Compléments d`algèbre linéaire

Rappels : famille libre, famille génératrice
Somme, somme directe
Compléments d’algèbre linéaire
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9 décembre 2014
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Rappels : famille libre, famille génératrice
Somme, somme directe
I Rappels : famille libre, famille génératrice
Definition (Famille libre, génératrice)
Soit E un K espace vectoriel et S = (v1 , · · · , vn ) ∈ E n
1
On dit que S est génératrice lorsque tout élément de
E est combinaison linéaire d’éléments de S :
∀x ∈ E ∃(a1 , · · · , an ) ∈ Kn x =
n
X
ai vi
i =1
2
On dit que S est libre lorsque :
∀(λ1 , · · · , λn ) ∈ Kn
n
X
λi vi = 0E ⇒ ∀i ∈ [|1, n |] λi = 0.
i =1
3
On dit que S est liée lorsque
S n’est
©
ª Pnpas
n
libre :∃(λ1 , · · · , λn ) ∈ K \ (0, · · · , 0) i =1 λi vi = 0E
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I : rappels : base
Definition (Base)
Soit E un K ev.
On dit qu’une famille B = (e1 , · · · , en ) est une base de E
lorsqu’elle vérifie l’une des propriétés équivalentes :
1
B est libre et génératrice.
2
Tout élément de E s’écrit de façon unique comme
combinaison linéaire des éléments de B .
Definition (Espace vectoriel de dimension finie)
On dit qu’un espace vectoriel E est de dimension finie
lorsqu’il admet une famille génératrice finie.
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Rappels : dimension
Theorem (dimension)
1
2
3
Tout ev non nul de dimension finie admet une base.
Dans un ev de dimension finie, toutes les bases ont le
même nombre d’éléments appelé dimension de E .
Dans un ev de dimension n, toute famille libre peut
être complétée en une base, avec des vecteurs
choisis dans une famille génératrice donnée.
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IV Somme de 2 ou plusieurs sous-espaces
vectoriels
Definition
Soit E un K espace vectoriel et F1 , · · · , Fp des sous
espaces vectoriels de E
1
On appelle somme de F1 , · · · , Fp l’ensemble
P
F1 + · · · + Fp = pi=1 Fi des sommes x1 + x2 + · · · + xp , où
x1 ∈ F1 , · · · , xi ∈ Fi , · · · , xp ∈ Fp
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IV Somme de 2 ou plusieurs sous-espaces
vectoriels
Definition
Soit E un K espace vectoriel et F1 , · · · , Fp des sous
espaces vectoriels de E
1
On appelle somme de F1 , · · · , Fp l’ensemble
P
F1 + · · · + Fp = pi=1 Fi des sommes x1 + x2 + · · · + xp , où
x1 ∈ F1 , · · · , xi ∈ Fi , · · · , xp ∈ Fp
P
2
On dit que la somme F = pi=1 Fi est directe lorsque
tout élément de F s’écrit de décompose de façon
unique sous la forme précédente. On note alors
F=
p
M
Fi , et si de plus F = E , on dit que F1 , · · · , Fp sont
i =1
supplémentaires.
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Example
1
Matrices symétriques et antisymétriques.
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Somme, somme directe
Example
1
Matrices symétriques et antisymétriques.
2
Somme de deux ou 3 droites vectorielles.
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Somme, somme directe
Example
1
Matrices symétriques et antisymétriques.
2
Somme de deux ou 3 droites vectorielles.
3
Fonctions paires et impaires
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Somme, somme directe
propriétés
Theorem
1
La somme F de deux ou plusieurs sev F1 , · · · , Fp de E
est un sev de E . Pour tout i ∈ [|1, p |]Fi ⊂ F . F est le plus
petit sev (au sens de l’inclusion) contenant tous les
Fi .
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Somme, somme directe
propriétés
Theorem
1
La somme F de deux ou plusieurs sev F1 , · · · , Fp de E
est un sev de E . Pour tout i ∈ [|1, p |]Fi ⊂ F . F est le plus
petit sev (au sens de l’inclusion) contenant tous les
Fi .
2
La somme F1 , · · · , Fp est directe si et seulement si la
décomposition de OE est unique.
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Somme, somme directe
propriétés
Theorem
1
La somme F de deux ou plusieurs sev F1 , · · · , Fp de E
est un sev de E . Pour tout i ∈ [|1, p |]Fi ⊂ F . F est le plus
petit sev (au sens de l’inclusion) contenant tous les
Fi .
2
La somme F1 , · · · , Fp est directe si et seulement si la
décomposition de OE est unique.
3
La somme de deux sous espaces vectoriels F1 et F2
est directe si et seulement si F1 ∩ F2 = {0E }
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Somme, somme directe
propriétés
Theorem
1
La somme F de deux ou plusieurs sev F1 , · · · , Fp de E
est un sev de E . Pour tout i ∈ [|1, p |]Fi ⊂ F . F est le plus
petit sev (au sens de l’inclusion) contenant tous les
Fi .
2
La somme F1 , · · · , Fp est directe si et seulement si la
décomposition de OE est unique.
3
La somme de deux sous espaces vectoriels F1 et F2
est directe si et seulement si F1 ∩ F2 = {0E }
4
La sommation de sev est commutative , associative.
Si F ⊂ G , alors F + G = G . F + 0E = OE + F
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Somme, somme directe
propriétés
Theorem
1
La somme F de deux ou plusieurs sev F1 , · · · , Fp de E
est un sev de E . Pour tout i ∈ [|1, p |]Fi ⊂ F . F est le plus
petit sev (au sens de l’inclusion) contenant tous les
Fi .
2
La somme F1 , · · · , Fp est directe si et seulement si la
décomposition de OE est unique.
3
La somme de deux sous espaces vectoriels F1 et F2
est directe si et seulement si F1 ∩ F2 = {0E }
4
La sommation de sev est commutative , associative.
Si F ⊂ G , alors F + G = G . F + 0E = OE + F
5
Toute somme obtenue en regroupant certains
termes d’une somme directe est encore directe.
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III Produit d’un nombre fini d’espaces
vectoriels
Definition (Espace vectoriel produit)
Soient E1 , · · · , Ep des K espaces vectoriels. L’ensemble
E1 × E2 · · · × Ep muni des
lois :(x1 , · · · , xi , · · · , xp ) + (y1 , · · · , yi , · · · , yp ) =
(x1 + y1 , · · · , xi + yp , · · · , xp + yp ) (loi interne) et
λ(x1 , · · · , xi , · · · , xp ) = (λx1 , · · · , λxi , · · · , λxp )(λ ∈ K) (loi
externe) est un espace vectoriel, appelé espace vectoriel
produit de F1 , · · · , Fp .
Theorem
Si E1 , · · · , Ep sont de dimension finie, alors E1 × · · · × Ep est
de dimension finie
p
X
i =1
dimEi
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IV Sommes en dimension finie
1
Soit E un K − ev et F , G des sev de dimension finie de
E . Alors
dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G )
En particulier, dim(F + G ) É dimF + dimG avec égalité
si et seulement si la somme F + G est directe.
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Somme, somme directe
IV Sommes en dimension finie
1
Soit E un K − ev et F , G des sev de dimension finie de
E . Alors
dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G )
2
En particulier, dim(F + G ) É dimF + dimG avec égalité
si et seulement si la somme F + G est directe.
Soit E un K − ev et F1 , · · · , Fp des sous espaces
vectoriels
de E de dimension finie. Alors,
X
dim ( (F1 + · · · + Fp )) É dim(F1 ) + · · · + dim(Fp ) avec
égalité si et seulement si la somme est directe.
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Démonstration.
1
On considère u : F × G → E : (x , y) 7→ x + y
Theorem
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Démonstration.
1
On considère u : F × G → E : (x , y) 7→ x + y
2
On considère
u : F1 × F2 × · · · × Fp → E : (x1 , · · · , xp ) 7→ x1 + · · · + xp
Theorem
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Somme, somme directe
Démonstration.
1
On considère u : F × G → E : (x , y) 7→ x + y
2
On considère
u : F1 × F2 × · · · × Fp → E : (x1 , · · · , xp ) 7→ x1 + · · · + xp
Theorem
1
Soient F1 , · · · , Fp des sev non nuls de E en somme
directe. La famille (B1 , · · · , Bp ), obtenue par
concaténation de bases B1 , · · · , Bp de F1 , · · · , Fp
respectivement est une base de F1 + · · · + Fp . En
particulier , si F1 , · · · , Fp sont supplémentaires, c’est
une base de E .
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Démonstration.
1
On considère u : F × G → E : (x , y) 7→ x + y
2
On considère
u : F1 × F2 × · · · × Fp → E : (x1 , · · · , xp ) 7→ x1 + · · · + xp
Theorem
1
Soient F1 , · · · , Fp des sev non nuls de E en somme
directe. La famille (B1 , · · · , Bp ), obtenue par
concaténation de bases B1 , · · · , Bp de F1 , · · · , Fp
respectivement est une base de F1 + · · · + Fp . En
particulier , si F1 , · · · , Fp sont supplémentaires, c’est
une base de E .
2
Réciproquement, en fractionnant une base de E , les
sev engendrés par chaque partie sont
supplémentaires.
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Bases adaptées
Definition (Base adaptée à un sous espace-vectoriel)
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie et F un
sous-espace vectoriel de E . On dit qu’une base de E est
adaptée à F lorsqu’elle est obtenue en complétant une
base de F .
Definition (Base adaptée à une somme directe)
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et
F1 ,c dots , Fp des sous-espaces vectoriels de E
supplémentaires. On dit qu’une base de E est adaptée à
la décomposition E =
concaténation B
F1 , · · · , Fp
p
M
Fi lorsque qu’elle s’écrit comme
i =1
= (B1 , · · · , Bp ) de bases repectives de
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V Sous-espaces stables par un
endomorphisme
Definition
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E . On dit
qu’un sous-espace F de E est stable par u lorsque
u(F ) ⊂ F . L’endomorphisme de F : x 7→ u(x) est alors
appelé endomorphisme de F induit par u.
Example
1
Si u ∈ L (E ) alors Im(u) et ker(u) sont stables par u.
2
Si (u , v) ∈ L (E )2 et u ◦ v = v ◦ u , alors Imu et Imv sont
stables par v.
3
Si (u , v) ∈ L (E )2 et u ◦ v = v ◦ u, alors les sous-espaces
propres de u sont stables par v.
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V Sous-espace stables
Theorem
Soit E un espace vectoriel de dimension finie non nulle et
u un endomorphisme de E .
1
Si F est un sous-espace vectoriel stable par u, la
matrice de u dans une base adaptée à F est
triangulaire par blocs
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V Sous-espace stables
Theorem
Soit E un espace vectoriel de dimension finie non nulle et
u un endomorphisme de E .
1
Si F est un sous-espace vectoriel stable par u, la
matrice de u dans une base adaptée à F est
triangulaire par blocs
2
Si E ==
p
M
Fi , les Fi sont stables par u si et
i =1
seulement si la matrice des u dans une base adaptée
au Fi est diagonale par blocs, les blocs
correspondant aux bases respectives de Fi
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VI Opérations sur les matrices par blocs
Elles correspondent aux opérations sur les matrices, à
condition que les blocs soient compatibles. Exemple : cas
de 4 blocs
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