M´ecanique quantique PHY362 Travaux dirig´es - Fichier

L3 de physique
M´ ecanique quantique
PHY362
Travaux dirig´ es
Cours : Hermann Sellier
Arnaud Ralko
Travaux dirig´ es : L´ eonie Canet
Ann´ ee 2016-2017 Hadrien Mayaffre

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S´ erie n◦1 : Quantification de Bohr-Sommerfeld
Cette s´ erie ne sera pas trait´ ee en s´ eance. Elle pr´ esente l’introduction par Bohr de la quantification
du moment cin´ etique dans un mod` ele classique pour rendre compte du spectre d’´ emission atomique.
Apr` es la d´ ecouverte du noyau par Rutherford en 1912, les composants de la mati` ere ´ etaient identifi´ es
comme les noyaux portant une charge Ze et les ´ electrons portant une charge −e. Restait ` a d´ eterminer
comment ces charges ´ etaient organis´ ees pour former les divers ´ etats de la mati` ere. Le potentiel d’in-
teraction entre le noyau et ´ electrons ´ etant :
V(r) = −Ze2
4πε0r
Niels Bohr fit l’analogie avec le potentiel gravitationnel en 1/r et pensa ` a un arrangement ”plan´ etaire”
des ´ electrons autour du noyau. N´ eanmoins, dans un tel mouvement classique, l’´ electron subit une
acc´ el´ eration (centrifuge). Or toute particule charg´ ee acc´ el´ er´ ee ´ emet un rayonnement de freinage qui
ralentit son mouvement. Les lois classiques pr´ edisent que l’´ electron ”tombe” sur le noyau au bout
d’un temps tr` es court (10−14 ` a10−13 s). Pour r´ esoudre ce probl` eme, Niels Bohr sugg´ era que toutes
les orbites de l’´ electron n’´ etaient pas possibles et que ”l’action” de l’´ electron sur chaque orbite devait
prendre des valeurs multiples entiers de la constante de Planck.
1. Pour comprendre la physique associ´ ee aux r` egles de quantification de Bohr-Sommerfeld, la
premi` ere ´ etape est de r´ esoudre le mouvement classique d’un ´ electron de masse mdans un
potentiel Coulombien. Montrer que le moment angulaire total
~
L=~r ∧~p
est conserv´ e. En conclure que le mouvement de l’´ electron se fait dans le plan perpendiculaire
`
a~ L.
2. Soit ret θ, les coordonn´ ees radiales et angulaires dans ce plan, pr=mdr/dt et pθ=mrdθ/dt
les quantit´ es de mouvement radiales et angulaires. Ecrire l’´ energie cin´ etique de l’´ electron dans
ces coordonn´ ees polaires. En d´ eduire l’´ energie totale du syst` eme.
3. Pour les orbites circulaires, montrer que pr= 0 et pθ=cste. On d´ efinit alors l’action d’une
particule entre deux points iet fcomme :
S=Zf
i
~p ·d~r
o` u~r et ~p sont respectivement la position et la quantit´ e de mouvement sur la trajectoire. Montrer
que pour une particule libre, l’action est ´ egale ` a deux fois son ´ energie que multiplie le temps
n´ ecessaire ` a couvrir la distance i→f. L’action Sa donc les mˆ emes unit´ es que la constante
de Planck, i.e. energie ×temps. Nous allons maintenant montrer que dans un mouvement
p´ eriodique Smesure la surface couverte dans l’espace des phases (~r,~p). Montrer que dans le
mouvement circulaire de l’´ electron, Sest ´ egale ` a :
S=I~p ·d~r = 2πapθ
o` uaest le rayon de l’orbite. On d´ efinit souvent la variable d’action associ´ ee ` a l’angle θ
comme :
Iθ=apθ

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qui est une constante du mouvement. L’int´ erˆ et des variables d’action est que l’´ energie totale
ne d´ epend que de ces variables et non pas des angles (i.e. θ) associ´ es.
4. En utilisant l’´ egalit´ e entre la force centrifuge et Coulombienne dans un mouvement circulaire,
montrer que le rayon de l’´ electron est reli´ e` a la variable d’action Iθpar :
a=I2
θ
mZe24πε0
Montrer que l’´ energie et le moment orbital sont donn´ es par :
E=−mZ2e4
(4πε0)22I2
θ
L=Iθ
5. L’id´ ee de Bohr est que toute variable d’action comme Iθne peut s’exprimer qu’en unit´ e in-
divisible de ~=h/(2π), la constante de Planck. C’est l’aspect le plus fondamental de la
m´ ecanique quantique, qui implique implicitement que l’espace des phases est divis´ e en cel-
lules ´ elementaires de volume h3. La surface couverte dans l’espace des phases au cours d’un
mouvement p´ eriodique est un multiple de la constante de Planck. En utilisant cette r` egle de
quantification,
I~p ·d~r =nh
≡Iθ=n~
en d´ eduire que les niveaux d’´ energie de l’atome sont quantifi´ es selon :
En=−Ry
n2o`u Ry=mZ2e4 (4πε0)22~2est la constante de Rydberg.
Montrer que le rayon de l’orbite de l’´ electron est ´ egalement quantifi´ e
a=n2aBo`u aB=4πε0~2
mZ|e|2est le rayon de Bohr.
6. A partir de la formule de Bohr, montrer que les fr´ equences d’´ emission possibles de la lumi` ere
par un atome sont quantifi´ ees selon la formule de Balmer :
νn,m =Ry
h1 n2−1 m2
7. On associe ` a l’´ electron sur son orbite circulaire une onde
ψ(x) = exp ipθx
~= exp 2iπ x λ
o` uxest la coordonn´ ee (curviligne) le long de l’orbite et λ=h/pθest la longueur d’onde de De
Broglie associ´ ee ` a la particule. Montrer que la r` egle de quantification de Bohr-Sommerfeld est
´
equivalente ` a avoir un nombre entier de longueur d’onde sur la trajectoire de la particule. En
conclure que les interf´ erences doivent ˆ etre constructives pour avoir un mouvement quantique
r´ egulier.

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S´ erie n◦2 : Paquet d’ondes
1. On consid` ere une fonction d’onde ` a une dimension d´ efinie ` a l’instant t= 0 comme ´ etant la
superposition de 3 ondes planes :
ψ(x, 0) = A(eik0x+1
2ei(k0−∆k
2)x+1
2ei(k0+∆k
2)x)
(a) Quelle doit ˆ etre la dimension de A?
(b) En quelles valeurs de x, la densit´ e de probabilit´ e|ψ(x, 0)|2est-elle maximale ? nulle ?
(c) Soit ∆xl’´ ecart entre deux z´ eros cons´ ecutifs de |ψ(x, 0)|2, quelle relation lie ∆xet ∆k?
2. On s’int´ eresse ` a pr´ esent ` a la superposition d’une infinit´ e d’ondes planes. La distribution des
vecteurs d’ondes k` a l’instant t= 0 est d´ efinie par
˜
ψ(k, 0) = 1
√∆ksi k0−∆k
2≤k≤k0+∆k 2
˜
ψ(k, 0) = 0 ailleurs
(a) Calculer la fonction d’onde ψ(x, 0) correspondante.
(b) Estimer les largeurs caract´ eristiques ∆xet ∆kde |ψ(x, 0)|2et |˜ ψ(k, 0)|2et le produit
∆x∆k.
3. Voici trois formes de fonction d’onde correspondant ` a diff´ erents probl` emes de m´ ecanique
quantique. Pour chacune d’entre elles, d´ eterminer la constante Apour qu’elle soit norm´ ee. On
aura besoin pour cela d’un outil math´ ematique que l’on sera amen´ e` a utiliser r´ eguli` erement.
Montrer donc tout d’abord que (astuce : calculer dans un premier temps I2) :
I=Z+∞
−∞
e−αx2dx =rπ
α
(a) ψ(x) = A eik0xe−x2/4a2(paquet d’ondes gaussien)
(b) ψ(x) = A xe−mωx2/2~(premier ´ etat excit´ e de l’oscillateur harmonique)
(c) ψ(r) = A e−r/a0(´ etat fondamental de l’atome d’hydrog` ene)
4. Soit le paquet d’ondes gaussien d´ efini en 3(a) (` at= 0)
(a) Calculer la transform´ ee de Fourier ˜ ψ(k, 0) de ψ(x, 0).
(b) Repr´ esenter |˜ ψ(k, 0)|2. Quelle est sa forme ? O` u se trouve le centre du paquet d’ondes?
(c) Calculer les largeurs ∆xet ∆kde |ψ(x, 0)|2et |˜ ψ(k, 0)|2et le produit ∆x∆k.
5. On s’int´ eresse maintenant ` a la dynamique du paquet d’ondes gaussien pr´ ec´ edent. La relation
de dispersion est donn´ ee par ω=~k2/2m.
(a) Calculer la forme de ψ(x, t)et montrer qu’` a l’instant tle paquet d’ondes reste gaussien.
(b) Montrer que la vitesse de groupe est vG=~k0/m et que la largeur du paquet d’ondes ` a
l’instant test :
∆x(t) = ar1 + ~2t2
4m2a4.
(c) Conclure sur l’´ evolution du paquet d’ondes.