Contrôle final

Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et sociales
RABAT
http://www.fsjesr.ac.ma
 !
Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre : S
4
Module : M 16 (Méthodes Quantitatives IV)
Matière : ALGEBRE II
Session : Printemps-été, 2011-2012
Sections : A, B et C
Responsable de la matière : Salma DASSER
Contrôle final
Durée : 2h
Les documents et les portables ne sont pas autorisés.
La calculatrice est à usage strictement personnel.
Toute réponse doit être justifiée.
La présentation de la copie est notée sur 2 points.
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Correction du contrôle final
Correction du contrôle finalCorrection du contrôle final
Correction du contrôle final
Exercice 1 ............................................................................................................ 2
Exercice 2 ............................................................................................................ 5
Exercice 3 ............................................................................................................ 7

[ Semestre : S4, Module M16, Matière : Algèbre II ]
Contrôle final
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Exercice 1
Enoncé :
On considère le système linéaire : 
1) Montrer que le système   est de Cramer si et seulement si .
2) Discuter le système   , selon les valeurs du paramètre .
3) Résoudre les systèmes  ,   et 
.
Solution :
1) Montrons que le système 
!
 est de Cramer si et seulement si !"!#$%!&.
'
(
)*+,-'./'012.+31-+,*,30034
5
67 8
5
9  
  :8
;
<7
=
>
 Le système   est de Cramer si et seulement si ?3-5 .
?3-5 @  
  @A
BA A
C
A
D
@  
   @@     @
@  
@EF
C
BF
C
F
F
D
BF
D
F
G
@  
  @H 
 H
IJ5
 Donc le système   est de Cramer si et seulement si .
2) Discutons le système K
L
 , selon les valeurs du paramètre L.
 MNOP!&$%!#$%!"4
3'-?3Q+13+6
 MNOP!"
3'-R.RQ+1,3R3-S..TUR34'1'.0/-,.R3'-/R'./'3'V1*3W3*-.+,306
 MNOP!&
D
3'-R.RQ+1,3R3-R.RS..TUR33-,03'-*.V1-,X034
5
D
9  
  :8
D
;
<

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 Y5
D
ZF
F
C
F
D
[4\F
F
C
F
D
]^_`)abc?3-5
D D
3'-R.RQ+1,3R
 ?,Y5
D
cd5
D
cd\F
F
C
F
D
]abc\F
F
C
]^_`8c
 8
D
Y5
D
*1+?3-; 
  @ <e
e
C
e
D
 f.R*03'g'-U3
D
3'-*.V1-,X03
 MNOP!#
C
3'-R.RQ+1,3R3-R.RS..TUR33-,03'-R.R*.V1-,X034
5
C
9
:8
C
; 
<
 Y5
C
ZF
F
C
F
D
[4\F
F
C
F
D
]^_`)abc?3-5
C C
3'-R.RQ+1,3R
 ?,Y5
C
cd5
C
cd\F
F
C
F
D
]abc\F
F
C
]^_`8c
 8
C
hY5
C
*1+?3-; 
 @ <
 f.R*03'g'-U3
C
3'-R.R*.V1-,X03
3) Résolvons les systèmes 
"
, 
i
 et 
i
.
 Le système 
3'-R.RQ+1,3R3-S..TUR34  j
 j
 k
l kI
Donc 
1V./+'.0/-,.R03'./'3'V1*3W3*-.+,30Z[6
 Le système 
3'-?3Q+13+?3-5 m3-S..TUR38
;
<6
 L’unique solution d’un système homogène de Cramer c’est le vecteur nul

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 Le système 
 est de Cramer car  : La solution est alors unique. On le résout par
la méthode des déterminants de Cramer ou par la méthode de l’inversion de sa matrice 5 .
Résolution de K
i
 par la méthode des déterminants de Cramer : ?3-5
n
5 9  
  :8
;
<
o o?3-5
n4?3-5
o o
p
@
  @H 
 HmI
oq
o
C
D
o o
r
@  
  @@     @H 
 HI
os
o
o o
t
@  
  @H 
 HmI
ou
o
C
D
o e(/R,v/3'.0/-,.R?/'g'-U3w
x
y 3'-10.+'?.RR)3V1+z7{
C
D
C
D
|
Résolution de K
i
par la méthode de l’inversion de sa matrice }
i
:
5
~
•
•
•
•
€
n n
n n
•
‚
‚
‚
‚
ƒ
8 ;
<I75
68 47
„
…
†
‡
ˆ
‰

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Exercice 2
Enoncé :
On considère la matrice Š9  
  :.
1) Déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de la matrice ‹.
2) Construire une base orthonormée de Œ
D
formée de vecteurs propres de la matrice Š.
3) Donner l’expression analytique de la forme bilinéaire 2 que définit la matrice Š sur Œ
D
.
4) La forme bilinéaire 2 est-elle un produit scalaire sur Œ
D
?
Solution :
1) Déterminons les valeurs propres et les sous espaces propres de la matrice •.
Détermination des valeurs propres :
1- Calcul déduit de l’exercice 1 :
Ž?3-‹•Y?3-5
b•a•
?3-5
 I?3-‹•Y••‘•
2- Calcul astucieux :
(1) J5FFI•
3'-/R3W103/+V+.V+3?3011-+,*35.
(2) ‹6;
<;‘
‘
‘<‘6;
<I•
C
‘3'-/R3W103/+V+.V+3?3011-+,*35.
(3) c5• •
C
•
D
I’‘•
D
I•
D
3'-01-+.,',U3W103/+V+.V+3?35.
3- Calcul direct :
?3-‹•Y@•  
 • 
  •@A
BA A
C
A
D
@‘• ‘• ‘•
 • 
  •@
I?3-‹•Y‘•@  
 • 
  •@
@  
 • 
  •@F
C
BF
C
F
F
D
BF
D
F
@  
 • 
  •@H• 
 •H••
I?3-‹•Y•••‘
 Les W103/+' propres de la matrice ‹ sont alors j•
“
•
C
‘“
C
•
D
“
D