I. Cas général du coefficient de réflexion à l`interface de deux
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Examen d’électromagnétisme – mars 2013 Problème Les calculatrices, ordinateurs et téléphones ne sont pas autorisés. Seul document écrit autorisé : une feuille manuscrite recto-­verso L’examen (3 pages) comporte trois exercices indépendants Durée de l’examen : 2 heures. I. Cas général du coefficient de réflexion à l’interface de deux milieux en polarisation Transverse Electrique (TE) € On considère une interface plane séparant deux milieux 1 et 2, caractérisés par les constantes diélectriques ε1 (ω ) et ε 2 (ω ) et les perméabilités magnétiques µ1 (ω ) et µ2 (ω ) . Une onde plane incidente polarisée transverse électrique (TE) éclaire l’interface dans le milieu 1. On appelle z l’axe normal à l’interface orienté de 2 vers 1. Le vecteur α1 et −γ1 dans le plan xOz . d’onde incident a€ pour coordonnées € € 1. Rappeler la définition de la polarisation TE € 2. Écrire les équations de Helmholtz pour €le champ électrique et leurs solutions dans chaque milieu. € € 3. Quelles sont les 4 relations de continuité des champs à l’interface ? 4. Calculer le coefficient de réflexion de Fresnel en polarisation TE. Commentaire ? II. Propagation dans une vapeur atomique On considère dans cet exercice un gaz d’atomes. Le modèle sera celui de l’électron lié : en plus des forces électromagnétiques, les forces exercées sur un électron sont : -­‐ une force de rappel élastique : −mω 02r -­‐ une force de frottement : −mγv où m est la masse d’un électron, r sa position par rapport à une position d’équilibre et v sa vitesse. ω 0 et γ sont des paramètres dépendant des atomes considérés. € € 1. Dans le cadre de ce modèle d’atome, utiliser la relation fondamentale de la dynamique sur un électron pour retrouver sa position r puis le moment dipolaire € associé p. En déduire l’expression de la constante diélectrique ε (ω ) du gaz. On appellera N le nombre d’électrons par unité de volume dans le gaz. 2. Ecrire l’équation de Helmholtz pour le champ électrique dans le milieu défini précédemment. Quelles sont les solutions de cette équation pour un champ ne € dépendant spatialement que de z ? 3. En remarquant que la constante diélectrique se met sous la forme ε (ω ) = 1 − a(ω ) donner une expression approchée de l’indice de réfraction n (ω ) = n' (ω ) + in" (ω ) (On fera un développement limité en considérant que a(ω ) <<1 (gaz dilué)). € € € 1 4. A quelle fréquence n" (ω ) présente-­‐t-­‐il une résonance ? Quelle est la longueur d’atténuation d’un champ électrique se propageant dans le sens des z croissants dans le gaz à cette fréquence ? On se propose de f€ aire un bilan d’énergie dans le gaz. On considère un champ électrique de la forme E ( z) = A( z)ux exp(ikz) avec k = n'ω c . On fera l’hypothèse dans la suite que l’enveloppe du champ A( z) varie lentement par rapport à exp(ikz) 5. en z pour cette onde € € Calculer le vecteur de Poynting 6. Calculer la puissance volumique absorbée par le gaz pour cette onde € un bilan d’énergie sur un volume € cylindrique d’épaisseur dz dans le 7. En faisant 2 gaz, trouver l’équation différentielle à laquelle obéit A( z) € 8. On se place par souci de lisibilité en ω = ω 0 . Quelle est la forme de A( z) ? Conclure sur l’origine de l’atténuation dans le gaz ? € € € € III. Effet Faraday dans un plasma € L’effet Faraday est un effet de rotation d’une polarisation rectiligne lors de la traversée d’un milieu. Le milieu « simple » que l’on considère ici est un plasma d’électrons libres dans lequel on impose un champ magnétique statique B 0 orienté suivant un axe z . En utilisant la relation fondamentale de la dynamique, on peut montrer que la trajectoire d’un électron dans le plan perpendiculaire à l’axe z est un cercle. Le diamètre de ce cercle dépend de la vitesse initiale de l’électron au moment où l’on a imposé le champ B 0 € € eB 0 . La vitesse angulaire de l’électron est alors ω B = où e et m sont respectivement le m € module de la charge et la masse de l’électron. € € monochromatique € On s’intéresse à une onde électromagnétique plane de pulsation ω , € polarisée circulairement, caractérisée par les vecteurs E et B , se propageant le long de l’axe z . Ce champ s’ajoute au champ statique B 0 . € 1. Dans quel plan se situent les champs €E et € B ? Pourquoi ? 2. Quelle est l’expression de la force de Lorentz s’exerçant sur un électron ? Quel terme peut-­‐on négliger et p€ourquoi ? € € Le champ électrique polarisé circulairement s’écrit de la manière suivante : E + ( z,t ) = E 0 ux + iuy exp(ik+ z) exp( −iωt ) . ( ) 3. On considère un électron se mouvant dans le plan z = 0 . Déterminer le système d’équations pour les composantes v x et v y de la vitesse de l’électron. € 4. Donner l’expression de v x et v y en fonction de ω , ω B et E 0 . Montrer que le €−ieE + vecteur vitesse se met sous la forme v = m(ω − ω B ) € € € € 5. En déduire l’expression en fonction de E + . r de l’électron € € € du vecteur position € € € 2 6. En déduire la constante diélectrique ε + (ω ) . On appellera N le nombre Ne 2 d’électrons par unité de volume et ω P2 = . mε 0 ε + (ω ) en fonction de ω . Dans quel(s) 7. On choisit 4ω P2 = 3ω B2 . Représenter € domaine(s) de fréquence l’onde ne peut se propager dans le milieu ? Y a-­‐t-­‐il de l’absorption ? Pourquoi y € a-­‐t-­‐il atténuation de l’onde ? € € € La polarisation circulaire précédemment décrite est une polarisation circulaire gauche. La polarisation circulaire droite s’écrit : E - ( z,t ) = E 0 ux − iuy exp(ik− z) exp( −iωt ) ( La constante diélectrique devient alors : ε - (ω ) = 1 − € ) ω P2 ω (ω + ω B ) 8. Dans quel(s) domaine(s) de fréquence les ondes circulaires gauche et droite peuvent-­‐elles se propager toutes les deux ? Se propagent-­‐elles à la même € s’appelle un tel milieu ? vitesse ? Comment On appelle n + et n − les indices associés aux ondes circulaire gauche et droite respectivement. On éclaire le milieu en z = 0 avec un champ polarisé rectilignement suivant l’axe x . €9. Montrer que le champ en € z = 0 peut s’écrire comme une combinaison linéaire € des champs E + et E - . € 10. En écrivant la propagation du champ électrique sur une distance L dans le ω n+ − n− milieu, montrer q€ ue la polarisation a tourné d’un angle θ = L c 2 € € € € ***************************** 3
