M1: EXERCICES DE PROBABILITÉS-STATISTIQUES 1. Rappels de

M1: EXERCICES DE PROBABILITÉS-STATISTIQUES
1. Rappels de probabilités
Exercice 1. Un livre de 400 pages contient 100 erreurs distribuées au hasard. On ouvre le
livre à une page quelconque. Le nombre d’erreurs rentrées sur cette page est une variable
aléatoire.
1.1. Quelle est la loi de probabilité de X?
1.2. Quelle est la probabilité que le nombre d’erreurs constatées sur la page soit stricte-
ment supérieur à 5?
1.3. Quelle est la probabilité qu’il soit égal à 2, 3, ou 4?
Exercice 2. On considère dans cet exercice des variables aléatoires de Poisson, que l’on
note P(λ).
2.1. Soit X1∼ P(λ)avec λ > 0. Calculer E(X1)et E(X1(X1−1)) puis vérifier que
E(X1) = V(X1).
2.2. Calculer pour tout z∈[0,1]
E(zX1) = X
k≥0
P(X1=k)zk,
c’est-à-dire la transformée en zde la loi de X1. Comment en déduire les valeurs trouvées
précédemment? (on cherchera à dériver l’expression en la variable z).
2.3. Soient X1et X2deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement une
loi P(λ1)et P(λ2). En calculant E(zX1+X2), montrer que X1+X2suit une loi P(λ1+λ2).
2.4. Soit (X1,··· , Xn)un n-échantillon de loi P(λ). Déduire de la question précédente
la loi de Snlorsque Sn=X1+··· +Xn.
2.5. On retourne à la situation de la question 2.3, et on note X=X1+X2. Déterminer
la loi conditionnelle de X1sachant (X=n)pour n∈N.
Exercice 3. La loi du couple (X, Y )est définie par le tableau suivant:
P(1,1) = 0 P(2,1) = 1
4
P(1,2) = 1
2P(2,2) = 0
P(1,3) = 0 P(2,3) = 1
4.
3.1. Trouver les lois marginales de Xet Y.
3.2. Montrer que Xet Yne sont pas indépendantes.
3.3. Calculer cov(X, Y ). Donner une conclusion à cet exercice.
Exercice 4. Soient deux variables continues, Xet Y, qui ont pour fonction de densité
conjointe
f(x, y) = x+y, pour 0≤x≤1,et 0≤y≤1.
1

2 M1 PROBAS - LISTE D’EXERCICES
4.1. Déterminer les fonctions de densité marginales de Xet Y.
4.2. Calculer E[X+Y],V(X+Y)et ρX,Y .
Exercice 5. Un restaurant peut servir 75 repas. La pratique montre que 20 %des clients
ayant réservé ne viennent pas.
5.1. Le retaurateur accepte 90 réservations. Quelle est la probabilité qu’il se présente
plus de 65 clients?
5.2. Combien le restaurateur doit-il accepter de réservations pour avoir une probabilité
supérieure ou égale à 0.9 de pouvoir servir tous les clients se présentant?
Exercice 6. Pendant un temps déterminé, le nombre Nde véhicules se présentant à un
péage est une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ.
6.1. Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires Fet Mreprésentant les
nombres de conducteurs de sexe féminin et masculin respectivement (N=F+M), sachant
que la probabilité que le conducteur d’un véhicule soit de sexe féminin est p.
6.2. Fet Msont-elles indépendantes?
Exercice 7. Soit Xune variable aléatoire réelle suivant la loi de Cauchy, de densité
1
π(1+x2). Dans les deux cas suivants, montrer que l’on a une variable aléatoire, puis déter-
miner sa densité lorsqu’elle existe.
7.1. Y1= 1/X.
7.2. Y2=X2−4X+ 3.
Exercice 8. Soit (X, Y )un couple indépendant de variables aléatoires. On suppose que
Xsuit la loi uniforme U([0,1]) et Yla loi exponentielle E(1).
8.1. Calculer la loi de la variable aléatoire Z=X+Y.
Exercice 9. Quand Riton et Nandrianina déjeunent chez Samira, Riton fait le partage
du saké. Il répartit équitablement le contenu du pichet entre les deux verres qui lui font
face. La différence Xde volume de saké entre le verre de droite et le verre de gauche
suit une loi normale de moyenne nulle. Sachant que Riton prend soit le verre de droite
avec une probabilité p, soit le verre de gauche avec un probabilité q= 1 −p, on note Yla
différence de volume entre le verre de Riton et celui de Nandrianina.
9.1. Montrer que Xet −Xont même loi.
9.2. Montrer que la variable aléatoire Ysuit la même loi de probabilité que X.
9.3. Reprendre la même question dans le cas où Xsuit une loi absolument continue
quelconque de densité paire.
Exercice 10. Gabriel Sagard (missionnaire franciscain du 17èsiècle envoyé au Québec
pour évangéliser les Hurons) attend qu’un bateau vienne le chercher sur les berges du
Saint Laurent. Le temps Xiqui sépare le passage du bateau i−1du bateau ipour i≥1
suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0, et on suppose que les temps d’attente entre
deux bateaux successifs sont tous indépendants. On note Tnla variable aléatoire, définie
sur un certain espace de probabilité (Ω,F, P ), égale au temps qu’il faut attendre pour le
passage de nbateaux.
10.1. Calculer E[Tn]et V[Tn].

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10.2. Notons fnla densité de probabilité de Tnet Fnsa fonction de répartition. En
remarquant que Tn+1 =Tn+Xn+1, montrer que
fn+1(t) = λZt
0
fn(u) exp(−λ(t−u)) du1[0,∞[(t),
pour tout n≥1.
10.3. Montrer que fn(t) = λntn−1
(n−1)! exp(−λt)1[0,∞[(t)pour tout n≥1.
10.4. Trouver une relation de récurrence entre Fnet Fn+1. En déduire la valeur de Fn.
10.5. Fixons un instant t∈[0,∞[. Notons Ntla variable aléatoire discrète égale au
nombre de navires qui sont passés avant l’instant t. Montrer que pour n≥1on a
P(Nt=n) = Fn(t)−Fn+1(t), et que P(Nt= 0) = 1 −F1(t).
10.6. Déterminer la loi de Nt.
Remarque: La fonction t7→ Ntse nomme processus de Poisson.
Exercice 11. Soit γa,b la fonction:
γa,b(x) = 1
Γ(a)baxa−1e−x/b1{x>0},
où a > 0et b > 0et Γ(x) = R∞
0e−ttx−1dt.
11.1. Montrer que γa,b est une densité.
11.2. Soit Xune v.a. de densité γa,b. Vérifier, pour λ > 0:
E[e−λX ] = 1
(1 + λb)a, E[X] = ab, V arX =ab2.
11.3. Soit X(resp. X0) une v.a. de densité γa,b (resp. γa0,b); on suppose Xet X0
indépendantes. Montrer que X+X0a pour densité γa+a0,b.
11.4. Application: Soient X1, X2, ..., Xn, n v.a. indépendantes de même loi N1(0,1).
Montrer que X2
1+X2 2+... +X2 nsuit une loi gamma.
2. Vecteurs aléatoires gaussiens
Exercice 12. Soit I=R∞
0e−x2/2dx.
12.1. Montrer que Iest une intégrale convergente.
12.2. Calculer I2en utilisant le théorème de Fubini et en passant en coordonnées polaires;
en déduire la valeur de I.
Exercice 13. Soit Xune v.a. de loi N1(m, σ2)telle que P(X≥3) = 0.8413 et P(X≥
9) = 0.0228.Calculer met σ(on donne Φ(1) = 0.8413 et Φ(2) = 0.9772).
Exercice 14. Soit Xde loi N1(m, σ2).
14.1. On supppose que m= 0. On pose Y=eαX2avec α6= 0. Calculer E[Yn].
14.2. Déterminer la densité de |X−1|lorsque m= 2 et σ= 1.
Exercice 15. Soit une v.a. de Bernoulli: P(= 1) = P(=−1) = 1/2. On suppose
que est indépendante de X,Xde loi N1(0,1). Montrer que la loi de X est encore
gaussienne.

4 M1 PROBAS - LISTE D’EXERCICES
Exercice 16. Soit Ala matrice définie par
1 1 1
1 5 −1
1−1 2 
16.1. Montrer qu’il existe un vecteur gaussien Gcentré et de matrice de covariance A.
On notera X, Y et Zles coordonnées de G.
16.2. Gadmet-il une densité? Calculer la fonction caractéristique de G.
16.3. Caractériser la loi de U=X+Y+Z.
16.4. Montrer que (X−Y, X +Z)est un vecteur gaussien.
16.5. Déterminer l’ensemble des v.a. ξ=aX +bY +cZ, indépendantes de U.
Exercice 17. Soit Qune forme quadratique définie et positive sur Rn. On lui associe la
fonction fdéfinie par:
f(x) = λexp −Q(x)
2, x ∈Rn.
17.1. En fonction de Q, calculer l’unique valeur de λtelle que fest une densité (on
pourra montrer que fest la densité d’un vecteur gaussien).
17.2. Application: n= 2,Q(x, y)=3x2+y2+ 2xy.
Exercice 18. Soit Xun vecteur aléatoire gaussien de loi Nn(ξ, Γ). On pose Y=AX et
Z=BX où Aet Bsont deux matrices d’ordre (m, n)et (k, n).
18.1. Montrer que les deux v.a. Yet Zsont indépendantes si et seulement si: Y0=
A(X−ξ)et Z0=B(X−ξ)sont indépendantes. On supposera ξ= 0 dans la suite de
l’exercice.
18.2. Soit uun vecteur de Rm. Calculer E[exp{iu?AX}]. Vérifier que Yet Zsont deux
v.a. indépendantes si et seulement si AΓB?= 0; prouver ensuite que cette condition est
équivalente à: cov(Y, Z) = 0.
18.3. On suppose que Γest la matrice identité. On note U=Pn
i=1 λiXiet U0=
Pn
i=1 λ0
iXi. Vérifier que les v.a. Uet U0sont indépendantes si et seulement si Pn
i=1 λiλ0
i=
0.
Exercice 19. Soit une v.a. de Bernoulli: P(= 1) = P(=−1) = 1/2, indépendante
d’une v.a. Xde loi N1(0,1). Montrer que le couple (X, X)n’est pas gaussien.
Exercice 20. (X1, X2, ..., Xn)désigne un vecteur gaussien centré, de covariance Γdéfinie
positive. Soit Hle sous-espace vectoriel de L2(Ω) engendré par {X1, X2, ..., Xn}(i.e. Y∈
Hsi et seulement si Y=Pn
i=1 λiXi). Pour tout Yet Y0de Hon note hY, Y 0i=E[Y Y 0] =
cov(Y, Y 0).
20.1. Montrer que h., .iest un produit scalaire sur H.
20.2. On travaille ici sur l’espace Hdéfini précédemment.
(1) Etablir l’équivalence: Zet Z0sont deux v.a. indépendantes si et seulement si
hZ, Z0i= 0 pour tout Zet Z0éléments de H.

M1 PROBAS - LISTE D’EXERCICES 5
(2) Soient Y1, Y2, ..., Yket Z1, Z2, ..., Zl,l+kv.a. appartenant à H. Montrer que
(Y1, Y2, ..., Yk)et (Z1, Z2, ..., Zl)sont deux v.a. indépendantes si et seulement
si H1⊂H⊥
2où H1(resp. H2) est le sous-espace vectoriel de Hengendré par
Y1, Y2, ..., Yk(resp. Z1, Z2, ..., Zl).
(3) Prouver que les v.a. Y1, Y2, ..., Yksont indépendantes si et seulement si les vecteurs
Y1, Y2, ..., Yksont deux à deux orthogonaux.
20.3. On suppose que la matrice de covariance de (X1, X2, ..., Xn)est l’identité.
(1) Montrer que la v.a. (X1−¯ X, X2−¯ X, ..., Xn−¯ X)est indépendante de ¯ X, où
¯
X=1
n(Pn
i=1 Xi).
(2) En déduire que les v.a.
¯
Xet W= max
1≤i≤nXi−min 1≤i≤nXi
sont indépendantes.
Exercice 21. Soit Xun vecteur gaussien de loi Nn(0, Id). montrer que Y=AX suit la
même loi , lorsque Aest une matrice carré orthogonale d’ordre n.
Exercice 22. Soient ρet θdeux v.a. indépendantes , θde loi uniforme sur [−π, π]et ρ2
de loi exponentielle de paramètre 1
2. On note X=ρcos θet Y=ρsin θ. Montrer que les
v.a. Xet Ysont indépendantes et suivent des lois gaussiennes réduites et centrées.
Exercice 23. Soient (Xn;n≥1) une suite de v.a., indépendantes et de même loi, de
carré intégrable et à valeurs dans Rk.(ξn;n≥1) désigne une suite de v.a. indépendantes,
bornées, à valeurs réelles et équidistribuées. On suppose que la famille (Xn;n≥1) est
indépendante de la famille (ξn;n≥1) et que X1ou ξ1est centrée. On note
Yn=1
n1/2
n
X
i=1
ξiXi.
Montrer que (Yn)converge en loi lorsque ntend vers l’infini, vers une loi gaussienne que
l’on caractérisera.
Exercice 24. Pour tout t > 0et x > 0on pose,
an(x, t) = Zn/t
0
yn−1xn
(n−1)!e−yxdy.
24.1. En utilisant le théorème de la loi forte des grands nombres (resp. central limite),
montrer que limn→∞ an(x, t) = 1{x>t}si x6=t(resp. 1/2 lorque x=t).
24.2. Soit Xune v.a. à valeurs dans R+. On note G(θ) = E[e−θX ].
(1) Déduire de la question précédente :
lim
n→∞(−1)nZn/t
0
yn−1
(n−1)!
dnG
dyn(y)dy =1 2P(X=t) + P(X > t)
(2) Montrer alors que Gcaractérise la loi de X.