Dimension d`un espace vectoriel admettant une partie génératrice finie

Dimension d'un espace vectoriel - Rang d'une application linéaire
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DIMENSION D'UN ESPACE VECTORIEL ADMETTANT UNE
PARTIE GENERATRICE FINIE - RANG D'UNE APPLICATION
LINEAIRE
1) Dimension d'un espace vectoriel admettant une partie génératrice finie
définition (famille génératrice, famille libre, famille liée, base)
On dit qu'une famille Iii x∈ )( d'éléments de E est une famille génératrice de E si :
∑
∈
∈α=∈α∃∈∀
Ii ii
I
Iii xxKEx ,)(, (c'est-à-dire ))(( Iii
xvectE ∈
=
.
On dit qu'une famille Iii x∈ )( d'éléments de E est une famille libre de E si :
()
0,0,)( =α∈∀⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=α∈α∀ ∑
∈
∈i
Ii ii
I
Iii IixK où les i
α
sont des éléments de K.
Une famille qui n'est pas libre est appelée famille liée.
On dit qu'une famille Iii x∈ )( d'éléments de E est une base de E si Iii x∈ )( est à la fois une famille
libre et génératrice de E.
propriétés immédiates
1) Toute sur-famille d'une famille génératrice est génératrice.
2) Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
3) Toute sur-famille d'une famille liée est liée.
théorème
Soit E un K-espace vectoriel non nul de dimension finie. Si F est un sous espace de E admettant une
famille génératrice de cardinal *
Nn∈, alors toute famille de F de cardinal n + 1 est liée.
démonstration
Par récurrence sur n. Notons P(n) le théorème.
• 1=n :
On suppose que
{}
e est une famille génératrice de F. Soient 21,gg deux éléments de F. Il existe
alors deux éléments de K, 21,αα tels que eg 11
α
=
et eg 22
α
=
.
Si 0
1=g, alors
{}
21,gg est liée.
Si 0
1≠g, alors 0 1≠α donc 1
1
1ge α
= et donc 1
1
2
2gg α
α
=. Donc
{
}
21,gg est liée.
• Soit *
Nn∈. Supposons P(n) vraie.
Supposons maintenant que F est un sous espace vectoriel admettant une famille génératrice de
cardinal 1+n : 11
)( +≤≤ nii e. Soit 21 )( +≤≤ nii g une famille de F de cardinal 2
+
n.
1
,21, +
α
+=+≤≤∀ niii exgnii , où
(
)
niii gvectx ≤≤
∈1 )(.
Soit
()
nii
gvectG ≤≤ =1 )( . G est non nul de dimension finie n, admettant une famille génératrice de
cardinal n.
Si tous les i
α sont nuls, alors
{}
11 ...,, +n
gg est liée donc 21 )( +≤≤ nii g est liée (sur-famille d'une famille
liée).

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S'il existe un i α non nul, par exemple 1
α
, alors )(
111
1
1xgen−
α
=
+.
Donc )(,22, 11
1
xgxgnii i
ii −
α
α
+=+≤≤∀
1
1
1
1
xxgg i
i
i
iα
α
−=
α
α
−
Donc
22
1
1+≤≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
α
α
−
ni
i
igg est une famille d'éléments de G de cardinal 1
+
n. D'après l'hypothèse de
récurrence, cette famille est liée. Il existe donc une famille 21
)( +≤≤
λ
nii d'éléments de K non tous nuls
tels que 0
2
21
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
α
α
−λ
∑
+
=
n
i
i
ii gg . 21
)( +≤≤ nii g est donc liée. Donc P(n+1) est vraie.
• Donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n non nul.
Corollaire
Si E est un K-espace vectoriel admettant une famille génératrice finie de cardinal n, alors :
1) Toute famille d'au moins n + 1 vecteurs est liée.
2) Toute famille libre est finie de cardinal au plus n.
démonstration
1) Soit G une famille d'au moins n + 1 vecteurs. On peut extraire de G une famille G' de n + 1
vecteurs. G' est liée d'après le théorème donc G est liée (G est une sur-famille d'une famille liée).
2) Soit G une famille libre. Si G est fini de cardinal au moins n ou si G est infinie, alors G est liée
d'après 1). Contradiction. Donc G est finie, de cardinal au plus n.
définition (espace vectoriel de dimension finie)
On dit que E est un espace vectoriel de dimension finie s'il existe une famille génératrice finie de E.
Si E est un espace vectoriel de dimension finie admettant des bases, alors celles-ci sont finies.
théorème de la base incomplète
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, Iii e∈ )( une famille génératrice quelconque de E et
IJ ⊂ tel que Jii e∈ )( soit une famille libre. Alors il existe un ensemble L, ILJ ⊂⊂ tel que Lii e∈ )(
soit une base de E.
démonstration
Soit
{}
libreesteIHJHB Hii ∈ ⊂⊂= )(,/.
OB /≠ car BJ ∈.
E est de dimension finie donc il existe une famille génératrice finie de E ; notons la Mii
g∈ )(.
)()(, McardHcardBH ≤∈∀ (voir corollaire précédent).

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L'ensemble des cardinaux des éléments de B est une partie non vide (il existe au moins un vecteur
j
e non nul donc
{
}
j
eest libre donc 1 appartient à cet ensemble) et majorée par card(M) donc admet
un plus grand élément p.
Soit
B
L∈ tel que pLcard =)(.
Lii
e∈ )( est libre car
B
L
∈
. Il reste à montrer que Lii e∈ )( est
génératrice.
Soit ))(( Lii
evectF ∈ =. Supposons
E
F≠. Il existe alors Iiij ee ∈
∈
)( tel que Fej∉ (sinon F=E).
Alors
{} jLii
e∪∈ )( est liée (par définition de L). Donc :
Soient KK j
L
Lii ∈α∈α ∈,)( tels que 0=α+α
∑
∈jj Li ii ee .
0
=α j sinon Fee Li ii
j
j∈α
α
−= ∑
∈
1!
Donc 0
=α
∑
∈Li iie donc 0,=α∈∀ i
Li car Lii e∈ )( est libre.
Donc
{} jLii
e∪∈ )( est libre , ce qui contredit le fait qu'elle soit liée.
Donc F = E.
corollaire 1
Tout espace vectoriel de dimension finie a une base finie.
démonstration
Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie, il admet une famille génératrice finie Iii
e∈ )(.
{}
0≠E donc 0,0
0
≠
∈∃ i eIi .
{
}
0
i
eest donc libre. D'après le théorème de la base incomplète :
{}
ILiL ⊂⊂∃ 0 , tel que Lii e∈ )( soit une base de E.
corollaire 2
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, l une famille libre et g une famille génératrice.
Alors on peut "compléter" l en une base de E, en n'utilisant que des éléments de g.
démonstration
E admet une famille génératrice finie nii
x≤≤1 )( . Notons Iii gg ∈
=
)(.
0, 0
0≠∈∃ i
gIi (sinon
{
}
0=E). D'après le théorème de la base incomplète :
{}
Iii
gILiL ∈ ⊂⊂∃ )(,, 0 base de E. Iii g∈ )( étant libre, on a nLcard
≤
)( . Il existe donc une sous
famille de g qui est génératrice finie, que l'on notera pii
g≤≤1 )( , avec n
p
≤
.
Notons rii
el ≤≤ =1 )(, avec n
r
≤.
Soit rpii
e+≤≤1 )'( définie par : ⎩
⎨
⎧
=≤≤
=≤≤
+iir
ii gepisi
eerisi
',1
',1 .
On applique le théorème de la base incomplète avec
{
}
rL ...,,1
=
et
{
}
rpI +
=
...,,1 .
théorème de la dimension
Dans un K-espace vectoriel non nul de dimension finie, toutes les bases ont le même nombre
d'éléments. Ce nombre est appelé dimension de E.

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démonstration
Soient B et B' deux bases de E.
B' est génératrice et B est libre donc )'()( BcardBcard
≤
.
B est génératrice et B' est libre donc )()'( BcardBcard
≤
.
Donc )'()( BcardBcard =.
2) Rang d'une application linéaire
définition (rang d'une famille de vecteurs)
Soit E un K-espace vectoriel. Soit Iii xx ∈
=
)( une famille d'éléments de E. Si le sous espace
vectoriel engendré par x est de dimension finie r, on dit que x est une famille de rang r et on note
rxrg =)( .
définition (rang d'une application linéaire)
Soit u une application linéaire de E dans F. Si Im(u) est de dimension finie, dim(Im(u)) est appelé
rang de u, note )(urg .
théorème du rang
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies et u une application linéaire de E dans F.
Alors )()(Im)( EdimudimuKerdim =+ .
démonstration
Soit )(Edimn =. )(uKer est de dimension finie p )(np
≤
. Notons pii e≤≤1 )( une base de )(uKer .
Alors pii
e≤≤1 )( est une famille libre de E. D'après le théorème de la base incomplète, il existe
np ee ...,, 1+ éléments de E tel que nii
e≤≤1 )( soit une base de E.
montrons que
()
nip
i
eu ≤≤+1 )( est une base de )Im(u
• C'est une famille libre :
Soit nipi ≤≤+
α1 )( des éléments de K tels que 0)(
1
=α
∑
+=
n
pi ii eu .
Alors 0)( 1
=α
∑
+=
n
pi iieu
Donc )(
1uKere
n
pi ii ∈α
∑
+=
donc ∑∑ =+=
≤≤ α=α∈α∃ p
iii
n
pi ii
p
pii eeK 11
1,)(
donc 0
11
=α−α ∑∑ +==
n
pi ii
p
iii ee
donc tous les i
α sont nuls (car nii e≤≤1 )( est une base de E).
donc
()
nip
i
eu ≤≤+1 )( est libre.

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• C'est une famille génératrice :
Soit Fy∈. Il existe Ex∈ tel que )(xuy =.
∑
=
≤≤ α=∈α∃ n
iii
n
nii exK 1
1,)(. Alors ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛α= ∑
=
n
iiieuy 1.
Donc ∑
=
α= n
iii euy 1)( (linéarité de u)
donc ∑∑ +==
α+α= n
pi ii
p
iii eueuy 11 )()(
donc ∑
+=
α= n
pi ii euy 1)( car pour )(,1 uKerepi i
∈
≤≤
donc
()
nip
i
eu ≤≤+1 )( est une famille génératrice.
théorème
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie commune n. Soit u une application
linéaire de E dans F. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) u est injective
(2) u est surjective
(3) u est bijective
démonstration
• (1) implique (2) :
Supposons u injective. Alors
{
}
0)( =uKer et donc 0))((
=
uKerdim . D'après le théorème du rang,
))(()())(Im( uKerdimEdimudim −= donc nudim
=
))(Im( et donc u est surjective.
• (2) implique (1) :
Supposons u surjective. Alors Fu
=
)Im( donc nudim
=
))(Im( . D'après le théorème du rang,
))(Im()())(( udimEdimuKerdim −= donc 0))((
=
uKerdim donc
{}
0)( =uKer et donc u est
injective.
• (1) implique (2) donc (1) implique (3). Comme (3) implique (1), on en déduit que (1) est
équivalent à (3)
• (2) implique (1) donc (2) implique (3). Comme (3) implique (2), on en déduit que (2) est
équivalent à (3)
proposition
Soient E, F et G des K espaces vectoriels de dimension finie, u une application linéaire de E dans F,
v une application linéaire de F dans G. Alors ))Im()(()()( uvKerdimuvrgurg ∩
−
=
D.
démonstration
Soit f la restriction de v à Im(u).
f est linéaire de Im(u) dans G donc, d'après le théorème du rang,
))(Im())(Im())(( udimfdimfKerdim =+ .
Or, )())(Im( uvrgfdim D= car ))(Im()Im( uvuv
=
D.
Donc :