Chapitre 5: Applications de l`intégrale définie et intégrales impropres

Chapitre 5: Applications de
l’intégrale
MATH-1701: Calcul II
Nicolas Bouffard
Hiver 2016
1
1. Calcul de volume
Question: Comment calculer le volume d'un solide obtenu en faisant la rotation
d'une région du plan selon un axe ?
ATTENTION: DESSINEZ TOUJOURS LE SOLIDE AVANT DE COMMENCER
Méthode 1: Méthode du disque
Idée de la méthode:
Il s'agit en fait de faire la somme du volume d'un infinité de petit cylindre.
C'est à dire que l'on doit faire l'intégrale des petits volumes.
2
Le volume d'un cylindre est donné par l'équation:
V = π r2E
r = le rayon du cercle qui forme la base du cylindre
E = l'épaisseur (ou hauteur) du cylindre
Volume d'un solide obtenu par rotation selon l'axe des x ou l'axe des y:
Le volume de la région engendré par la rotation autour de l'axe des x de la région
fermé y = f (x), x = a, x = b et y = 0 est donné par l'intégrale:
b
b
b
Volume = ∫ π r dx = ∫ π y dx = ∫ π [ f (x)]2 dx
2
a
2
a
a
Le volume de la région engendré par la rotation autour de l'axe des x de la région
fermé x = g(y), y = a, y = b et x = 0 est donné par l'intégrale:
b
b
b
Volume = ∫ π r dy = ∫ π x dy = ∫ π [g(y)]2 dy
a
2
a
2
a
3
Exemple: Calculez le volume de la région obtenue par la rotation autour
de l'axe des x de la région fermé y = x 2 , x = 1, x = 2 et y = 0
Volume = ∫ π ( x
2
1
)
2 2
2
⎛ 2 5 15 ⎞ 31π
⎡ x5 ⎤
dx = π ⎢ ⎥ = π ⎜ − ⎟ =
unité 3
5
⎝ 5 5⎠
⎣ 5 ⎦ x=1
⇒
4
Exemple: Calculez le volume de la région obtenue par la rotation autour
de l'axe des y de la région fermé y = ln(x), y = 0, y = 1 et x = 0
On remarque que dans ce cas: x = e y et donc:
Volume = ∫ π ( e
1
0
)
y 2
1
dy = ∫ π e2 y dy =
0
π 2 0
π
⎡⎣ e − e ⎤⎦ = (e2 − 1) unité 3
2
2
⇒
5
Modification de la méthode pour d'autre axe de rotation:
L'équation pour le calcul du volume peut être écrite de façon très générale
comme étant:
b
Volume = ∫ π r 2 E
a
Ou E représente l'épaisseur des cylindres, c'est à dire E = dx ou E = dy, et
r représente le rayon des cylindres, que l'on doit trouver dépendant du contexte.
Exemple: Trouver le volume du solide obtenue par la rotation autour de l'axe
x = 2 de la région y = x 2 , x = 0, x = 2 et y = 0
4
4
Volume = ∫ π r dy = ∫ π ( y − 2)2 dy
0
2
0
⇒
6
Question: Comment calculez le volume du solide obtenu par la rotation selon l'axe des y de
la région fermé définie par les courbe y = sin(x) et x = 0, x = π et y = 0 ?
Méthode 2: La méthode du tube
Le volume d'un tube est donné par la formule: Volume = 2π rHE
r = rayon
H = hauteur
E = l'épaisseur du tube, il s'agit soit de dx ou dy selon le contexte
Important: Comme pour la méthode des disques, il est nécessaire de faire et schéma avant
de commencer
π
π
π
0
0
0
Réponse à la question: Volume = ∫ 2π rHE = ∫ 2π xydx = ∫ 2π x sin(x)dx
Pour calculez l'intégrale, posons u = x et dv = sin(x)dx ce qui nous donne:
∫ x sin(x)dx = −x cos(x) + ∫ cos(x)dx = −x cos(x) + sin(x) + C
Donc: Volume = 2π [ −x cos(x) + sin(x)]0 = 2π [ (π + 0) − (0 + 0)] = 2π 2 unité 3
π
7
Exemple: Calculez la volume du solide obtenu par la rotation selon l'axe de y
de la région fermé défini par les courbe y = x 2 + 2, y = 1, x = 1 et x = 3
Réponse: Volume = ∫ 2π rHE = ∫ 2π x(y − 1)dx = ∫ 2π x(x + 1)dx = 2π ∫ ( x 3 + x ) dx
3
3
3
1
1
1
2
3
1
3
⎡ x4 x2 ⎤
⎛ ⎛ 81 9 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎞
= 2π ⎢ + ⎥ = 2π ⎜ ⎜ + ⎟ − ⎜ + ⎟ ⎟ = 48π unité 3
⎝⎝ 4 2⎠ ⎝ 4 2⎠⎠
2 ⎦1
⎣4
8
2. Longueur de courbes planes
Théorème: Soit une fonction f , telle que f ′ est continue sur [a,b]. La longueur L de la courbe
joignant les points R(a, f (a)) et S(b, f (b)) est donnée par:
L=∫
b
a
1+ ( f ′(x)) dx = ∫
2
b
a
2
⎛ dy ⎞
1+ ⎜ ⎟ dx
⎝ dx ⎠
Remarque: Dans plusieurs cas, il est plus pratique d'exprimer x en fonction de y plutôt que le
dx
contraire. Dans ce cas, si x = g(y),
est continue, alors la longeur de la courbe sur l'intervalle
dy
y ∈[c,d] est donné par:
L=∫
d
c
2
⎛ dx ⎞
1+ ⎜ ⎟ dy
⎝ dy ⎠
9
D'où vient la formule pour la longeur d'une courbe ?
Pour trouver la longueur de la courbe, on trouve la longueur de
chaque petit segment, puis on les additionnes (i.e. on calcul
l'intégrale)
2⎞
⎛
dy
⎛ ⎞
dx 2 + dy 2 = ⎜ 1+ ⎜ ⎟ ⎟ dx
⎝ dx ⎠ ⎟⎠
⎜⎝
dx
dy
10
Exemple: Calculez la longueur de la courbe définie par la fonction f (x) = x 2 entre x = 0
et x = 3
Réponse: L = ∫
3
0
2
3
3
⎛ d ⎞
1+ ⎜ x 2 ⎟ dx = ∫ 1+ (2x)2 dx = ∫ 1+ 4x 2 dx
0
0
⎝ dx ⎠
1
1
tan(θ ) on obtient: dx = sec 2 (θ )dθ et donc:
2
2
1 arctan(6)
1 arctan(6) 3
L= ∫
1+ tan 2 (θ ) sec 2 (θ )dθ = ∫
sec (θ )dθ
2 0
2 0
1
1
arctan(6)
= [ ln | sec(θ ) + tan(θ ) | + sec(θ )tan(θ )]0
= ⎡ ln 37 + 6 + 6 37 ⎤ unité
⎦
4
4⎣
En posant x =
( (
)
)
11
Exemple: Calculez la longueur de la courbe définie par la fonction f (x) = 4x 2/3 sur l'intervalle
x ∈[1,8]
Réponse: Comme y = 4x
2/3
⎛ y⎞
on a donc x = ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
3/2
y 3/2
dx 3 1/2
=
et donc
= y . De plus, si x = 1
8
dy 16
alors y = 4, et si x = 8, alors y = 16.
L=∫
16
4
9y
256
⎛ 9y ⎞
1+ ⎜
dy
on
pose
maintenant
u
=
1+
donc
dy
=
du
⎝ 256 ⎟⎠
256
9
3/2
3/2
256 25/16
512
512 ⎡⎛ 25 ⎞
⎛ 73 ⎞ ⎤
3/2 25/16
⎡(u) ⎤⎦u=73/64 =
L=
udu =
⎢⎜ ⎟ − ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ unité
9 ∫ 73/64
27 ⎣
27 ⎣⎝ 16 ⎠
64
⎦
12
3. Aire des surfaces de révolution
Théorème: Soit une fonction f , telle que f (x) ≥ 0 sur [a,b] et f ′ est continue sur [a,b]. L'aire
de la surface engendrée par la rotation de la courbe autour de l'axe des x est donné par:
2
⎛ dy ⎞
L = ∫ 2π f (x) 1+ ( f ′(x)) dx = ∫ 2π y 1+ ⎜ ⎟ dx
a
a
⎝ dx ⎠
b
2
b
Remarque: Nous pouvons ajuster la formule selon nos besoins et les différents axes
de rotation, mais dans tous les cas, elle aura la forme suivante:
∫
b
a
2π Rℓ
Où R représente le rayon des cylindres
et ℓ représente un élément de longueur tel que nous l'avons vu dans la section précédente.
Les a et b doivent pour leur part être pris selon l'axe des x ou y dépendant de la variable
d'intégration.
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Exemple: Calculer l'aire du cone obtenu par la rotation autour de l'axe des y de la courbe
f (x) = x pour x entre 0 et 1.
Réponse:
2
1
⎛ dy ⎞
Aire = ∫ 2π x 1+ ⎜ ⎟ dx = ∫ 2π x 2dx = 2π unité 2
0
0
⎝ dx ⎠
1
14
Exemple: Trouver l'aire de la région obtenu par la rotation autour de l'axe des x de la fonction
f (x) = x 2 pour x entre 1 et 3
Réponse:
2
3
3
⎛ dy ⎞
2
2
Aire = ∫ 2π y 1+ ⎜ ⎟ dx = ∫ 2π x 1+ (2x) dx = ∫ 2π x 2 1+ 4x 2 dx
1
1
1
⎝ dx ⎠
3
On pose x =
1
1
tan(θ ) donc dθ = sec 2 (θ )dθ
2
2
π arctan(6) 2
π arctan(6) 2
2
2
Aire = ∫
tan (θ ) 1+ tan (θ ) sec (θ )dθ = ∫
tan (θ )sec 3 (θ )dθ
4 arctan(2)
4 arctan(2)
π arctan(6)
π arctan(6)
2
3
= ∫
(sec (θ ) − 1)sec (θ )dθ = ∫
sec 5 (θ ) − sec 3 (θ )) dθ
(
4 arctan(2)
4 arctan(2)
15
Réponse (Suite):
π arctan(6)
π arctan(6) 5
π
Aire = ∫
sec 5 (θ ) − sec 3 (θ )) dθ = ∫
sec (θ )dθ −
(
4 arctan(2)
4 arctan(2)
4
On va calculer ces deux intégrales séparément:
∫
arctan(6)
arctan(2)
sec 3 (θ )dθ
I = ∫ sec 3 (θ )dθ = ∫ sec(θ )sec 2 (θ )dθ Intégration par partie u = sec(θ ) et dv = sec 2 (θ )dθ
I = sec(θ )tan(θ ) − ∫ tan 2 (θ )sec(θ )dθ = sec(θ )tan(θ ) − ∫ (sec 2 (θ ) − 1)sec(θ )dθ
= sec(θ )tan(θ ) − ∫ sec 3 (θ )dθ + ∫ sec(θ )dθ
Ce qui nous donne:
sec(θ )tan(θ ) + ln sec(θ ) + tan(θ )
+C
2
Et pour l'autre intégrale, on a:
I=
I = ∫ sec 5 (θ )dθ = ∫ sec 3 (θ )sec 2 (θ )dθ Intégration par partie: u = sec 3 (θ ) et dv = sec 2 (θ )dθ
I = sec 3 (θ )tan(θ ) − 3∫ sec 3 (θ )(sec 2 (θ ) − 1)dθ = sec 3 (θ )tan(θ ) − 3I + 3∫ sec 3 (θ )dθ
sec 3 (θ )tan(θ ) 3sec(θ )tan(θ ) + 3ln sec(θ ) + tan(θ )
I=
+
+C
4
8
16
Réponse (Suite):
π arctan(6)
Aire = ∫
sec 5 (θ ) − sec 3 (θ )) dθ
(
4 arctan(2)
arctan(6)
π
⎡⎣ 2sec 3 (θ )tan(θ ) − sec(θ )tan(θ ) − ln sec(θ ) + tan(θ ) ⎤⎦ arctan(2)
=
32
On utilise maintenant les deux triangles ci dessous pour évaluer
sec(arctan(6)) et sec(arctan(2)) ce qui nous donne finalement:
(
) (
)
π ⎡
12( 37 )3 − 6 37 − ln 37 + 6 − 4( 5 )3 − 2 5 − ln 5 + 2 ⎤ unité 2
⎦
32 ⎣
≈ 257,5 unité 2
Aire =
5
37
θ
6
1
sec(arctan(6)) = 37
θ
2
1
sec(arctan(2)) = 5
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4. Les intégrales impropres
Définition:
L'intégrale définie d'une fonction f (x) est dites impropre si:
(a) La fonction f (x) tend vers l'infinie pour au moins une valeurs
(b)
dans l'intervalle d'intégration
OU
Au moins une des bornes d'intégration est infinie
Définition:
Nous devons toujours traiter un intégrale impropre en utilisant des
limites. Nous dirons qu'un intégrale impropre converge si la limite
existe et est un nombre fini. Autrement, nous dirons que l'intégrale
diverge.
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Cas 1: L'une des bornes est ± ∞
On doit remplacer cette borne par une variable (Exemple M ) puis on calcule
la limite quand M tend vers ± ∞
Cas 2: La fonction tend vers l'infinie pour une valeur c dans le domaine d'intégration:
On sépare l'intégrale en deux, de sorte que c devienne l'une des bornes, on remplace
c par une variable, puis on prends la limite de cette variable quand elle tend vers c
Exemple: Évaluer l'intégrale
∫
∞
1
1
dx
2
x
Réponse:
Comme la borne supérieure est l'infinie, nous devons prendre une limite:
∫
∞
1
1
⎛ M 1 ⎞
⎛ −1 ⎞
dx
=
lim
dx
=
lim
⎜
⎟
⎜⎝ + 1⎟⎠ = 1
2
2
∫
1
M
→∞
M
→∞
⎝
⎠
x
x
M
19
Exemple: Évaluer l'intégrale
⎛ 1 ⎞
∫ 0 ⎜⎝ x − 1⎟⎠ dx
2
Réponse:
On remarque que la fonction à intégrer n'est pas définie en x = 1. On va donc
devoir séparer l'intégrale en deux et prendre des limites.
2 1
1 1
2 1
m 1
2 1
lim− ∫
dx + lim+ ∫
dx
∫0 x − 1dx = ∫0 x − 1dx + ∫1 x − 1dx = m→1
0 x −1
n→1 n x − 1
= lim− ⎡⎣ ln x − 1 ⎤⎦ x=0 + lim+ ⎡⎣ ln x − 1 ⎤⎦ x=n = lim− ( ln m − 1 ) + lim+ ( − ln n − 1 )
m→1
n→1
m→1
n→1
m
2
= ∞−∞
L'intégrale est donc divergente.
f (x) =
1
x −1
20