CH V ARITHMETIQUES. 1/3 I. LES ENSEMBLES DE NOMBRES. 1. VOCABULAIRE ET NOTATION : On note ℕ l’ensemble des entiers naturels. Exemple : 0 ; 1 ; 2 ; etc. On note ℤ l’ensemble des entiers relatifs. Exemple : -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; etc. On note ID l’ensemble des nombres décimaux. (nombre qui ont un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule) Exemple : 5,24 ; -7,6 ; 2 ; etc. On note ℚ l’ensemble des nombres rationnels. (nombre s’écrivant sous la forme d’un quotient d’entiers) Exemple : 1 3 ; −5 7 ; 2 ; etc. On note ℝ l’ensemble des nombres réels. (Tout nombre rencontré au collège est réel). Remarque : Certains nombres sont réels mais pas rationnels. On dit qu'ils sont irrationnels. Exemple : ; 2 ; etc. 2. REPRÉSENTATION : ℝ 5 ℚ ID 0,25; ℤ -1,8 ; ℕ 0 ; 1 ; 2 ; 3 ... -1 ; -2; -3; ... 2 1/3 ; - 7/15; 17,36; Π; ..... ... 1/2; ... II. DIVISIBILITE. Définition : soient A et B deux entiers naturels avec B non nul. Effectuer la division euclidienne de A par B, c'est déterminer deux entiers naturels Q et R tels que : A = B × Q + R avec R < B. Q s'appelle le quotient entier et r le reste de la division euclidienne de A par B. Exemple : Effectuer la division euclidienne de 606 par 7, puis de 1027 par 13. Cours 3ieme (Ploy laurent) CH V ARITHMETIQUES. 2/3 Définition : Soient A et B deux entiers naturels avec B non nul. On dit que B est un diviseur de A s’il existe un entier naturel Q tel que A = Q × B. Remarques : • On dit « B est un diviseur de A » ou « A est un multiple de B » ou encore « A est divisible par B ». • Si B est un diviseur de A, alors Le reste de la division euclidienne de A par B est nul. Exemples : les diviseurs de 10 sont : .............................................. Les diviseurs de 12 sont : ................................... Propriété -définition : Tout entier naturel (supérieur à 1) est au moins divisible par 1 et par lui-même. On appelle nombre premier, un entier naturel (supérieur à 1) seulement divisible par 1 et par lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sont des nombres premiers. Ils ne sont divisibles que par 1 et par eux même. III. DIVISEUR COMMUN DE 2 ENTIERS NATURELS- PGCD. Définition : Soient A, B et C, trois entiers naturels. On dit que C est un diviseur commun à A et B, si C est à la fois un diviseur de A et de B. Exemple : Les diviseurs de 24 sont : ............................................................. Les diviseurs de 36 sont : ............................................................ Donc les diviseurs communs à 24 et 36 sont : ................................................... Définition : Parmi les diviseur communs de A et B, l’un d’eux est plus grand que les autres. On l’appelle le plus grand commun diviseur et on le note PGCD(A ;B). Exemple : PGCD(24 ; 36) = ......... et PGCD(8 ; 12) =................ IV. ENTIERS NATURELS PREMIERS ENTRE EUX. Définition : On dit que 2 entiers naturels sont premiers entre eux, lorsque leur seul diviseur commun est 1. Remarque : Cette définition est équivalente à PGCD(A ; B) = 1. Exemple : Les diviseurs de 14 sont ............................Et les diviseurs de 15 sont .................................. Donc PGCD(14 ; 15) =........ , autrement dit 14 et 15 sont premiers entre eux. V. FRACTIONS IRREDUCTIBLES. Définition : On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Exemple : 6 9 7 9 est une fraction irréductible car 7et 9 sont premiers entre eux. n’est pas une fraction irréductible car PGCD( 6 ; 9) = 3, autrement dit 6 et 9 ne sont pas premiers entre eux. Cours 3ieme (Ploy laurent) CH V ARITHMETIQUES. Propriété : Soient 2 entiers naturels A et B, et K = PGCD(A ; B). En simplifiant la fraction 3/3 A B par K, on obtient une fraction irréductible. Exemple : On a vu que PGCD(26 ; 36) = .................... Donc 24 36 12 ×............. ............. =12 ×............. = ............. VI. ALGORITHME D’EUCLIDE. Propriété : Si on note R le reste de la division Euclidienne de A par B ( avec A>B), alors PGCD(A ; B) = PGCD(B ; R). Algorithme d’Euclide : Pour calculer le PGCD de 2 entiers naturels A et B ( A>B) on utilise l’algorithme suivant : 1°/ Diviser A par B, on obtient alors le reste R. 2°/ Si R = 0, alors PGCD(A ; B) = B. 3°/ Sinon, on remplace A par B et B par R et on a PGCD (A ; B) = PGCD (B ; R). On recommence à partir de 1°/. Exemple : Calcul du PGCD (1078 ; 322). 1° étape 2°étape Dividende Diviseur 1078 322 322 112 reste 112 quotient 3 3°étape 4° étape On déduit de ce tableau que PGCD( 1078; 322) = PGCD (322 ; 112) = PGCD(...... ; .........) = 14. VII. EXERCICE RESOLU. 323 à fin de la rendre irréductible. 247 2°/ Un libraire a en stock 323 romans policiers et 247 romans de science-fictions. Pour liquider son stock, il veut vendre ces livres en faisant des lots de la manière suivante : • Tous les lots sont identiques (même nombre de romans policiers et même nombre de romans de science-fiction dans chaque lots) • Le stock doit être entièrement liquider (chaque roman doit appartenir à un lot) Déterminer le nombre maximum de lots que peut constituer le libraire, ainsi que le nombre romans policiers et de romans de science-fictions dans chaque lot. 1°/ Simplifier la fraction A = A savoir pour le contrôle et le brevet : • Savoir déterminer le PGCD de 2 entiers naturels. • Savoir si 2 entiers sont premiers entre eux. • Rendre une fraction irréductible. Cours 3ieme (Ploy laurent)