I. Cas général du coefficient de réflexion à l`interface de deux

!
"!
Examen'd’électromagnétisme'–'mars'2013'
'
Problème'
Les$calculatrices,$ordinateurs$et$téléphones$ne$sont$pas$autorisés.$
Seul$document$écrit$autorisé$:$une$feuille$manuscrite$recto8verso$
!
#$%&'(%)!*+!,'-%./!01(,123%!3214.!%&%2040%.!4)56,%)5')3.!
7826%!5%!9$%&'(%)!:!;!<%82%.=!
!
I. Cas&général&du&coefficient&de&réflexion&à&l’interface&de&deux&
milieux&en&polarisation&Transverse&Electrique&(TE)&
!
>)! 01).45?2%! 8)%! 4)3%2@'0%! ,9')%! .6,'2')3! 5%8&! (494%8&! "! %3! ;A! 0'2'03624.6.! ,'2! 9%.!
01).3')3%.! 5469%0324B8%.!
€
ε
1
ω
( )
!%3!
€
ε
2
ω
( )
!et' les' perméabilités' magnétiques!
€
µ
1
ω
( )
!%3!
€
µ
2
ω
( )
=!C)%!1)5%!,9')%!4)045%)3%!,19'24.6%!32').D%2.%!69%0324B8%!*EF/!609'42%!9$4)3%2@'0%!
5').!9%!(494%8!"=!>)!',,%99%!
€
z
!9$'&%!)12('9!G!9$4)3%2@'0%!124%)36!5%!;!D%2.!"=!#%!D%03%82!
5$1)5%!4)045%)3!'!,182!011251))6%.!
€
α
1
%3!
€
− γ
1
!5').!9%!,9')!
€
xOz
=!
!
"= H',,%9%2!9'!56@4)4341)!5%!9'!,19'24.'341)!EF!
;= I0242%! 9%.! 6B8'341).! 5%! J%9(<193K! ,182! 9%! 0<'(,! 69%0324B8%! %3! 9%82.! .198341).!
5').!0<'B8%!(494%8=!
+= L8%99%.!.1)3!9%.!M!2%9'341).!5%!01)34)8436!5%.!0<'(,.!G!9$4)3%2@'0%!N!
M= O'9089%2!9%!01%@@404%)3!5%!26@9%&41)!5%!P2%.)%9!%)!,19'24.'341)!EF=!O1((%)3'42%!N!
!
II. Propagation&dans&une&vapeur&atomique&
!
>)!01).45?2%!5').!0%3!%&%2040%!8)!-'K!5$'31(%.=!#%!(15?9%!.%2'!0%984!5%!9$69%0321)!946!:!
%)!,98.!5%.!@120%.!69%0321('-)634B8%.A!9%.!@120%.!%&%206%.!.82!8)!69%0321)!.1)3!:!
Q!8)%!@120%!5%!2',,%9!69'.34B8%!:!
€
−m ω
0
2r
!
Q!8)%!@120%!5%!@2133%(%)3!:!
€
−m γ v
!
1R!m!%.3!9'!('..%!5$8)!69%0321)A!r!.'!,1.4341)!,'2!2',,123!G!8)%!,1.4341)!5$6B8494S2%!%3!v!
.'!D43%..%=!
€
ω
0
!%3! γ !.1)3!5%.!,'2'(?32%.!56,%)5')3!5%.!'31(%.!01).45626.=!
!
"= 7').! 9%! 0'52%! 5%! 0%! (15?9%! 5$'31(%A! 83494.%2! 9'! 2%9'341)! @1)5'(%)3'9%! 5%! 9'!
5T)'(4B8%!.82!8)!69%0321)!,182!2%3218D%2!.'!,1.4341)!r!,84.!9%!(1(%)3!54,19'42%!
'..1046!p=! F)!565842%! 9$%&,2%..41)!5%! 9'!01).3')3%! 5469%0324B8%!
€
ε ω
( )
!58!-'K=!>)!
',,%99%2'!N!9%!)1(S2%!5$69%0321).!,'2!8)436!5%!D198(%!5').!9%!-'K=!
;= F0242%! 9$6B8'341)! 5%! J%9(<193K! ,182! 9%! 0<'(,! 69%0324B8%! 5').! 9%! (494%8! 56@4)4!
,26065%((%)3=! L8%99%.! .1)3! 9%.! .198341).! 5%! 0%33%! 6B8'341)! ,182! 8)! 0<'(,! )%!
56,%)5')3!.,'34'9%(%)3!B8%!5%!z!N!
+= F)!2%('2B8')3!B8%!9'!01).3')3%!5469%0324B8%!.%!(%3!.18.!9'!@12(%!
€
ε ω
( )
=1−a ω
( )
51))%2!8)%!%&,2%..41)!',,210<6%!5%!9$4)540%!5%!26@2'0341)!
€
n ω
( )
=n' ω
( )
+in" ω
( )
!
*>)!@%2'!8)!56D%91,,%(%)3!94(436!%)!01).4562')3!B8%!
€
a ω
( )
UU"!*-'K!54986//=!

!
;!
M= V! B8%99%! @26B8%)0%!
€
n" ω
( )
!,26.%)3%Q3Q49!8)%!26.1)')0%!N! L8%99%! %.3! 9'! 91)-8%82!
5$'336)8'341)!5$8)!0<'(,!69%0324B8%!.%!,21,'-%')3!5').!9%!.%).!5%.!z!0214..')3.!
5').!9%!-'K!G!0%33%!@26B8%)0%!N!!
!
>)!.%!,21,1.%!5%!@'42%!8)!S49')!5$6)%2-4%!5').!9%!-'K=!>)!01).45?2%!8)!0<'(,!69%0324B8%!
5%!9'!@12(%!
€
E z
( )
=A z
( )
uxexp ikz
( )
!'D%0!
€
k=n' ω c
=!>)!@%2'!9$<T,13<?.%!5').!9'!.843%!B8%!
9$%)D%91,,%!58!0<'(,!
€
A z
( )
!D'24%!9%)3%(%)3!,'2!2',,123!G!
€
exp ikz
( )
!
!
W= O'9089%2!9%!D%03%82!5%!X1T)34)-!%)!
€
z
!,182!0%33%!1)5%!
Y= O'9089%2!9'!,84..')0%!D198(4B8%!'S.12S6%!,'2!9%!-'K!,182!0%33%!1)5%!
Z= F)!@'4.')3! 8)!S49')! 5$6)%2-4%!.82!8)!D198(%!0T94)524B8%!5$6,'4..%82!
€
dz
!5').!9%!
-'KA!3218D%2!9$6B8'341)!54@@62%)34%99%!G!9'B8%99%!1S643!
€
A z
( )
2
!
[= >)! .%! ,9'0%! ,'2! .1804! 5%! 94.4S49436! %)!
€
ω = ω
0
=! L8%99%! %.3! 9'! @12(%! 5%!
€
A z
( )
!N!
O1)0982%!.82!9$124-4)%!5%!9$'336)8'341)!5').!9%!-'K!N!
!
III. Effet&Faraday&dans&un&plasma&
!
#$%@@%3!P'2'5'T!%.3!8)!%@@%3!5%!213'341)!5$8)%!,19'24.'341)!2%03494-)%!912.!5%!9'!32'D%2.6%!
5$8)!(494%8=!#%!(494%8!\!.4(,9%!]!B8%!9$1)!01).45?2%!404!%.3!8)!,9'.('!5$69%0321).!94S2%.!
5').!9%B8%9!1)!4(,1.%!8)!0<'(,!('-)634B8%!.3'34B8%!
€
B0
!124%)36!.84D')3!8)!'&%!
€
z
=!F)!
83494.')3!9'!2%9'341)!@1)5'(%)3'9%!5%!9'!5T)'(4B8%A!1)!,%83!(1)32%2!B8%!9'!32'^%03142%!
5$8)! 69%0321)! 5').! 9%! ,9')! ,%2,%)54089'42%! G! 9$'&%!
€
z
! %.3! 8)! 0%209%=! #%! 54'(?32%! 5%! 0%!
0%209%!56,%)5!5%!9'!D43%..%!4)434'9%!5%!9$69%0321)!'8!(1(%)3!1R!9$1)!'!4(,1.6!9%!0<'(,!
€
B0
=!#'!D43%..%!')-89'42%!5%!9$69%0321)!%.3!'912.!
€
ω
B=eB0
m
!1R!
€
e
!%3!
€
m
.1)3!2%.,%034D%(%)3!9%!
(1589%!5%!9'!0<'2-%!%3!9'!('..%!5%!9$69%0321)=!
!
>)!.$4)362%..%!G!8)%!1)5%!69%0321('-)634B8%!,9')%!(1)10<21('34B8%!5%!,89.'341)!
€
ω
A!
,19'24.6%!circulairementA!0'2'03624.6%!,'2!9%.!D%03%82.!
€
E
!%3!
€
B
A!.%!,21,'-%')3!9%!91)-!5%!
9$'&%!
€
z
=!O%!0<'(,!.$'^183%!'8!0<'(,!.3'34B8%!
€
B0
=!
!
"= 7').!B8%9!,9')!.%!.438%)3!9%.!0<'(,.!
€
E
!%3!
€
B
!N!X182B814!N!!
;= L8%99%!%.3!9$%&,2%..41)!5%!9'!@120%!5%!#12%)3K!.$%&%2_')3!.82!8)!69%0321)!N!L8%9!
3%2(%!,%83Q1)!)6-94-%2!%3!,182B814!N!
!
#%!0<'(,!69%0324B8%!,19'24.6!042089'42%(%)3!.$60243!5%!9'!(')4?2%!.84D')3%!:!!
€
E+z,t
( )
=E0ux+iuy
( )
exp ik+z
( )
exp −i ω t
( )
=!
!
+= >)!01).45?2%!8)!69%0321)!.%!(18D')3!5').!9%!,9')!
€
z=0
=!763%2(4)%2!9%!.T.3?(%!
5$6B8'341).!,182!9%.!01(,1.')3%.!
€
vx
!%3!
€
vy
!5%!9'!D43%..%!5%!9$69%0321)=!
M= 71))%2! 9$%&,2%..41)! 5%!
€
vx
!%3!
€
vy
!%)!@1)0341)!5%!
€
ω
A!
€
ω
B
!%3!
€
E0
=!`1)32%2!B8%!9%!
D%03%82!D43%..%!.%!(%3!.18.!9'!@12(%!
€
v=−ieE+
m ω − ω
B
( )
!
W= F)!565842%!9$%&,2%..41)!58!D%03%82!,1.4341)!
€
r
!5%!9$69%0321)!%)!@1)0341)!5%!
€
E+
=!

!
+!
Y= F)! 565842%!9'! 01).3')3%! 5469%0324B8%!
€
ε
+
ω
( )
=! >)! ',,%99%2'! N! 9%! )1(S2%!
5$69%0321).!,'2!8)436!5%!D198(%!%3!
€
ω
P
2=Ne2
m ε
0
=!
Z= >)! 0<14.43!
€
4 ω
P
2=3
ω
B
2
=! H%,26.%)3%2!
€
ε
+
ω
( )
!%)!@1)0341)!5%!
€
ω
=! 7').! B8%9*./!
51('4)%*./!5%!@26B8%)0%!9$1)5%!)%!,%83!.%!,21,'-%2!5').!9%!(494%8!N!a!'Q3Q49!5%!
9$'S.12,341)!N!X182B814!T!'Q3Q49!'336)8'341)!5%!9$1)5%!N!
!
#'!,19'24.'341)!042089'42%!,26065%((%)3!560243%!%.3!8)%!,19'24.'341)!042089'42%!-'80<%=!
#'!,19'24.'341)!042089'42%!52143%!.$60243!:!
€
E-z,t
( )
=E0ux−iuy
( )
exp ik−z
( )
exp −i ω t
( )
!
#'!01).3')3%!5469%0324B8%!5%D4%)3!'912.!:!
€
ε
-
ω
( )
=1−
ω
P
2
ω ω + ω
B
( )
!!
!
[= 7').! B8%9*./! 51('4)%*./! 5%! @26B8%)0%! 9%.! 1)5%.! 042089'42%.! -'80<%! %3! 52143%!
,%8D%)3Q%99%.! .%! ,21,'-%2! 3183%.! 9%.! 5%8&!N! b%! ,21,'-%)3Q%99%.! G! 9'! (c(%!
D43%..%!N!O1((%)3!.$',,%99%!8)!3%9!(494%8!N!
!
>)! ',,%99%!
€
n+
!%3!
€
n−
! 9%.! 4)540%.! '..1046.! '8&! 1)5%.! 042089'42%! -'80<%! %3! 52143%!
2%.,%034D%(%)3=! >)! 609'42%! 9%! (494%8! %)!
€
z=0
! 'D%0! 8)! 0<'(,! ,19'24.6! 2%03494-)%(%)3!
.84D')3!9$'&%!
€
x
=!
!
d= `1)32%2!B8%!9%!0<'(,!%)!
€
z=0
!,%83!.$60242%!01((%!8)%!01(S4)'4.1)!94)6'42%!
5%.!0<'(,.!
€
E+
!%3!
€
E-
=!
"e= F)! 6024D')3! 9'! ,21,'-'341)! 58! 0<'(,! 69%0324B8%! .82! 8)%! 54.3')0%!
€
L
!5').!9%!
(494%8A!(1)32%2!B8%!9'!,19'24.'341)!'!3182)6!5$8)!')-9%!
€
θ =
ω
c
n+−n−
2
L
!
!
!
!
fffffffffffffffffffffffffffff!