DS 5

MPSI 832ý
2015-2016 Devoir surveillé 5 : Que la force soit avec vous
On soignera la rédaction et on sera rigoureux et précis dans les raisonnements.Bien lire le sujet il y a des questions
indépendantes. Dans le cas d’utilisation d’abréviations merci de les définir en 1ère page.( pas plus de 5) Je ne lis pas
le crayon à papier les résultats doivent être soulignés La machine est interdite
Problème I : :Une equation fonctionnelle
On se propose de déterminer les applications f:R+−→ R, continues sur R+et de classe C1sur R∗
+,et qui vérifient
l’équation fonctionnelle : ∀x>0; f(x2) = f(x)2
Dans toute la suite, on suppose que fest une solution du problème.
1. (a) Montrer que f(x)>0pour tout xde R+.
(b) Déterminer les applications constantes solutions du problème.
2. Soit aun élément de ]0; 1[. On pose un=fa2n, pour tout nde N.
(a) Montrer que la suite (un)n∈Nest convergente et préciser sa limite.
(b) Montrer que f(a)61.
(c) Montrer que si f(a)=1, alors fest constante sur [0; 1].
(d) Que dire de f(a)si fn’est pas constante sur [0; 1] ? Que vaut alors f(0) ?
3. Soit aun élément de R∗
+. On pose vn=fa2−n, pour tout nde N.
(a) Montrer que la suite (vn)n∈Nest convergente et préciser sa limite.
(b) Montrer que si f(a)=0, alors fest constante sur R+.
(c) On suppose que fn’est pas constante. Que vaut f(1) ?
4. Dans cette question, on suppose que l’application fn’est pas constante.
(a) Montrer que fne s’annule pas sur R∗
+.
(b) On définit une application gsur R∗
+par : ∀x > 0, g(x) = xf0(x)
f(x)Exprimer g(x2)en fonction de g(x).
(c) Montrer que gest constante.
(d) En déduire toutes les solutions du problème initial. Parmi ces solutions, quelles sont celles qui sont déri-
vables à droite en 0 ?
Problème II :Théorème de point fixe de Picard
Le but ce problème est d’établir une version faible du théorème de point fixe de Picard :
Théorème (Picard)
Soit Iun intervalle fermé et f:I−→ I.
Si fest une fonction k-lipschitzienne avec k∈[0; 1[ (on dit que fest strictement contractante), alors
fadmet un unique point fixe adans I. De plus, pour tout u0dans I, la suite (un)n∈Ndéfinie par un+1 =f(un)et
de premier terme u0converge vers a.
On rappelle que :
— une fonction f:I−→ Rest k-lipschitzienne sur Isi : ∀(x, y)∈I2,|f(x)−f(y)|6k|x−y|
— un intervalle fermé désigne un segment [a;b]ou un intervalle non borné du type R,[a; +∞[ou ]− ∞;b].
Les trois sections de ce problème sont dans une large mesure indépendantes.
Première Partie : étude des hypothèses
1. 1-Lipschitzien insuffisant : On note fla fonction définie par f(x) = px2+ 1. On a f: [0; +∞[−→ [0; +∞[
(a) Démontrer que fest 1-lipschitzienne sur [0,+∞[.
(b) Justifier qu’elle n’admet pourtant pas de point fixe dans [0; +∞[
.
2. Intervalle fermé nécessaire : Donner un exemple de fonction affine f:]0; 1[−→]0; 1[ strictement contractante
sur ]0; 1[, mais qui n’admet pas de point fixe dans ]0,1[.
1

Deuxième Partie :Preuve du théorème
Dans cette section uniquement, fdésigne une application vérifiant les hypothèses du théorème de Picard.
1. Démontrer que fadmet au plus un point fixe.
2. Démontrer qu’une fonction k-lipschitzienne sur Iest continue sur I.
3. Démontrer que si Iest un segment [a;b], alors fadmet un point fixe dans I.
4. On suppose dans cette question que I= [0,+∞[.
(a) Justifier que pour tout x > 0, on a f(x)6f(0) + kx.
(b) En déduire la limite de x7−→ f(x)−xen +∞
(c) En déduire que fadmet un point fixe dans [0,+∞[.
Cette preuve se généralise facilement à tout intervalle fermé non borné, ce qui achève la preuve de l’existence
du point fixe dans le théorème de Picard.
5. On note al’unique point fixe de fdans Iet (un)n∈Nla suite définie par un+1 =f(un)et de premier terme
u0∈I.
(a) Démontrer que :∀n∈N,|un−a|6kn|u0−a|
(b) En déduire que la suite (un)n∈Nconverge, préciser la limite.
Troisième Partie : Application aux points fixes attractifs
Dans cette section,f:I−→ Iest une fonction de classe C1et a∈Iun point fixe de fattractif, c’est-à-dire vérifiant
|f0(a)|<1.
On note (un)n∈Nla suite définie par un+1 =f(un)et de premier terme u0∈I
On suppose aussi que aest intérieur à I, c’est-à-dire que an’est pas une borne de I.
1. Démontrer en utilisant une définition «epsilonesque» de la continuité qu’il existe des réels k∈[0; 1[ et r > 0
tels que ∀x∈[a−r;a+r],|f0(x)|6k.
2. (a) En déduire que fest k-lipschitzienne sur l’intervalle J= [a−r;a+r]puis que Jest stable par f.
(b) Que peut-on en déduire pour la suite (un)n∈N, si l’on prend u0dans J?
3. Cas d’un point fixe répulsif.
On suppose cette fois-ci que aun point fixe répulsif de f, c’est à dire un point fixe tel que |f0(a)|>1.
On suppose de plus que (un)n∈Nn’est pas une suite stationnaire. Le but est de montrer que la suite (un)n∈N
ne converge pas vers a.
(a) Justifier que pour tout n∈N, un6=a.
(b) Démontrer que si la suite (un)n∈Nconverge vers a, alors à partir d’un certain rang, la suite de terme
général |un−a|est croissante.
(on pourra étudier la limite de f(un)−f(a)
un−a). Conclure.
Problème III :Dérivation
Les trois parties sont indépendantes.
Première partie
1. (a) Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle (E) (1 + x2)y0+ (2x−1)y= 0
(b) On note f, la solution de (E) vérifiant f(0) = 1 : préciser l’expression de f(x).
(c) Justifier que fest de classe C∞sur R.
2. (a) Montrer que, ∀n∈N, il existe une fonction polynomiale Pntelle que :∀x∈R, f (n)(x) = Pn(x)
(1 + x2)n+1 earctan(x)
On donnera la relation qui lie Pn+1, Pnet P0
n.
(b) Expliciter les polynômes P0, P1, P2.
(c) Prouver que, pour tout entier n Pnest de degré net que son coefficient dominant est (−1)n(n+ 1)!
3. (a) A l’aide de (E)et la formule de Leibniz déterminer une autre relation liant Pn+1, Pnet Pn−1(lorsque
n>1).
(b) En déduire que ∀n>1, P 0
n=−n(n+ 1)Pn−1
Deuxième partie Soit f:]0; +∞[−→ Rune application dérivable sur ]0; +∞[.
1. On suppose que lim
+∞f0=lavec lréel strictement positif.
2

(a) Démontrer que : ∃A > 0,∀x>A, f 0(x)>l
2
(b) En déduire, que ∀x>A, f(x)>l
2(x−A) + f(A).(On pourra utiliser le théorème des accroissements
finis)
(c) Déterminer lim
+∞f
2. On suppose que lim
x→+∞(xf0(x)) = 1 et que f0est continue sur ]0; +∞[.
(a) Démontrer que : ∃A > 0,∀x>A, f 0(x)>1
2x
(b) En déduire que ∀x>A, f(x)>1
2(ln(x)−ln(A)) + f(A)
(c) Déterminer lim
+∞f
3. On suppose que lim
+∞f0= 0. Que peut-on dire concernant lim +∞f?
4. On suppose que lim
+∞f= 0. Que peut-on dire concernant lim +∞f0?
5. On suppose que lim
+∞f0= +∞
(a) Montrer que fpossède une limite en +∞.
(b) Déterminer cette limite.
Troisième partie On ne traitera cette partie que si tout le reste a été fait.
On considère une application fde Rdans Rcontinue en 0.
Démontrer l’équivalence entre les deux assertions suivantes :
—fest dérivable en 0
—lim
x→0f(2x)−f(x)
xexiste et est finie
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