Topologie Algébrique François Laudenbach

UNIVERSIT´ E DE NANTES
D´ EPARTEMENT DE MATH´ EMATIQUES
Maˆıtrise : Topologie Alg´ebrique
Fran¸cois Laudenbach (CM) & Friedrich Wagemann (TD)
Introduction
Un corps de base ´etant fix´e, on sait que les espaces vectoriels de dimension
finie sont caract´eris´es `a isomorphisme lin´eaire pr`es par un nombre entier, `a
savoir la dimension. Une question na¨ıve, mais naturelle, est de savoir si une
telle d´emarche peut ˆetre suivie pour les espaces topologiques.
La consid´eration des sous-espaces topologiques de Rou de R2montre que
la situation est horriblement compliqu´ee : penser aux ensembles de Cantor
ou `a leurs compl´ementaires. N´eanmoins l’objet de la Topologie Alg´ebrique est
bien celui-l`a : attacher aux espaces topologiques des invariants alg´ebriques
(nombres, groupes, etc.) de sorte que deux espaces hom´eomorphes aient les
mˆemes invariants, et esp´erer que l’on aura suffisamment d’invariants pour
obtenir une classification. D´ej`a la premi`ere partie du programme est tr`es forte
puisqu’elle permettra de reconnaˆıtre que certains espaces topologiques ne sont
pas hom´eomorphes entre eux (par exemple : R2et R3, le cercle et la sph`ere).
La seconde partie semble un espoir vain, mais en fait pas tant que cela, comme
le montre le cas des surfaces topologiques, dont la th´eorie est abord´ee `a la fin
de ce cours en guise d’applications des outils qui y sont introduits.
Le fondateur reconnu de la Topologie Alg´ebrique est Henri Poincar´e avec son
m´emoire Analysis Situs (Journal de l’´ Ecole polytechnique, 1895) et ses cinq
compl´ements publi´es dans diff´erents autres journaux. Henri Poincar´e ouvre
deux directions, celle de l’homologie (qui n’est pas abord´ee dans ce cours) et
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2Topologie Alg´ebrique
celle du groupe fondamental, qui sera un peu plus tard le point de d´epart de
la th´eorie de l’homotopie.
Pour ´etudier les fonctions analytiques d’une variable complexe d’un point de
vue topologique, Poincar´e a rapproch´e trois concepts : groupe fondamental,
action de groupe proprement discontinue, revˆetement. C’est l’articulation
de ces trois concepts qui est d´evelopp´ee dans la premi`ere partie de ce cours
(chapitres I `a V). Certains aspects de la th´eorie des revˆetements, ´etudi´es
pour eux-mˆemes sont post´erieurs `a Poincar´e ; ils ont re¸cu de nombreuses
contributions et ont ´et´e syst´ematiquement rassembl´es par H. Seifert et W.
Threlfall dans leur c´el`ebre livre Lehrbuch der Topologie, 1934.
La seconde partie (chapitres VI `a VIII) est l`a pour sortir de la th´eorie et
se replonger dans l’esprit de Poincar´e. Un th´eor`eme de Poincar´e, rarement
enseign´e, traite des pavages ; c’est une belle application de tout l’arsenal qui
pr´ec`ede. ` A titre un peu anecdotique, il est pr´esent´e ici dans le cadre des
pavages du plan euclidien. En fait Poincar´e l’avait con¸cu pour les pavages du
plan hyperbolique ou demi-plan de Poincar´e H:= {z=x+iy ∈C|y > 0}.
C’est ce qui est fait au chapitre VII apr`es une rapide introduction `a la
g´eom´etrie hyperbolique. On trouve que presque toutes les surfaces sont des
quotients tr`es explicites de Hpar des actions de groupes, de la mˆeme fa¸con
que le tore est le quotient du plan euclidien par le groupe des translations
enti`eres. Apr`es avoir d´ecouvert les surfaces par ce biais, au chapitre VIII on
en aborde la th´eorie du point de vue topologique. C’est de nouveau grˆace au
groupe fondamental que l’on peut d´efinir correctement des notions telles que
le bord d’une surface ou son orientabilit´e.
F. Laudenbach
Nantes, le 18 aoˆut 2004

Universit´e de Nantes - Maˆıtrise de math´ematiques : Topologie Alg´ebrique 3
Table de mati`eres
Premi`ere partie
Chapitre I : Groupes et espaces topologiques
1. Action de groupes
2. Ensemble quotient ou ensemble des orbites
3. Espaces topologiques
4. Rappels sur la compacit´e
5. Topologie produit (cas des produits finis)
6. Recollements
Chapitre II : Revˆetements
7. L’exponentielle complexe et ses proprit´es topologiques
8. Revˆetements, premiers exemples
9. Le revˆetement induit
10. Th´eor`eme fondamental des revˆetement : le rel`evement de chemins
11. Simple connexit´e
Chapitre III : Groupe fondamental
12. Construction du groupe fondamental, propri´et´es g´en´erales
13. Groupe libre `a deux g´en´erateurs
14. La suite exacte des revˆetements.
Chapitre IV : Groupe d´efini par g´en´erateurs et relations,
Th´eor`emes de Van Kampen
15. Groupe d´efini par g´en´erateurs et relations,
16. Produit libre de deux groupes
17. Premier th´eor`eme de Van Kampen
18. Second th´eor`eme de Van Kampen

4Topologie Alg´ebrique
Chapitre V : Classification des revˆetements
19. Le th´eor`eme de rel`evement
20. Revˆetement 1-connexe ou universel
21. Applications :
A. Le th´eor`eme de Schreier
B. Automorphismes de revˆetements
Seconde partie
Chapitre VI : Pavages du plan euclidien
22. Isom´etries du plan
23. Domaine de Dirichlet
24. Le th´eor`eme de Poincar´e
Chapitre 7 : Introduction `a la g´eom´etrie hyperbolique
25. La sph`ere de Riemann
26. La m´etrique de Poincar´e sur Hou m´etrique hyperbolique
27. G´eod´esiques
28. Triangles g´eod´esiques
29. Polygones r´eguliers
Chapitre : Surfaces
30. D´efinition des surfaces
31. Surfaces orientables
32. L’orientabilit´e du point de vue alg´ebrique
33. Classification des surfaces compactes orientables `a bord vide
34. Classification des surfaces compactes non-orientables.

I : Groupes et espaces topologiques 5
Chapitre I : Groupes et espaces topologiques
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Actions de groupes
1.1. D´efinition. — Un groupe Gagit `a gauche sur un ensemble Xsi l’on a
une loi de composition
G×X→X, (g, x)7→ g·x,
telle que
(a) g1·(g2·x) = (g1g2)·x(associativit´e)
(b) e·x=xpour tout x∈X.
1.2. Exemples. — 1) G=Z,X=Ravec g·x=x+g.
2) G=O(2), X=R2avec g·x= le produit de la matrice (2 ×2) gpar la
colonne x.
3) Soit D1et D2deux droites vectorielles dans R2. Soit σila sym´etrie ortho-
gonale par rapport `a Di;σi∈O(2). Soit Gle sous-groupe de O(2) engendr´e
par σ1et σ2(= le plus petit sous-groupe contenant σ1et σ2= l’ensemble de
tous les produits σ1, σ2, σ1σ2, σ2σ1, . . .). Si l’angle des deux droites est πp
n
(pet n´etant deux entiers premiers entre eux), ce groupe est not´e Dn; il est
d’ordre 2n. Si l’angle n’est pas dans πQ, il est d’ordre infini et est not´e D∞.
4) G=Bij(X) est l’ensemble des bijections de X, muni de la loi de groupe
g1g2=g1◦g2et de l’action g·x=g(x).
1.3. Proposition. — La donn´ee d’une action de Gsur X´equivaut `a la
donn´ee d’un morphisme de groupes G→Bij(X).
D´emonstration. — 1) ` A partir de l’action, pour tout g∈G, on a une applica-
tion fg:X→Xd´efinie par fg(x) = g·x. On a
(1) fg1◦fg2=fg1g2
d’apr`es l’associativit´e de l’action et
(2) fe=IdX.
Donc
fg−1◦fg=fg◦fg−1=IdX