Dimension d`un espace vectoriel admettant une partie génératrice finie

Dimension d'un espace vectoriel - Rang d'une application linéaire
DIMENSION D'UN ESPACE VECTORIEL ADMETTANT UNE
PARTIE GENERATRICE FINIE - RANG D'UNE APPLICATION
LINEAIRE
1) Dimension d'un espace vectoriel admettant une partie génératrice finie
définition (famille génératrice, famille libre, famille liée, base)
On dit qu'une famille ( xi ) i∈I d'éléments de E est une famille génératrice de E si :
∀x ∈ E , ∃(α i ) i∈I ∈ K I , x = ∑ α i xi (c'est-à-dire E = vect (( xi ) i∈I ) .
i∈I
On dit qu'une famille ( xi ) i∈I d'éléments de E est une famille libre de E si :
⎛
⎞
∀(α i ) i∈I ∈ K I , ⎜ ∑ α i xi = 0 ⎟ ⇒ (∀i ∈ I , α i = 0 ) où les α i sont des éléments de K.
⎝ i∈I
⎠
Une famille qui n'est pas libre est appelée famille liée.
On dit qu'une famille ( xi ) i∈I d'éléments de E est une base de E si ( xi ) i∈I est à la fois une famille
libre et génératrice de E.
propriétés immédiates
1) Toute sur-famille d'une famille génératrice est génératrice.
2) Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
3) Toute sur-famille d'une famille liée est liée.
théorème
Soit E un K-espace vectoriel non nul de dimension finie. Si F est un sous espace de E admettant une
famille génératrice de cardinal n ∈ N * , alors toute famille de F de cardinal n + 1 est liée.
démonstration
Par récurrence sur n. Notons P(n) le théorème.
• n =1 :
On suppose que {e} est une famille génératrice de F. Soient g1 , g 2 deux éléments de F. Il existe
alors deux éléments de K, α1 ,α 2 tels que g1 = α1e et g 2 = α 2 e .
Si g1 = 0 , alors {g1 , g 2 } est liée.
α
1
g1 et donc g 2 = 2 g1 . Donc {g1 , g 2 } est liée.
Si g1 ≠ 0 , alors α1 ≠ 0 donc e =
α1
α1
• Soit n ∈ N * . Supposons P(n) vraie.
Supposons maintenant que F est un sous espace vectoriel admettant une famille génératrice de
cardinal n + 1 : (ei )1≤i≤n+1 . Soit ( g i )1≤i≤n+ 2 une famille de F de cardinal n + 2 .
∀i, 1 ≤ i ≤ n + 2, g i = xi + α i en+1 , où xi ∈vect (( g i )1≤i≤ n ) .
Soit G = vect (( g i )1≤i≤n ) . G est non nul de dimension finie n, admettant une famille génératrice de
cardinal n.
Si tous les α i sont nuls, alors {g1 , ..., g n+1 } est liée donc ( g i )1≤i≤n+ 2 est liée (sur-famille d'une famille
liée).
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S'il existe un α i non nul, par exemple α1 , alors en+1 =
1
( g1 − x1 ) .
α1
αi
( g1 − x1 )
α1
α
α
g i − i g1 = xi − i x1
α1
α1
Donc ∀i, 2 ≤ i ≤ n + 2, g i = xi +
⎞
⎛
α
Donc ⎜⎜ g i − i g1 ⎟⎟
est une famille d'éléments de G de cardinal n + 1 . D'après l'hypothèse de
α1 ⎠ 2≤i ≤ n + 2
⎝
récurrence, cette famille est liée. Il existe donc une famille (λ i )1≤i≤n+ 2 d'éléments de K non tous nuls
⎛
n+ 2
tels que
∑ λ ⎜⎜ g
i =2
•
i
⎝
i
−
αi ⎞
g1 ⎟ = 0 . ( g i )1≤i≤n+ 2 est donc liée. Donc P(n+1) est vraie.
α1 ⎟⎠
Donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n non nul.
Corollaire
Si E est un K-espace vectoriel admettant une famille génératrice finie de cardinal n, alors :
1) Toute famille d'au moins n + 1 vecteurs est liée.
2) Toute famille libre est finie de cardinal au plus n.
démonstration
1) Soit G une famille d'au moins n + 1 vecteurs. On peut extraire de G une famille G' de n + 1
vecteurs. G' est liée d'après le théorème donc G est liée (G est une sur-famille d'une famille liée).
2) Soit G une famille libre. Si G est fini de cardinal au moins n ou si G est infinie, alors G est liée
d'après 1). Contradiction. Donc G est finie, de cardinal au plus n.
définition (espace vectoriel de dimension finie)
On dit que E est un espace vectoriel de dimension finie s'il existe une famille génératrice finie de E.
Si E est un espace vectoriel de dimension finie admettant des bases, alors celles-ci sont finies.
théorème de la base incomplète
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, (ei ) i∈I une famille génératrice quelconque de E et
J ⊂ I tel que (ei ) i∈J soit une famille libre. Alors il existe un ensemble L, J ⊂ L ⊂ I tel que (ei ) i∈L
soit une base de E.
démonstration
Soit B = {H / J ⊂ H ⊂ I , (ei ) i∈H est libre} .
B ≠ O/ car J ∈ B .
E est de dimension finie donc il existe une famille génératrice finie de E ; notons la ( g i ) i∈M .
∀H ∈ B, card ( H ) ≤ card ( M ) (voir corollaire précédent).
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L'ensemble des cardinaux des éléments de B est une partie non vide (il existe au moins un vecteur
e j non nul donc {e j } est libre donc 1 appartient à cet ensemble) et majorée par card(M) donc admet
un plus grand élément p.
Soit L ∈ B tel que card ( L) = p . (ei ) i∈L est libre car L ∈ B . Il reste à montrer que (ei ) i∈L est
génératrice.
Soit F = vect ((ei ) i∈L ) . Supposons F ≠ E . Il existe alors e j ∈ (ei ) i∈I tel que e j ∉ F (sinon F=E).
Alors (ei ) i∈L∪{ j } est liée (par définition de L). Donc :
Soient (α i ) i∈L ∈ K L , α j ∈ K tels que
α j = 0 sinon e j = −
Donc
∑α e
i∈L
i i
1
αj
∑α e + α e
i∈L
i i
j
j
=0.
∑α e ∈ F !
i∈L
i i
= 0 donc ∀i ∈ L, α i = 0 car (ei ) i∈L est libre.
Donc (ei ) i∈L∪{ j } est libre , ce qui contredit le fait qu'elle soit liée.
Donc F = E.
corollaire 1
Tout espace vectoriel de dimension finie a une base finie.
démonstration
Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie, il admet une famille génératrice finie (ei ) i∈I .
E ≠ {0} donc ∃i0 ∈ I , ei0 ≠ 0 . ei0 est donc libre. D'après le théorème de la base incomplète :
{ }
∃L, {i0 } ⊂ L ⊂ I tel que (ei ) i∈L soit une base de E.
corollaire 2
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, l une famille libre et g une famille génératrice.
Alors on peut "compléter" l en une base de E, en n'utilisant que des éléments de g.
démonstration
E admet une famille génératrice finie ( xi )1≤i≤ n . Notons g = ( g i ) i∈I .
∃i0 ∈ I , g i0 ≠ 0 (sinon E = {0}). D'après le théorème de la base incomplète :
∃L, {i0 } ⊂ L ⊂ I , ( g i ) i∈I base de E. ( g i ) i∈I étant libre, on a card ( L) ≤ n . Il existe donc une sous
famille de g qui est génératrice finie, que l'on notera ( g i )1≤i≤ p , avec p ≤ n .
Notons l = (ei )1≤i≤ r , avec r ≤ n .
⎧si 1 ≤ i ≤ r , e'i = ei
.
Soit (e'i )1≤i≤ p + r définie par : ⎨
⎩si 1 ≤ i ≤ p, e' r +i = g i
On applique le théorème de la base incomplète avec L = {1, ..., r} et I = {1, ..., p + r} .
théorème de la dimension
Dans un K-espace vectoriel non nul de dimension finie, toutes les bases ont le même nombre
d'éléments. Ce nombre est appelé dimension de E.
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démonstration
Soient B et B' deux bases de E.
B' est génératrice et B est libre donc card ( B) ≤ card ( B' ) .
B est génératrice et B' est libre donc card ( B' ) ≤ card ( B ) .
Donc card ( B) = card ( B' ) .
2) Rang d'une application linéaire
définition (rang d'une famille de vecteurs)
Soit E un K-espace vectoriel. Soit x = ( xi ) i∈I une famille d'éléments de E. Si le sous espace
vectoriel engendré par x est de dimension finie r, on dit que x est une famille de rang r et on note
rg ( x) = r .
définition (rang d'une application linéaire)
Soit u une application linéaire de E dans F. Si Im(u) est de dimension finie, dim(Im(u)) est appelé
rang de u, note rg (u ) .
théorème du rang
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies et u une application linéaire de E dans F.
Alors dim( Ker u ) + dim(Im u ) = dim( E ) .
démonstration
Soit n = dim( E ) . Ker (u ) est de dimension finie p ( p ≤ n) . Notons (ei )1≤i≤ p une base de Ker (u ) .
Alors (ei )1≤i≤ p est une famille libre de E. D'après le théorème de la base incomplète, il existe
e p +1 , ..., en éléments de E tel que (ei )1≤i≤n soit une base de E.
montrons que (u (ei ) ) p +1≤i≤n est une base de Im(u )
•
C'est une famille libre :
Soit (α i ) p +1≤i≤n des éléments de K tels que
n
∑ α u (e ) = 0 .
i = p +1
i
i
n
Alors u ( ∑ α i ei ) = 0
i = p +1
n
Donc
∑ α e ∈ Ker (u )
i = p +1
i i
donc ∃ (α i )1≤i≤ p ∈ K p ,
p
donc
n
∑α e − ∑α e
i =1
i i
i = p +1
i i
n
p
i = p +1
i =1
∑ α i ei = ∑ α i ei
=0
donc tous les α i sont nuls (car (ei )1≤i≤n est une base de E).
donc (u (ei ) ) p +1≤i≤n est libre.
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• C'est une famille génératrice :
Soit y ∈ F . Il existe x ∈ E tel que y = u ( x) .
n
⎛ n
⎞
∃ (α i )1≤i≤ n ∈ K n , x = ∑ α i ei . Alors y = u⎜ ∑ α i ei ⎟ .
i =1
⎝ i =1
⎠
n
Donc y = ∑ α i u (ei ) (linéarité de u)
i =1
p
donc y = ∑ α i u (ei ) +
i =1
donc y =
n
∑ α u (e )
i = p +1
i
i
n
∑ α u (e ) car pour 1 ≤ i ≤ p, e ∈ Ker (u )
i = p +1
i
i
i
donc (u (ei ) ) p +1≤i≤n est une famille génératrice.
théorème
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie commune n. Soit u une application
linéaire de E dans F. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) u est injective
(2) u est surjective
(3) u est bijective
démonstration
• (1) implique (2) :
Supposons u injective. Alors Ker (u ) = {0} et donc dim( Ker (u )) = 0 . D'après le théorème du rang,
dim(Im(u )) = dim( E ) − dim( Ker (u )) donc dim(Im(u )) = n et donc u est surjective.
• (2) implique (1) :
Supposons u surjective. Alors Im(u ) = F donc dim(Im(u )) = n . D'après le théorème du rang,
dim( Ker (u )) = dim( E ) − dim(Im(u )) donc dim( Ker (u )) = 0 donc Ker (u ) = {0} et donc u est
injective.
•
(1) implique (2) donc (1) implique (3). Comme (3) implique (1), on en déduit que (1) est
équivalent à (3)
•
(2) implique (1) donc (2) implique (3). Comme (3) implique (2), on en déduit que (2) est
équivalent à (3)
proposition
Soient E, F et G des K espaces vectoriels de dimension finie, u une application linéaire de E dans F,
v une application linéaire de F dans G. Alors rg (u ) = rg (v D u ) − dim( Ker (v) ∩ Im(u )) .
démonstration
Soit f la restriction de v à Im(u).
f est linéaire de Im(u) dans G donc,
dim( Ker ( f )) + dim(Im( f )) = dim(Im(u )) .
Or, dim(Im( f )) = rg (v D u ) car Im(v D u ) = v(Im(u )) .
Donc :
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d'après
le
théorème
du
rang,
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rg (u ) = rg (v D u ) − dim( Ker ( f ))
= rg (v D u ) − dim( Ker (v) ∩ Im(u ))
car Ker ( f ) = Ker (v) ∩ Im(u ) .
proposition
E, F et G désignent des K espaces vectoriels, u une application linéaire de E dans F, v une
application linéaire de F dans G. Alors :
(i) rg (v D u ) ≤ min(rg (u ), rg (v)) .
(ii) Si u est bijective, alors rg (v D u ) = rg (v) .
(iii) Si v est bijective, alors rg (v D u ) = rg (u ) .
démonstration
(i)
Im(v D u ) ⊂ Im(v) donc rg (v D u ) ≤ rg (v) .
D'après la proposition précédente, rg (v D u ) ≤ rg (u ) .
Par conséquent, rg (v D u ) ≤ min(rg (u ), rg (v)) .
(ii)
Si u est bijective, Im(u ) = F donc Im(v D u ) = v( F ) = Im(v) donc rg (v D u ) = rg (v) .
(iii)
Si v est bijective, alors Ker (v) = {0} donc dim( Ker (v) ∩ Im(u )) = 0 donc rg (v D u ) = rg (u ) d'après
la proposition précédente.
proposition
Soient E et F deux K-espaces vectoriel de dimension finie. Alors E et F sont de même dimension si
et seulement si E et F sont isomorphes.
démonstration
• Supposons E et F isomorphes.
Notons u un isomorphisme entre E et F, et n = dim( E ) . Soit (ei )1≤i≤ n une base de E. Montrons que
(u (ei ))1≤i≤n est une base de F.
Soit (α i )1≤i≤n ∈ K I tel que
n
∑ α u (e ) = 0 .
i =1
i
i
⎛ n
⎞
Alors u⎜ ∑ α i ei ⎟ = 0 (linéarité de u).
⎝ i =1
⎠
n
Donc
∑α e
i =1
i i
= 0 (car u est injective donc Ker (u ) = {0})
Donc ∀i,1 ≤ i ≤ n, α i = 0 .
(u (ei ))1≤i≤n est donc une famille libre de F.
Soit y ∈ F . ∃! x ∈ E , u ( x) = y .
n
n
i =1
i =1
∃ (α i )1≤i≤n , x = ∑ α i ei . Alors y = ∑ α i u (ei ) .
(u (ei ))1≤i≤n est donc une famille génératrice de F. C'est donc une base de F.
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Par conséquent E et F sont de même dimension.
• Supposons E et F de même dimension. Notons n cette dimension.
Soit (ei )1≤i≤n une base de E.
Soit ( f i )1≤i≤n une base de F.
Soit u l'application linéaire telle que : ∀i,1 ≤ i ≤ n, u (ei ) = f i .
u est surjective :
n
Soit y ∈ F . ∃ (α i )1≤i≤n ∈ K n , y = ∑ α i f i .
i =1
n
Soit x = ∑ α i ei . On a u ( x) = y donc u est surjective.
i =1
u est injective :
Soit x ∈ Ker (u ) .
n
∃ (α i ) i∈I ∈ K I , x = ∑ α i ei .
i =1
n
∑ α i u(ei ) = 0 et donc
u ( x) = 0 donc
i =1
n
∑α
i =1
i
fi = 0 .
Donc ∀i,1 ≤ i ≤ n, α i = 0 et donc x = 0 .
Ker (u ) = {0} et donc u est injective.
u est donc bijective et donc E et F sont isomorphes.
proposition
Si E et F sont deux K-espaces vectoriels de dimensions finies, alors E × F est de dimension finie et
dim( E × F ) = dim( E ) + dim( F ) .
démonstration
Soit (ei )1≤i≤n une base de E. Soit ( f i )1≤i≤ p une base de F. Montrons que ((ei )1≤i≤n ) ∪ (( f i )1≤i≤ p ) est
une base de E × F :
• C'est une famille libre :
Soient (α i )1≤i≤n ∈ K n et (β i )1≤i≤ p ∈ K p tels que :
p
n
∑ α i (ei ,0) + ∑ βi (0, f i ) = 0
i =1
i =1
p
⎛
⎞
Alors ⎜⎜ ∑ α i ei ; ∑ β i f i ⎟⎟ = (0; 0) .
i =1
⎝ i =1
⎠
Donc :
n
n
∑α e
i =1
p
i i
∑β
i =1
i
= 0 donc ∀i, 1 ≤ i ≤ n, α i = 0 car (ei )1≤i≤n est une base de E.
f i = 0 donc ∀i, 1 ≤ i ≤ p, β i = 0 car ( f i )1≤i≤ p est une base de F.
((ei )1≤i≤n ) ∪ (( f i )1≤i≤ p ) est donc une famille libre de
•
E×F .
C'est une famille génératrice :
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Soit ( x; y ) ∈ E × F .
n
x ∈ E donc : ∃ (α i )1≤i≤n ∈ K n , x = ∑ α i ei .
i =1
p
y ∈ F donc : ∃ (β i )1≤i≤ p ∈ K p , y = ∑ β i f i .
i =1
n
p
i =1
i =1
Alors ( x ; y ) = ∑ α i (ei ; 0) + ∑ β i (0 ; f i ) .
((ei )1≤i≤n ) ∪ (( f i )1≤i≤ p ) est donc une famille génératrice de
E×F .
E × F est donc de dimension finie et dim( E × F ) = dim( E ) + dim( F ) .
théorème
Soient E un K-espace vectoriel, F et G deux sous espaces vectoriels de E de dimension finie. Alors
F ∩ G et F + G sont de dimension finie et on a : dim( F ∩ G ) + dim( F + G ) = dim( F ) + dim(G ) .
démonstration
Considérons l'application suivante :
u:F × G → E
( x, y ) 6 x + y
u est une application linéaire de F × G dans E et Im(u ) = F + G . F et G sont de dimension finie
donc Ker (u ) est de dimension finie (et donc Im(u ) est de dimension finie d'après le théorème du
rang).
Déterminons Ker (u ) :
( x, y ) ∈ Ker (u ) ⇔ x + y = 0
⇔ x = −y
Donc Ker (u ) = {( x,− x), x ∈ F } .
Soit :
φ: F ∩ G → Ker (u )
x 6 ( x, − x )
φ est un isomorphisme donc dim( Ker (u )) = dim( F ∩ G ) .
Comme on a dim(Im(u )) = dim( F + G ) et dim( F × G ) = dim( F ) + dim(G ) , le théorème est prouvé.
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