1 Espaces vectoriels topologiques

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1Année universitaire 2014-2015
Ayman Moussa
Rappels de Cours – Espaces localement convexes. Topologies faibles.
1 Espaces vectoriels topologiques
Définition : Un espace vectoriel topologique (noté EVT) est un espace vectoriel muni d’une
topologie rendant continue l’application et le produit par un scalaire. On parle d’espace vectoriel
topologique localement convexe (noté EVTLC) lorsqu’en plus de cela, le vecteur nul possède une
base de voisinage formée de parties convexes. Enfin on notera EVTLCS les EVTLC dont la topologie
est séparée.
Définition : Étant donnée Pune famille de semi-normes sur un espace E, on appelle P-boule une
intersection finie de « semi-boules », i.e. d’ensembles de la forme x E :p x a r , où pP,
a E et r0. La P-topologie est alors la plus petite topologie de E(ou la moins fine) contenant les
P-boules.
Proposition : (équivalence des définitions)
Tout espace Emuni d’une P-topologie pour une certaine famille Pde semi-normes est un EVTLC.
La topologie est séparée si et seulement si 0est l’unique vecteur annulant toutes les semi-normes de P.
Réciproquement, pour tout EV T LC E il existe une famille Pde semi-normes telle que la P-topologie
associée soit égale à la topologie de E.
Proposition : (métrisabilité)
Soit Eun EV T LCS. Sa topologie est donc une P-topologie pour une certaine famille séparante Pde
semi-normes. Si Pest dénombrable, alors cette topologie est métrisable par une distance invariante par
translation. Réciproquement si la P-topologie est métrisable par une distance invariante par translation
d, il existe une suite croissante pn n Nd’éléments de Ptelle que la P-topologie coïncide avec la
pn n N-topologie et une suite est de Cauchy pour dsi et seulement si elle est de Cauchy pour toutes
les semi-normes pn.
Remarque : Dans le cas d’un EVTLC métrisable, la complétude ne dépend donc pas de la distance
invariante par translation choisie, mais uniquement de la topologie. Mais, attention, on peut construire
sur Rune distance dinduisant la topologie usuelle mais telle que R,dne soit pas complet (voir le
premier TD) mais la proposition précédente ne s’applique pas car dn’est pas invariante par translation.
Définition : Un espace de Fréchet est un EVTLCS dont la P-topologie est métrisable et complet
pour cette topologie.
Remarque : Cette structure d’espace sert de substitut aux espaces de Banach dans diverses situations,
notamment dans le cas d’espaces pour lesquels on n’a que des informations « locales » : C0Ω,HΩ,
Lp
loc Ω. . . mais également les espaces nécessitant une régularité infinie dans leurs définition : CKΩ.
Les théorèmes de Banach-Steinhauss, de l’application ouverte, du graphe fermé et de continuité automa-
tique que l’on a vu précédemment sont alors tous valables en remplaçant dans tous les énoncés le mot
« Banach » par « Fréchet ».
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2 Le théorème de Hahn-Banach
Théorème : (Hahn-Banach)
Soit Eun R-espace vectoriel et p:ERune application positivement homogène et vérifiant p x y
p x p y . Soit fune application linéaire définie sur un sous-espace V E, à valeurs réelles, et
vérifiant f x p x pour tout x V . Alors, il existe une forme linéaire gsur Eprolongeant fet
vérifiant l’inégalité précédente sur Etout entier.
Corollaire :
Soit Eun K-espace vectoriel, pune semi-norme sur Eet Vun sous-espace strict de E. Alors toute
forme linéaire fdéfinie sur Vet vérifiant f x p x pour x V peut se prolonger en une forme
linéaire sur E, vérifiant l’inégalité précédente sur Etout entier.
Dans le cas particulier d’un espace normé, on a le résultat suivant :
Corollaire :
Soit Eun espace normé et F E un sous-espace. Alors,
(i) une forme linéaire continue fsur F, de norme fse prolonge en une forme linéaire continue
sur E, de même norme,
(ii) pour tout x E, il existe une forme linéaire continue fsur Evérifiant f x x 2f2.
Remarque : Attention, tous ces prolongements n’ont aucune raison d’être uniques.
Théorème : (Hahn-Banach géométrique) Soit Eun EVTLC et A, B E deux convexes non vides
disjoints. Alors
(i) si Aest ouvert, il existe une forme linéaire fcontinue sur Eet un réel ttels que
Re f a t Re f b , pour tout a A et b B (on dit alors que Aet Bsont séparés au
sens large),
(ii) si Aest compact et Bfermé, il existe une forme linéaire fcontinue sur Eet deux réel s t tels
que Re f a s t Re f b , pour tout a A et b B (on dit alors que Aet Bsont séparés
au sens strict).
Remarque : Si fest une forme linéaire, les ensembles de la formes x E :f x α sont appelés
hyperplans. Le théorème précédent permet donc de « caser » un hyperplan entre deux convexes. Une
situation fréquente est celle de la séparation d’un convexe fermé et d’un singleton (convexe compact !).
Théorème :
Soit Eun EVTLC et V E un sous-espace vectoriel. Alors Vest dense si et seulement si
f E , f V0f0.
3 Topologies faibles
Dans toute la suite, si Eest un EVT, on notera Eson dual topologique,i.e. l’ensemble des formes
linéaires continues sur E. Dans cette section, on pose K R pour fixer les idées, tous les résultats restants
valables dans le cas complexe.
Définition : La topologie faible σ E, E est la topologie la moins fine rendant les éléments de E
continus. Si A E ,σ E, A est définie de manière parfaitement analogue. La convergence vers x E
au sens de σ E, A d’une suite xn n NENest alors notée xnx, σ E, A .
Remarque : Il s’agit bien de topologies sur l’espace de départ E. Pour le dire d’une manière pas très
claire : σ E, E est « la plus petite topologie rendant les formes linéaires continues continues » !
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Proposition : (« intersections finies de tranches »)
Les ensembles de la forme N
k1f1
kIk, où NN,fkEet IkRsont des intervalles, constituent
une base d’ouverts de la topologie σ E, E .
De manière plus locale, pour x E, une base de voisinage de xest donnée par la famille des ensembles
de la forme N
k1f1
kfkx ε, fkx ε , où NN,fkEet ε0.
Proposition :
Soit xn n NEN.
(i) xnx, σ E, E si et seulement si f E ,f xnx,
(ii) si xnxfortement, alors xnx, σ E, E ,
(iii) si xnx, σ E, E et fnffortement dans E, alors fnxnf x ,
(iv) si xnx, σ E, E alors la suite xn n Nest bornée et on a xlim inf
nxn.
Proposition :
Un EVT Emuni de la topologie faible σ E, E est un EVTLCS : la topologie σ E, E correspond à la
P-topologie, où Pest la famille des semi-normes sur E:P:f:f E .
Remarque : Les trois propositions précédentes se généralisent bien sûr au cas où l’on considère une
topologie faible σ E, A où A E .
4 Dualité pour les Banach
Dans cette section Edésigne un espace de Banach et Esont dual topologique qui est également un
espace de Banach (muni de la norme subordonnée).
On va voir que tout élément de Epeut-être vu comme un élément du dual de E(le bidual : E)via
l’application :
j:E E
xER
f f x ,
et que celle-ci induit une topologie intéressante sur E.
Proposition-Définition : L’application jprécédemment définie est une isométrie linéaire de Esur
son bidual E, elle est donc en particulier injective. L’espace Eest dit réfléxif si jest surjective.
Définition : On appelle topologie faible la topologie σ E , j E . On la note parfois σ E , E .
Remarque : Il s’agit ici d’une topologie sur le dual E. C’est donc la topologie la moins fine rendant
les évaluations f f x continues.
Proposition :
Soit fn n Nune suite d’éléments de E.
(i) fnf, σ E , E si et seulement si x E,fnx f x ,
(ii) si fnffortement, alors fnf, σ E , E ,
(iii) si fnf, σ E , E et xnxfortement dans E, alors fnxnf x ,
(iv) si fnf, σ E , E alors la suite fn n Nest bornée et on a flim inf
nfn.
Théorème :(Banach-Alaoglu)
L’ensemble BE:f E :f1(boule unité du dual) est compact pour la topologie faible .
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Théorème : Si l’espace Eest séparable, la boule unité de Epeut-être munie d’une distance induisant
la topologie faible .
Corollaire : Soit Eun espace séparable. Toute suite bornée de Eadmet une sous-suite convergente au
sens de la topologie σ E , j E .
Théorème : Se valent :
(i) Eest réflexif,
(ii) Eest réflexif,
(iii) la boule unité de Eest faiblement compacte.
5 Limites inductives
Proposition-Définition :
Soit Eun espace de fréchet et Fn n Nune suite croissante d’espace vectoriels fermés de E. Il existe
sur FnFnune topologie localement convexe Oappelée limite inductive de la suite Fn n N
vérifiant
(i) la trace de Osur Fncoïncide avec la trace de la topologie de Esur Fn, pour tout n,
(ii) une application linéaire fde Fdans un espace normé Gest continue si et seulement si la restriction
à chaque Fnest continue,
(iii) les suites convergentes de Fpour Osont les suites dont tous les termes appartiennent à un même
Fnet qui convergent dans cet espace Fn,
(iv) Oest la topologie la plus fine rendant les injections FnEcontinues,
(v) F, Oest complet au sens des EVT.
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