Nombres Premiers

Nombres Premiers
Dans cette partie, on appelle nombre tout entier naturel non nul.
1
Définition
Définition 1 Soit p un nombre. On dit que p est un nombre premier si p ≥ 2 et si les seuls diviseurs
de p sont 1, −1, p et −p.
On note P l’ensemble des nombres premiers.
Exemple 2 Les entiers 2, 3, 5, 7 et 11 sont des nombres premiers. Les entiers 1 et 4 ne le sont pas.
Remarque 3 Il ne faut pas confondre ”premiers entre eux” et ”premier”, en effet 4 et 15 sont
premiers entre eux mais 4 n’est pas un nombre premier (15 non plus).
2
Crible d’Eratosthène
Recherchons tous les nombres premiers plus petits que 100 par exemple.
Le nombre 1 n’est pas un nombre premier. On l’enlève.
Le nombre 2 est premier. Tous les multiples de 2 autres que 2 ne sont pas premiers et sont donc
otés.
Le nombre 3 est premier. On enlève ensuite tous les multiples de 3 strictement supérieurs à 3 (ils
ne sont pas premiers).
Le plus petit nombre restant est 5, qui est donc premier. On enlève tous les multiples de 5
strictement supérieurs à 5.
Cette méthode permet donc de proche en proche d’obtenir les nombres premiers plus petits que
100.
1
2
21
22
41
61
81
3
3
23
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4
5
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58
60
80
100
Nombres premiers et divisibilité
Proposition 4 Soit p un nombre, p ≥ 2. Il y a équivalence entre :
1. l’entier p est un nombre premier.
2. les seuls entiers non premiers avec p sont les multiples de p.
3. le nombre p est premier avec 1, 2, . . . , p − 1.
Démonstration. On va montrer 1 =⇒ 2 =⇒ 3 =⇒ 1
Supposons que p est un nombre premier. Soit a un entier non premier avec p. Soit d = pgcd(a, p),
on a d 6= 1, or d divise p et d est positif donc d = p. Comme d divise aussi a, on en déduit que p
divise a.
Soit p un nombre tel que les seuls entiers non premiers avec p sont les multiples de p. Soit
k ∈ {1, 2, . . . , p − 1} et d = pgcd(k, p). Comme d divise p, on a d = 1 ou d = p. Si d était égal à p
alors p diviserait k et on aurait p ≤ k ce qui est exclu. Donc d = 1 donc p et k sont premiers entre
eux.
Supposons que le nombre p est premier avec 1, 2, . . . , p − 1. Soit d un diviseur positif de p. Alors
d ≤ p et pgcd(d, p) = d. Si 1 < d < p alors pgcd(d, p) = 1 par hypothèse et l’on aurait d = 1. Donc
d = 1 ou d = p. Donc p est un nombre premier.
Corollaire 5 Soit p un nombre premier. Pour tout a ∈ Z, les entiers a et p sont premiers entre eux
si et seulement si p ne divise pas a.
Corollaire 6 Soit p et p0 deux nombres premiers. Alors p et p0 sont premiers entre eux si et seulement si p 6= p0 .
Démonstration. Si pgcd(p, p0 ) = 1 alors p 6= p0 .
Si p 6= p0 alors p0 ne divise pas p (sinon p ne serait pas un nombre premier) et par conséquent
pgcd(p, p0 ) = 1.
Lemme 7 Lemme d’Euclide. Soit a et b deux entiers relatifs et soit p un nombre premier. Si p
divise ab alors p divise a ou p divise b.
Démonstration. .On sait que p divise ab, si p ne divise pas a alors alors p est premier avec a,
donc p divise b (théorème de Gauss).
Corollaire 8 Dans Z/pZ avec p premier on a

 ȧ = 0̇
ou
ȧ × ḃ = 0̇ =⇒

ḃ = 0̇
Donc il n’y a pas de diviseurs de zéros dans Z/pZ
Remarque 9 On pouvait déduire ce résultat des deux faits connus suivants : tous les éléments non
nuls de Z/pZ sont inversibles et un élément de Z/nZ ne peut pas être à la fois inversible et diviseur
de zéro.
4
Décomposition en facteurs premiers
Définition 10 Soit a ∈ N∗ . Un nombre premier p qui divise a s’appelle un facteur premier de a.
Tout facteur premier p de a vérifie
√
p≤ a
Exemple 11 L’entier 3 est un facteur premier de 12.
Les entiers 1 et −1 n’admettent pas de facteur premier.
Démonstration. Soit D = {k ∈ N; 2 ≤ k et k | a}. L’ensemble D est fini et non vide (il contient
a). Soit p son plus petit élément. Alors p ≥ 2 et p | a. Soit d un diviseur positif de p différent de 1.
Alors 2 ≤ d ≤ p et d divise a. Si d ≥ 2, d ∈ D. Comme p est le plus petit élément de D, p ≤ d donc
d = p. Donc p est un nombre premier. Donc p est un facteur premier de a.
Supposons que a n’est pas premier donc a = pq avec q 6= 1, donc q ∈ D, donc q ≥ p. D’où
p2 ≤ pq = a.
Exemple 12 Soit a = 491. On veut savoir si a est premier ou pas. On teste si a est divisible par
2, par 3, par 5, par 7, par 11, par 13, par 17, par 19. Le nombre premier suivant est 23. Comme
232 = 529 > 491, 491 est un nombre premier.
Proposition 13 L’ensemble P des nombres premiers est infini.
Démonstration. Soit P l’ensemble des nombres premiers. On sait que P est non vide (il contient
les entiers 2, 3, 5, etc). Supposons qu’il est fini, de cardinal N , c’est à dire que P = {p1 , . . . , pN }.
Posons alors a = 1 + p1 · · · pN . Comme a ≥ 2, il admet un facteur premier p donc p ∈ P donc il
existe m tel que p = pm . Mais alors pm divise a − p1 · · · pN = 1, ce qui est impossible.
Définition 14 Soit a ∈ Z∗ . Soit p un nombre premier. L’ensemble {m ∈ N, tels que pm | a} admet
un plus grand élément, noté vp (a) et appelé p−valuation de a ou indice de multiplicité de p dans a
ou exposant de p dans a.
Exemple 15 12 = 22 × 3 donc v2 (12) = 2 et v3 (12) = 1.
Si x = 3α × 5β alors v3 (x) = α et v5 (x) = β.
Théorème 16 Décomposition en facteurs premiers. Soit a ∈ Z tel que |a| ≥ 2. Il existe
ε ∈ {−1, 1}, s ∈ N∗ , des nombres premiers p1 < p2 < · · · < ps et des entiers naturels non nuls
m1 , . . . , ms tels que
ms
1
a = ε pm
1 · · · ps
De plus, cette décomposition est unique et m1 = vp1 (a), . . . , ms = vps (a).
Démonstration. Unicité de la décomposition. Avec des notations évidentes, supposons que
ms
1
a = εpm
= ε0 q1n1 · · · qrnr . Si a > 0 alors ε = ε0 = 1 et si a < 0 alors ε = ε0 = −1.
1 · · · ps
Soit i, 1 ≤ i ≤ s. Supposons que pi soit différent de q1 , . . . , qr . Alors pi est séparément premier
avec q1 , . . . , qr donc séparément premier avec q1n1 , . . . , qrnr donc premier avec q1n1 · · · qrnr = p. Mais
ceci est en contradiction avec le fait que pi est un facteur premier de p. On montre ainsi que
{p1 , . . . , ps } = {q1 , . . . , qr }. On en déduit alors que s = r puis que p1 = q1 , . . . , ps = qs .
Existence de la décomposition. Soit a ≥ 2. On pose ε = 1. Considérons l’ensemble P des facteurs
premiers de a. On sait qu’il est non vide, et qu’il est fini (tout facteur premier est inférieur à a).
Soit p1 , . . . , ps ses éléments, avec p1 < p2 · · · < ps . Pour chacun de ces facteurs, soit Mi = {m ∈
m
m
N∗ ; p m
i |a}. Ce sont des ensembles non vides (par définition des pi ) et finis (pi |a =⇒ pi ≤ a =⇒
m ≤ ln(a)/ ln(pi )). Soit mi le plus grand élément de Mi . Comme a est séparément divisible par
∗
ms
1
pm
1 , . . . , ps premiers entre eux deux à deux, a est divisible par leur produit. Il existe q ∈ N tel que
m1
ms
a = p1 · · · ps · q. Si q ≥ 2, q admet un facteur premier qui serait aussi un facteur premier de a.
i +1
Il existe alors i avec 1 ≤ i ≤ s tel que q = pi . Mais alors pm
divise a, ce qui est impossible par
i
définition de mi . Donc q = 1.
Si a ≤ −2, on pose ε = −1 et on décompose |a|.
Exemple 17 L’entier a = 84 admet pour décomposition en facteurs premiers a = 22 × 3 × 7.
Proposition 18 Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. Alors pour tout nombre premier p,
vp (ab) = vp (a) + vp (b)
L’entier a divise b si et seulement si pour tout nombre premier p, vp (a) ≤ vp (b)
Proposition 19 Soit a1 , . . . , an des entiers relatifs non nuls. On a :
pgcd (a1 , . . . , an ) =
Y
p∈P
pαp et ppcm (a1 , . . . , an ) =
Y
p βp
p∈P
où αp = min(vp (a1 ), . . . , vp (an )) et βp = max(vp (a1 ), . . . , vp (an )) pour tout p ∈ P.
Proposition 20 Soit a ∈ N∗ . Alors a est un carré parfait si et seulement si pour tout p ∈ P, vp (a)
est pair.