Examen du module LP353

3 février 2010
Examen du module LP353
Année Universitaire 2009-2010
Documents de cours et de TD, ainsi que la calculatrice non autorisés.
Durée de l’épreuve 3 heures
L’examen est composé de deux parties correspondant à deux sujets d’étude totalement indépendants. Au début de chaque partie figurent des questions de cours.
Le premier sujet concerne les excitations plasmons, qui sont des ondes de surface pouvant
être engendrées à la surface d’un métal.
Le second sujet porte sur la biréfringence provoquée par un champ électrique appliqué à un
cristal (effet Pockels).
Première partie
Etude d’une onde de surface
On rappelle les équations de Maxwell dans les milieux :
divB(r, t) = 0
∂B
(r, t)
∂t
divD(r, t) = ρlibre (r, t)
rot E(r, t) = −
rot H(r, t) = jlibre (r, t) +
∂D
(r, t)
∂t
(1)
où D(r, t) = ε0 E(r, t) + P(r, t) et H(r, t) = B(r, t)/µ0 − M(r, t) sont respectivement les vecteurs
excitations électrique et magnétique. P(r, t) et M(r, t) désignent la polarisation et l’aimantation
du milieu, et sont des grandeurs volumiques.
On suppose le milieu non magnétique, ainsi que linéaire, homogène et isotrope. Les relations
constitutives sont alors :
B(r, t) = µ0 H(r, t)
Z
D(r, t) = ε0 dt0 εr (r0 , t − t0 )E(r, t0 )
(2)
La deuxième relation rend compte du fait que la réponse à une excitation électromagnétique
n’est en général pas instantanée.
1
Modèle de Drude de la conductivité électrique
On se propose d’obtenir une expression de la constante diélectrique εr d’un métal. Pour cela
on étudie le modèle de Drude de la conduction des électrons.
Ce modèle fait l’hypothèse des électrons libres, de masse m et de charge −|qe | et indépendants
(pas d’interaction entre électrons). Il suppose de plus l’existence de collisions avec les noyaux des
atomes du réseau (la nature véritable des collisions est en fait plus subtile) avec une probabilité
par unité de temps égale à 1/τ .
Le métal est en outre placé dans le champ électromagnétique d’une onde plane, E =
E0 ei(k.r−ωt) et B = B0 ei(k.r−ωt) .
1. Écrire la relation (2) dans l’espace des fréquences. En déduire l’expression de P en fonction
de E.
2. Quelle est la probabilité qu’un électron ne subisse pas de collision entre les instants t et
t + dt ? Écrire la quantité de mouvement p(t + dt) d’un électron, à l’instant t + dt en
fonction de p(t), de τ et de la force de Lorentz à laquelle l’électron est soumis.
3. En se limitant au premier ordre en dt, écrire l’équation du mouvement pour un électron.
Quelle est l’effet des collisions sur le mouvement d’un électron ?
4. En supposant que l’amplitude du mouvement des électrons libres est petite comparée à la
longueur d’onde λ du champ et que les électrons sont non-relativistes, simplifier l’expression
de la force de Lorentz
5. Exprimer, en régime permanent, la position de l’électron r en fonction de E, ω, τ, m et e.
6. En considérant que chaque atome du métal contribue pour un électron de conduction,
ωp2
exprimer P en fonction de r et de la densité d’atomes n. En déduire que εr = 1− 2
.
ω + iω/τ
Donner l’expression de la pulsation plasma ωp .
7. Donner un ordre de grandeur de la pulsation plasma dans le cas du cuivre. Dans quel domaine du spectre la placez-vous ? La densité atomique du cuivre est n = 8.4×1028 atomes.cm3 .
On rappelle que la masse de l’électron vaut m = 9.1 × 10−31 kg et que 1/(4πε0 ) = 9 × 109 .
8. Relier la conductivité σ(ω) à la constante diélectrique εr (ω).
En réalité il faut aussi tenir compte, dans la constante diélectrique, de la contribution des
ωp
.
électrons liés aux ions du réseau. D’une manière générale on écrira εr (ω) = εlié
r (ω) − 2
ω + i ωτ
2
Plasmons de surface.
On nomme plasmons de surface une solution particulière des équations de Maxwell à l’interface entre deux diélectriques, l’un ayant une constante diélectrique négative (comme un métal
par exemple).
On considère une onde transverse magnétique (TM) à l’interface entre deux milieux 1 et 2.
On rappelle que ce type d’onde est telle que k.E 6= 0.
Figure 1 – Interface entre deux milieux matériels 1 et 2.
La structure du champ est la suivante :
B1 = (0, B1y , 0)ei(k1x x+k1z z−ωt)
E1 = (E1x , 0, E1z )ei(k1x x+k1z z−ωt)
B2 = (0, B2y , 0)ei(k2x x−k2z z−ωt)
E2 = (E2x , 0, E2z )ei(k2x x−k2z z−ωt)
Par la suite le milieu 1 sera l’air (assimilé au vide) et le milieu 2 un métal. On néglige les
électrons liés ainsi que toute dissipation (i.e., τ → ∞). On considère également qu’il n’y a pas
de courant libre se propageant dans le métal.
1. Écrire la relation de dispersion dans les deux milieux, pour les modes du champ considérés.
2. Les relations de continuité des champs à l’interface entre les deux milieux (à savoir en
z = 0) imposent la continuité de la composante tangentielle à cette interface du champ
électrique E et de la composante normale du champs D. En outre, en l’absence de courant
surfacique, la composante tangentielle du champ B est également conservée.
Écrire les trois relations qui en découlent dans le cas présent, et en déduire que k1x =
k2x ≡ kx .
3. En utilisant l’équation de Maxwell (1) et les relations de continuité, montrer que k1z /εr1 +
k2z /εr2 = 0.
4. En déduire une expression de kx en fonction de ω, c, εr1 et εr2 , puis simplement en fonction
de ω, c et ωp .
5. À quelle condition sur ω a-t-on kx réel ?
6. Tracer l’allure de la relation de dispersion ω = f (kx ). On distingue deux branches, séparées
par la ligne ω = ckx .
7. Les plasmons de surface correspondent à la branche kx > ω/c. Donner l’expression de kz1
et kz2 en fonction de ω, ωp et c.
8. Pourquoi parle-t-on d’ondes de surface ?
9. Peut-on exciter ces modes simplement en envoyant un rayon lumineux sur la surface d’un
métal ? Pourquoi ?
3
Couplage par prisme de la lumière aux plasmons de surface
Un prisme de quartz est placé au-dessus d’une surface métallique, dans la configuration
(q)
(q)
indiquée sur la figure 4. On note εr la permittivité diélectrique relative du quartz (εr >1).
L’interface quartz/air est éclairée par une onde plane de fréquence ω, avec un angle incident θi .
Figure 2 – Couplage par prisme, en configuration “Otto”.
1. Rappeller les lois de Snell-Descartes pour le dioptre quartz/air. À quelle condition sur θi
y-a-t-il réflexion totale ? Que devient alors l’onde transmise ?
2. Expliquer pourquoi un plasmon de surface peut être excité à l’interface air-métal ?
3. Une autre configuration consiste à déposer le métal en couche mince sur la face inférieure
du prisme (configuration dite de Kretschmann-Raether). Où se forme alors le plasmon de
surface ?
Deuxième partie
Biréfringence provoquée par un champ
électrique : effet électro-optique Pockels.
Nous étudions la propagation de la lumière dans un cristal dont la biréfringence est provoquée
par un champ électrique statique ou lentement variable EDC appliqué à ce cristal.
Nous cherchons à déterminer le déphasage entre les deux composantes du champ électrique
lumineux E d’une onde plane monochromatique (pulsation ω) à sa traversée du cristal soumis
au champ EDC . Cette onde plane lumineuse est supposée avoir une enveloppe lentement variable
E(z) :
i(k.r−ωt)
~
~
E(z, t) = E(z)e
, où : E(z)
= Ex (z)ex + Ey (z)ey
x
EDC
z
O
y
axe optique
naturel
Figure 3 – Géométrie considérée pour l’effet electro-optique. Le cristal étudié possède une
biréfringence naturelle uniaxe d’axe optique parallèle à la direction (Oz). La lumière incidente
provient des z négatifs, sur la face d’entrée qui est taillée perpendiculairement à l’axe optique.
La face de sortie est taillée parallèlement à la face d’entrée.
Nous considérons un cristal qui possède une biréfringence naturelle, et qui est uniaxe.
La biréfringence de ce cristal est négative (i.e. ∆n ≡ ne − no < 0). Dans tout l’exercice nous
considérons le repère (Oxyz) dont la direction (Oz) est celle de l’axe optique naturel du cristal
(Figure 3)
1
Marche des rayons à la traversée du cristal, en champ électrique statique EDC nul.
1. Tracer, par la méthode de Huygens la marche d’un rayon arrivant sous incidence oblique
sur la face d’entrée, et traversant tout le cristal. Il est demandé d’expliquer la méthode de
construction des rayons et de représenter les courbes sur lesquelles s’appuie cette construction.
2. Indiquer l’orientation des différents champs (électrique E, déplacement D et magnétique
B) associés à chacun des rayons à l’intérieur du cristal.
3. Que pouvez-vous dire du cas particulier de l’incidence normale (rayons et polarisation des
champs) ?
NB – Dans toute la suite nous supposerons que l’onde incidente arrive sous incidence
normale.
2
Propagation en présence d’un champ EDC 6= 0
En présence d’un champ EDC 6= 0, et du champ lumineux incident E, il apparaît une polarisation volumique P dans le cristal. Nous admettrons que les composantes de cette polarisation
peuvent être écrites :
Px (z) = ε0 d14 EDC Ey (z)
Py (z) = ε0 d14 EDC Ex (z)
(3)
Pz (z) = 0
Notez que les composantes de polarisation font apparaître le produit des champs quasi-statique
EDC et lumineux E, ce qui permet de considérer qu’il s’agit d’un effet non linéaire d’ordre 2.
Nous allons montrer que cette polarisation conduit à un déphasage entre les composantes Ex et
Ey à la traversée du cristal, et est équivalent à l’action d’une lame biréfringente.
On considère que la lumière incidente est polarisée selon l’axe (Ox) (de vecteur unitaire ex ) :
~
E(z = 0) = E0 /2 ex . On rappelle que dans l’approximation de l’enveloppe lentement variable,
l’équation de propagation du champ lumineux E suivant l’axe ordinaire est donnée par :
−2ik
~
dE(z)
ω2 P
≈− 2
dz
c ε0
(4)
où k est le module du vecteur d’onde k de l’onde dans le cristal (on rappelle que l’on ne considère
ω
que l’incidence normale) et k =
, où no est l’indice ordinaire du cristal.
c/no
1. Montrer qu’après une propagation sur une distance z (origine prise sur la face d’entrée du
cristal), les composantes de E sont :

E0



 Ex (z) = 2 cos z/L
(5)



 Ey (z) = −i E0 sin z/L
2
ω
d14 EDC . Quel est l’état de la polarisation lumineuse émergente ?
2no c
2. Déterminer la tension Vπ associée au champ EDC = Vπ /e (e épaisseur du cristal) pour
laquelle la polarisation incidente ait basculée de 90◦ à la sortie du cristal, c’est à dire est
alignée avec l’axe (Oy).
Application numérique : sachant que Vπ = 9 kV à la longueur d’onde incidente dans le
vide λ = 632 nm, et pour no = 1.51, estimer d14 .
où 1/L =
???