Onlesdécomposeenproduit
denombrespremiers.
LePPCMde a etde bestalorségalau produit desfacteurspremierscommunsou
non communs aux deux décompositions affecté chacun du plus grand exposant
figurantdansl’uneoul’autredécomposition.
Preuve:identiqueàlaprécédenteennotant Gi = max (ai ;bi)pourtoutentieri variantde
1àn.
LePPCMestégalà: n
n
ppp G G
G ´ ´ ´ ......
2
1
21
Exemple:
3. Théorème:Soitaetbdeux entiersnaturelssupérieursà0.
PGCD(a; b) ´PPCM(a ; b)=a ´b
Preuve: enutilisantlesnotationsprécédentesil estévidentque!
Gi + gi = ai + bi pourtoutentieri variantde1àn.
L’exposant de pi dans le produit PGCD ´ PPCMest donc ai + bi pour tout entier i
variantde1àn c’estégalementceluidepi dansleproduitab.
Remarque:aetbpremiersentreeux ÛPPCM(a; b)=ab