DS 5

MPSI 832ý
Devoir surveillé 5 : Que la force soit avec vous
2015-2016
On soignera la rédaction et on sera rigoureux et précis dans les raisonnements.Bien lire le sujet il y a des questions
indépendantes. Dans le cas d’utilisation d’abréviations merci de les définir en 1ère page.( pas plus de 5) Je ne lis pas
le crayon à papier les résultats doivent être soulignés La machine est interdite
Problème I : :Une equation fonctionnelle
On se propose de déterminer les applications f : R+ −→ R, continues sur R+ et de classe C 1 sur R∗+ ,et qui vérifient
l’équation fonctionnelle : ∀x > 0; f (x2 ) = f (x)2
Dans toute la suite, on suppose que f est une solution du problème.
1. (a) Montrer que f (x) > 0 pour tout x de R+ .
(b) Déterminer les applications constantes solutions du problème.
n
2. Soit a un élément de ]0; 1[. On pose un = f a2 , pour tout n de N.
(a) Montrer que la suite (un )n∈N est convergente et préciser sa limite.
(b) Montrer que f (a) 6 1.
(c) Montrer que si f (a) = 1, alors f est constante sur [0; 1].
(d) Que dire de f (a) si f n’est pas constante sur [0; 1] ? Que vaut alors f (0) ?
−n 3. Soit a un élément de R∗+ . On pose vn = f a2
, pour tout n de N.
(a) Montrer que la suite (vn )n∈N est convergente et préciser sa limite.
(b) Montrer que si f (a) = 0, alors f est constante sur R+ .
(c) On suppose que f n’est pas constante. Que vaut f (1) ?
4. Dans cette question, on suppose que l’application f n’est pas constante.
(a) Montrer que f ne s’annule pas sur R∗+ .
(b) On définit une application g sur R∗+ par : ∀x > 0, g(x) =
xf 0 (x)
Exprimer g(x2 ) en fonction de g(x).
f (x)
(c) Montrer que g est constante.
(d) En déduire toutes les solutions du problème initial. Parmi ces solutions, quelles sont celles qui sont dérivables à droite en 0 ?
Problème II :Théorème de point fixe de Picard
Le but ce problème est d’établir une version faible du théorème de point fixe de Picard :
Théorème (Picard)
Soit I un intervalle fermé et f : I −→ I.
Si f est une fonction k-lipschitzienne avec k ∈ [0; 1[ (on dit que f est strictement contractante), alors
f admet un unique point fixe a dans I. De plus, pour tout u0 dans I, la suite (un )n∈N définie par un+1 = f (un ) et
de premier terme u0 converge vers a.
On rappelle que :
— une fonction f : I −→ R est k-lipschitzienne sur I si : ∀(x, y) ∈ I 2 , |f (x) − f (y)| 6 k|x − y|
— un intervalle fermé désigne un segment [a; b] ou un intervalle non borné du type R,[a; +∞[ ou ] − ∞; b].
Les trois sections de ce problème sont dans une large mesure indépendantes.
Première Partie : étude des hypothèses
p
1. 1-Lipschitzien insuffisant : On note f la fonction définie par f (x) = x2 + 1. On a f : [0; +∞[−→ [0; +∞[
(a) Démontrer que f est 1-lipschitzienne sur [0, +∞[.
(b) Justifier qu’elle n’admet pourtant pas de point fixe dans [0; +∞[
.
2. Intervalle fermé nécessaire : Donner un exemple de fonction affine f :]0; 1[−→]0; 1[ strictement contractante
sur ]0; 1[, mais qui n’admet pas de point fixe dans ]0, 1[.
1
Deuxième Partie :Preuve du théorème
Dans cette section uniquement, f désigne une application vérifiant les hypothèses du théorème de Picard.
1. Démontrer que f admet au plus un point fixe.
2. Démontrer qu’une fonction k-lipschitzienne sur I est continue sur I.
3. Démontrer que si I est un segment [a; b], alors f admet un point fixe dans I.
4. On suppose dans cette question que I = [0, +∞[.
(a) Justifier que pour tout x > 0, on a f (x) 6 f (0) + kx.
(b) En déduire la limite de x 7−→ f (x) − x en +∞
(c) En déduire que f admet un point fixe dans [0, +∞[.
Cette preuve se généralise facilement à tout intervalle fermé non borné, ce qui achève la preuve de l’existence
du point fixe dans le théorème de Picard.
5. On note a l’unique point fixe de f dans I et (un )n∈N la suite définie par un+1 = f (un ) et de premier terme
u0 ∈ I.
(a) Démontrer que :∀n ∈ N, |un − a| 6 k n |u0 − a|
(b) En déduire que la suite (un )n∈N converge, préciser la limite.
Troisième Partie : Application aux points fixes attractifs
Dans cette section,f : I −→ I est une fonction de classe C 1 et a ∈ I un point fixe de f attractif, c’est-à-dire vérifiant
|f 0 (a)| < 1.
On note (un )n∈N la suite définie par un+1 = f (un ) et de premier terme u0 ∈ I
On suppose aussi que a est intérieur à I, c’est-à-dire que a n’est pas une borne de I.
1. Démontrer en utilisant une définition «epsilonesque» de la continuité qu’il existe des réels k ∈ [0; 1[ et r > 0
tels que ∀x ∈ [a − r; a + r], |f 0 (x)| 6 k.
2. (a) En déduire que f est k-lipschitzienne sur l’intervalle J = [a − r; a + r] puis que J est stable par f .
(b) Que peut-on en déduire pour la suite (un )n∈N , si l’on prend u0 dans J ?
3. Cas d’un point fixe répulsif.
On suppose cette fois-ci que a un point fixe répulsif de f , c’est à dire un point fixe tel que |f 0 (a)| > 1.
On suppose de plus que (un )n∈N n’est pas une suite stationnaire. Le but est de montrer que la suite (un )n∈N
ne converge pas vers a.
(a) Justifier que pour tout n ∈ N, un 6= a.
(b) Démontrer que si la suite (un )n∈N converge vers a, alors à partir d’un certain rang, la suite de terme
général |un − a| est croissante.
f (un ) − f (a)
). Conclure.
(on pourra étudier la limite de
un − a
Problème III :Dérivation
Les trois parties sont indépendantes.
Première partie
1. (a) Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle (E) (1 + x2 )y 0 + (2x − 1)y = 0
(b) On note f , la solution de (E) vérifiant f (0) = 1 : préciser l’expression de f (x).
(c) Justifier que f est de classe C ∞ sur R.
2. (a) Montrer que, ∀n ∈ N, il existe une fonction polynomiale Pn telle que :∀x ∈ R, f (n) (x) =
Pn (x)
earctan(x)
(1 + x2 )n+1
On donnera la relation qui lie Pn+1 , Pn et Pn0 .
(b) Expliciter les polynômes P0 , P1 , P2 .
(c) Prouver que, pour tout entier n Pn est de degré n et que son coefficient dominant est (−1)n (n + 1)!
3. (a) A l’aide de (E)et la formule de Leibniz déterminer une autre relation liant Pn+1 , Pn et Pn−1 (lorsque
n > 1).
(b) En déduire que ∀n > 1, Pn0 = −n(n + 1)Pn−1
Deuxième partie Soit f :]0; +∞[−→ R une application dérivable sur ]0; +∞[.
1. On suppose que lim f 0 = l avec l réel strictement positif.
+∞
2
(a) Démontrer que : ∃A > 0, ∀x > A, f 0 (x) >
(b) En déduire, que ∀x > A, f (x) >
finis)
l
2
l
(x − A) + f (A).(On pourra utiliser le théorème des accroissements
2
(c) Déterminer lim f
+∞
2. On suppose que lim (xf 0 (x)) = 1 et que f 0 est continue sur ]0; +∞[.
x→+∞
(a) Démontrer que : ∃A > 0, ∀x > A, f 0 (x) >
(b) En déduire que ∀x > A, f (x) >
1
2x
1
(ln(x) − ln(A)) + f (A)
2
(c) Déterminer lim f
3. On suppose que
+∞
lim f 0
+∞
= 0. Que peut-on dire concernant lim f ?
+∞
4. On suppose que lim f = 0. Que peut-on dire concernant lim f 0 ?
+∞
+∞
0
5. On suppose que lim f = +∞
+∞
(a) Montrer que f possède une limite en +∞.
(b) Déterminer cette limite.
Troisième partie On ne traitera cette partie que si tout le reste a été fait.
On considère une application f de R dans R continue en 0.
Démontrer l’équivalence entre les deux assertions suivantes :
— f estdérivable en 0
f (2x) − f (x)
existe et est finie
— lim
x→0
x
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