Nombres Premiers

Nombres Premiers
Dans cette partie, on appelle nombre tout entier naturel non nul.
1 D´efinition
D´efinition 1 Soit pun nombre. On dit que pest un nombre premier si p≥2et si les seuls diviseurs
de psont 1,−1, p et −p.
On note Pl’ensemble des nombres premiers.
Exemple 2 Les entiers 2,3,5,7et 11 sont des nombres premiers. Les entiers 1et 4ne le sont pas.
Remarque 3 Il ne faut pas confondre ”premiers entre eux” et ”premier”, en effet 4et 15 sont
premiers entre eux mais 4n’est pas un nombre premier (15 non plus).
2 Crible d’Eratosth`ene
Recherchons tous les nombres premiers plus petits que 100 par exemple.
Le nombre 1 n’est pas un nombre premier. On l’enl`eve.
Le nombre 2 est premier. Tous les multiples de 2 autres que 2 ne sont pas premiers et sont donc
ot´es.
Le nombre 3 est premier. On enl`eve ensuite tous les multiples de 3 strictement sup´erieurs `a 3 (ils
ne sont pas premiers).
Le plus petit nombre restant est 5, qui est donc premier. On enl`eve tous les multiples de 5
strictement sup´erieurs `a 5.
Cette m´ethode permet donc de proche en proche d’obtenir les nombres premiers plus petits que
100.
12 3 45678 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
3 Nombres premiers et divisibilit´e
Proposition 4 Soit pun nombre, p≥2. Il y a ´equivalence entre :
1. l’entier pest un nombre premier.
2. les seuls entiers non premiers avec psont les multiples de p.
3. le nombre pest premier avec 1,2, . . . , p −1.
D´emonstration. On va montrer 1 =⇒2 =⇒3 =⇒1
Supposons que pest un nombre premier. Soit aun entier non premier avec p. Soit d= pgcd(a, p),
on a d6= 1, or ddivise pet dest positif donc d=p. Comme ddivise aussi a, on en d´eduit que p
divise a.
Soit pun nombre tel que les seuls entiers non premiers avec psont les multiples de p. Soit
k∈ {1,2, . . . , p −1}et d= pgcd(k, p). Comme ddivise p, on a d= 1 ou d=p. Si d´etait ´egal `a p

alors pdiviserait ket on aurait p≤kce qui est exclu. Donc d= 1 donc pet ksont premiers entre
eux.
Supposons que le nombre pest premier avec 1,2, . . . , p −1. Soit dun diviseur positif de p. Alors
d≤pet pgcd(d, p) = d. Si 1 < d < p alors pgcd(d, p) = 1 par hypoth`ese et l’on aurait d= 1. Donc
d= 1 ou d=p. Donc pest un nombre premier.
Corollaire 5 Soit pun nombre premier. Pour tout a∈Z, les entiers aet psont premiers entre eux
si et seulement si pne divise pas a.
Corollaire 6 Soit pet p0deux nombres premiers. Alors pet p0sont premiers entre eux si et seule-
ment si p6=p0.
D´emonstration. Si pgcd(p, p0) = 1 alors p6=p0.
Si p6=p0alors p0ne divise pas p(sinon pne serait pas un nombre premier) et par cons´equent
pgcd(p, p0) = 1.
Lemme 7 Lemme d’Euclide. Soit aet bdeux entiers relatifs et soit pun nombre premier. Si p
divise ab alors pdivise aou pdivise b.
D´emonstration. .On sait que pdivise ab, si pne divise pas aalors alors pest premier avec a,
donc pdivise b(th´eor`eme de Gauss).
Corollaire 8 Dans Z/pZavec ppremier on a
˙a×˙ b=˙ 0 =⇒
˙a=˙ 0
ou
˙
b=˙ 0
Donc il n’y a pas de diviseurs de z´eros dans Z/pZ
Remarque 9 On pouvait d´eduire ce r´esultat des deux faits connus suivants : tous les ´el´ements non
nuls de Z/pZsont inversibles et un ´el´ement de Z/nZne peut pas ˆetre `a la fois inversible et diviseur
de z´ero.
4 D´ecomposition en facteurs premiers
D´efinition 10 Soit a∈N∗. Un nombre premier pqui divise as’appelle un facteur premier de a.
Tout facteur premier pde av´erifie
p≤√a
Exemple 11 L’entier 3est un facteur premier de 12.
Les entiers 1et −1n’admettent pas de facteur premier.
D´emonstration. Soit D={k∈N; 2 ≤ket k|a}. L’ensemble Dest fini et non vide (il contient
a). Soit pson plus petit ´el´ement. Alors p≥2 et p|a. Soit dun diviseur positif de pdiff´erent de 1.
Alors 2 ≤d≤pet ddivise a. Si d≥2, d∈ D. Comme pest le plus petit ´el´ement de D,p≤ddonc
d=p. Donc pest un nombre premier. Donc pest un facteur premier de a.
Supposons que an’est pas premier donc a=pq avec q6= 1, donc q∈ D, donc q≥p. D’o`u
p2≤pq =a.
Exemple 12 Soit a= 491. On veut savoir si aest premier ou pas. On teste si aest divisible par
2, par 3, par 5, par 7, par 11, par 13, par 17, par 19. Le nombre premier suivant est 23. Comme
232= 529 >491,491 est un nombre premier.

Proposition 13 L’ensemble Pdes nombres premiers est infini.
D´emonstration. Soit Pl’ensemble des nombres premiers. On sait que Pest non vide (il contient
les entiers 2, 3, 5, etc). Supposons qu’il est fini, de cardinal N, c’est `a dire que P={p1, . . . , pN}.
Posons alors a= 1 + p1···pN. Comme a≥2, il admet un facteur premier pdonc p∈ P donc il
existe mtel que p=pm. Mais alors pmdivise a−p1···pN= 1, ce qui est impossible.
D´efinition 14 Soit a∈Z∗. Soit pun nombre premier. L’ensemble {m∈N,tels que pm|a}admet
un plus grand ´el´ement, not´e vp(a)et appel´e p−valuation de aou indice de multiplicit´e de pdans a
ou exposant de pdans a.
Exemple 15 12 = 22×3donc v2(12) = 2 et v3(12) = 1.
Si x= 3α×5βalors v3(x) = αet v5(x) = β.
Th´eor`eme 16 D´ecomposition en facteurs premiers. Soit a∈Ztel que |a| ≥ 2. Il existe
ε∈ {−1,1},s∈N∗, des nombres premiers p1< p2<··· < pset des entiers naturels non nuls
m1, . . . , mstels que
a=ε pm1
1···pms
s
De plus, cette d´ecomposition est unique et m1=vp1(a), . . . , ms=vps(a).
D´emonstration. Unicit´e de la d´ecomposition. Avec des notations ´evidentes, supposons que
a=εpm1
1···pms
s=ε0qn1
1···qnr
r. Si a > 0 alors ε=ε0= 1 et si a < 0 alors ε=ε0=−1.
Soit i, 1 ≤i≤s. Supposons que pisoit diff´erent de q1, . . . , qr. Alors piest s´epar´ement premier
avec q1, . . . , qrdonc s´epar´ement premier avec qn1
1, . . . , qnr
rdonc premier avec qn1
1···qnr
r=p. Mais
ceci est en contradiction avec le fait que piest un facteur premier de p. On montre ainsi que
{p1, . . . , ps}={q1, . . . , qr}. On en d´eduit alors que s=rpuis que p1=q1, . . . , ps=qs.
Existence de la d´ecomposition. Soit a≥2. On pose ε= 1. Consid´erons l’ensemble Pdes facteurs
premiers de a. On sait qu’il est non vide, et qu’il est fini (tout facteur premier est inf´erieur `a a).
Soit p1, . . . , psses ´el´ements, avec p1< p2··· < ps. Pour chacun de ces facteurs, soit Mi={m∈
N∗;pm
i|a}. Ce sont des ensembles non vides (par d´efinition des pi) et finis (pm i|a=⇒pm i≤a=⇒
m≤ln(a)/ln(pi)). Soit mile plus grand ´el´ement de Mi. Comme aest s´epar´ement divisible par
pm1
1, . . . , pms
spremiers entre eux deux `a deux, aest divisible par leur produit. Il existe q∈N∗tel que
a=pm1
1···pms
s·q. Si q≥2, qadmet un facteur premier qui serait aussi un facteur premier de a.
Il existe alors iavec 1 ≤i≤stel que q=pi. Mais alors pmi+1
idivise a, ce qui est impossible par
d´efinition de mi. Donc q= 1.
Si a≤ −2, on pose ε=−1 et on d´ecompose |a|.
Exemple 17 L’entier a= 84 admet pour d´ecomposition en facteurs premiers a= 22×3×7.
Proposition 18 Soit aet bdeux entiers relatifs non nuls. Alors pour tout nombre premier p,
vp(ab) = vp(a) + vp(b)
L’entier adivise bsi et seulement si pour tout nombre premier p,vp(a)≤vp(b)
Proposition 19 Soit a1, . . . , andes entiers relatifs non nuls. On a :
pgcd (a1, . . . , an) = Y
p∈P
pαpet ppcm (a1, . . . , an) = Y
p∈P
pβp
o`u αp= min(vp(a1), . . . , vp(an)) et βp= max(vp(a1), . . . , vp(an)) pour tout p∈ P.
Proposition 20 Soit a∈N∗. Alors aest un carr´e parfait si et seulement si pour tout p∈ P,vp(a)
est pair.