Compléments d`algèbre linéaire

Rappels : famille libre, famille génératrice
Somme, somme directe
Compléments d’algèbre linéaire
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9 décembre 2014
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Rappels : famille libre, famille génératrice
Somme, somme directe
I Rappels : famille libre, famille génératrice
Definition (Famille libre, génératrice)
Soit Eun Kespace vectoriel et S=(v1,· · · ,vn)∈En
1On dit que Sest génératrice lorsque tout élément de
Eest combinaison linéaire d’éléments de S:
∀x∈E∃(a1,· · · ,an)∈Knx=
n
X
i=1
aivi
2On dit que Sest libre lorsque :
∀(λ1,· · · ,λn)∈Knn
X
i=1
λivi=0E⇒ ∀i∈[|1,n|]λi=0.
3On dit que Sest liée lorsque Sn’est pas
libre :∃(λ1,· · · ,λn)∈Kn\©(0,· · · ,0)ªPn
i=1λivi=0E
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Rappels : famille libre, famille génératrice
Somme, somme directe
I : rappels : base
Definition (Base)
Soit Eun Kev.
On dit qu’une famille B=(e1,· · · ,en)est une base de E
lorsqu’elle vérifie l’une des propriétés équivalentes :
1Best libre et génératrice.
2Tout élément de Es’écrit de façon unique comme
combinaison linéaire des éléments de B.
Definition (Espace vectoriel de dimension finie)
On dit qu’un espace vectoriel Eest de dimension finie
lorsqu’il admet une famille génératrice finie.
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Rappels : famille libre, famille génératrice
Somme, somme directe
Rappels : dimension
Theorem (dimension)
1Tout ev non nul de dimension finie admet une base.
2Dans un ev de dimension finie, toutes les bases ont le
même nombre d’éléments appelé dimension de E .
3Dans un ev de dimension n, toute famille libre peut
être complétée en une base, avec des vecteurs
choisis dans une famille génératrice donnée.
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Rappels : famille libre, famille génératrice
Somme, somme directe
IV Somme de 2 ou plusieurs sous-espaces
vectoriels
Definition
Soit Eun Kespace vectoriel et F1,· · · ,Fpdes sous
espaces vectoriels de E
1On appelle somme de F1,· · · ,Fpl’ensemble
F1+ · · · + Fp=Pp
i=1Fides sommes x1+x2+ · · · + xp, où
x1∈F1,· · · ,xi∈Fi,· · · ,xp∈Fp
2On dit que la somme F=Pp
i=1Fiest directe lorsque
tout élément de Fs’écrit de décompose de façon
unique sous la forme précédente. On note alors
F=
p
M
i=1
Fi, et si de plus F=E, on dit que F1,· · · ,Fpsont
supplémentaires.
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