Devoir Maison numéro 20 - CPGE du Lycée Montesquieu

Devoir Maison numéro 20
Pour le 22 février 2013
Exercice
Soit E un K-espace vectoriel, soit p un projecteur de E et f un endomorphisme de E. Montrer que p et f
commutent si et seulement si imp et ker p sont stables par f .
Problème
Soit E un espace vectoriel réel, F un sous-espace de E et G un groupe fini d’automorphismes linéaires de
E, de cardinal m, tel que F soit stable par tout élément g de G, c’est à dire :
∀g ∈ G, ∀x ∈ F, g(x) ∈ F.
Le produit u ◦ v de deux endomorphismes de E sera noté plus simplement uv.
À tout endomorphisme u de E, on associe u+ défini par :
u+ =
a)
G.
b)
c)
d)
e)
f)
g)
1 X −1
g ug.
m g∈G
Soit h ∈ G, montrer que l’application δh de G dans G définie par g 7→ gh est un automorphisme de
Montrer que u+ est un endomorphisme de E commutant avec tout élément h de G.
Calculer (u+ )+ .
Soit p un projecteur de E d’image F . Montrer que F est inclus dans l’image de p+ .
Montrer que, pour tous g et h de G, on a g −1 pgh−1 ph = h−1 ph.
Montrer que p+ est un projecteur.
Comparer les images de p et de p+ .
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