Synthèse polynômes de matrices, d`endomorphismes

Synthèse polynômes de matrices, d’endomorphismes
Gilbert Primet
19 janvier 2014
1. Pour P∈K[X], P=
n
X
k=0
akXk, on pose :
∀A∈Mp(K)p(A)=a0Ip+a1A+ · · · + akAk+ · · · + anAn=
n
X
k=0
akAk
Pour tout Kespace vectoriel E:∀u∈L(E)P(u)=a0IdE+a1u+ · · · + anun=
n
X
k=0
akuk
Dans cette définition : u0=IdEet ∀k∈N∗uk=u◦u· · · ◦ u
| {z }
ktermes
et A0=Ipet ∀k∈N∗Ak=A.· · · .A
| {z }
ktermes
On a naturellement :
∀A∈Mp(K)∀P∈K[X]p(A)∈Mp(A)
∀u∈L(E)∀P∈K[X]p(u)∈L(E)
2. On rappelle également que les puissances d’endomorphismes ou de matrices carrées ont les mêmes propriétés
que les puissances usuelles, à l’exception de celles faisant intervenir la commutativité :
∀(A,B)∈(Mp)2∀(n,m)∈N2Ap+q=ApAq(Ap)q=Apq
∀(u,v)∈L(E)2∀(n,m)∈N2up+q=up◦uq(up)q=upq
En particulier, deux puissances d’une même matrice ou d’un même endomorphisme commutent (respective-
ment pour la multiplication matricielle et la composition des endomorphismes). De plus :
∀(A,B)∈(Mp(K))2AB =B A ⇒ ∀(n)∈N(AB)n=AnBn
De même :
∀(u,v)∈L(E)2u◦v=v◦u⇒ ∀(n)∈N(u◦v)n=un◦vn
De façon plus générale, deux polynômes de matrices ou d’endomorphismes qui commutent commutent :
∀(A,B)∈(Mp(K)2AB =B A ⇒ ∀(P,Q)∈K[X]P(A)Q(B)=P(B)Q(A)
∀(u,v)∈L(E)2u◦v=v◦u⇒ ∀(P,Q)∈(L(E))2P(u)◦Q(v)=Q(u)◦P(v)
3. 0pérations Soient Pet Qdeux polynômes à coefficients dans K
Addition ∀u∈L(E)(P+Q)(u)=P(u)+Q(u)∀A∈Mn(K)(P+Q)(A)=P(A)+Q(A)
Multiplication ∀u∈L(E)(PQ)(u)=P(u)◦Q(u)∀A∈Mn(K)(PQ)(A)=P(A)Q(A)
En particulier :∀u∈L(E)P(u)◦Q(u)=Q(u)◦P(u)∀A∈Mn(K)P(A)Q(A)=Q(A)P(A)
C”est-à-dire :Deux polynômes ou puissances d’un même endomorphisme ou d’une même matrice com-
mutent
Multiplication par un scalaire ∀λ∈K(λP)(u)=λP(u)∀λ∈K∀A∈Mn(K) (λP)(A)=λ(P(A))
Image de l’unité Si P=1, alors ∀u∈L(E)P(u)=IdE∀A∈Mp(K)P(A)=Ip
Morphismes On conserve les notations précédentes
(a) L’application ½K[X]→L(E)
P7→ P(u)est un morphisme d’espaces vectoriels de (K[X], +, .) dans (L(E), +, .)
et un morphisme d’anneaux de (K[X],+,.) dans (L(E),+,◦)
(b) L’application ½K[X]→Mp(K)
P7→ P(A)est un morphisme d’espaces vectoriels de (K[X], +, .) dans (Mp(K), +, .)
et un morphisme d’anneaux de (K[X],+,.) dans (Mp(K),+,.)
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4. Matrices semblables :rappels
Définition On dit que des matrices carrées Aet Bd’ordre psont semblables lorsqu’il existe Q∈GLp(K) telle
que :
B=Q−1AQ
. On le note A∼B
Propriétés (a) Deux matrices semblables ont même rang , même trace.
(b) ∀(A,B,C)∈¡Mp(K¢3:A∼A;A∼B⇒B∼A; (A∼B) et (B∼C)⇒A∼C
Si de plus A∼Bet si l’un des matrices est inversible, alors l’autre également et :A−1∼B−1
(c) Si A∼Bet P∈K[X], alors P(A)∼P(B)
Plus précisément, si B=Q−1AQ (Q∈GLp(K)) alors :
∀P∈K[X]P(B)=Q−1P(A)Q
En particulier :
∀n∈NBn=Q−1AnQ
Cette dernière égalité est encore valable pour n∈Zlorsque Aest inversible.
5. Cas des matrices diagonales ou triangulaires
(a) Pour toute matrice diagonale D=
d10· · · 0
0d2
....
.
.
.
.
.......0
0 ... 0 dp
et tout polynôme P:
P(D)=
P(d1) 0 · · · 0
0P(d2)....
.
.
.
.
.......0
0 ... 0 P(dp)
En particulier, pour tout entier naturel n:
Dn=
dn
10· · · 0
0dn
2
....
.
.
.
.
.......0
0 . . . 0 dn
p
(Attention 00=1) Cette dernière formule est encore vraie lorsque n<0 et que la matrice Dest inversible
(c’est-à-dire :∀k∈[|1, p|]dk6= 0 C’est la simplicité de cette formule qui fait que lorsque c’est possible, on
cherche à se ramener par similitude à des matrices diagonales. C’est l’objet du chapitre diagonalisation.
(b) De façon générale, pour toute matrice triangulaire (par exemple supérieure) :T=
d1∗ · · · ∗
0d2
....
.
.
.
.
.......∗
0 ... 0 dp
et
tout polynôme P:P(T)=
P(d1)∗ · · · ∗
0P(d2)....
.
.
.
.
.......∗
0 ... 0 P(dp)
(Les étoiles désignent des éléments quelconques
de K).
6. Polynôme annulateur
(a) On dit qu’un polynôme Pest un polynôme annulateur d’un endomorphisme u(resp : d’une matrice car-
rée A) lorsque
P(u)=0E,E(resp P(A)=0p).
Par exemple, le polynôme nul est polynôme annulateur de tout endomorphisme ou toute matrice.
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(b) Tout endomorphisme ud’un espace vectoriel non nul de dimension p∈N∗ou toute matrice carrée A
d’ordre padmet un polynôme annulateur non nul (car la famille infinie des puissances successives de u
ou Aest une famille liée). On montre même qu’on peut trouver un tel polynôme de degré au plus p.
Le théorème de Cayley-Hamilton (hors programme, sera vu en exercice) dit que χu(u)=0E,Eet χA(A)=0p,
en notant χu(respectivement χA) le polynôme caractéristique de u(respectivement A).
Par contre, en dimension infinie, un endomorphisme n’admet pas nécessairement de polynôme annula-
teur non nul.
Par exemple :½K[X]→K[X]
P7→ X P est un endomorphisme de K[X] qui admet comme seul polynôme an-
nulateur le polynôme nul.
(c) L’ensemble des polynômes annulateurs d’un endomorphisme ou d’une matrice est un sous-espace vecto-
riel de K[X]. De plus, si Pest un polynôme annulateur d’un endomorphisme uou d’une matrice A, alors,
pour tout polynôme Q∈K[X], QP =PQ est un polynôme annulateur de u(respectivement A).
(d) Si Aet Bsont deux matrices carrées semblables :
∀P∈K[X]P(A)=0⇐⇒ P(B)=0
(Deux matrices carrées semblables ont les mêmes polynômes annulateurs).
(e) Si on connaît un polynôme annulateur non nul Qscindé d’une matrice carrée A(ou d’un endomorphisme
u), on peut calculer les puissances successives de A(resp u) en cherchant le reste Rde la division eucli-
dienne de Xnpar Q:
Xn=QB +Rdeg(R)<deg(Q)
On écrit :R=
degQ−1
X
i=0
αiXi
Lorsque Qest scindé à racines simples, il faut donner à l’inconnue les valeurs des racines de Q. On obtient
ainsi un système dont le déterminant est un déterminant de Vandermonde, et qui permet de calculer les
inconnues αi, donc le polynôme Q.
Lorsque Qest scindé mais que certaines racines sont multiples, il faut faire intervenir les dérivées succes-
sives de Q. On rappelle la propriété :
α∈Kest racine d’ordre r∈N∗deQ⇐⇒ P(α)=P0(α)= · · · = P(r−1)(α)=0; P(r)(α)6= 0
Une fois le reste Rcalculé, on a alors :An=R(A) (resp :un=R(u)).
(f) Lorsqu’on connaît un polynôme annulateur non nul d’une matrice ou d’un endomorphisme, ceci facilite
la recherche des valeurs propres de cette matrice ou de cet endomorphisme (cf diagonalisation)
(g) On peut employer la formule du binôme dans Mp(K) ou L(E) à condition que les matrices ou endomor-
phismes commutent (respectivement pour la multiplication matricielle et la loi ◦.
∀(A,B)∈Mp(K)AB =B A ⇒ ∀n∈N(A+B)n=
n
X
k=0Ãn
k!AkBn−k
∀(u,v)∈L(E)u◦v=v◦u⇒ ∀n∈N(u+v)n=
n
X
k=0Ãn
k!uk◦vn−k
Un cas intéressant est lorsque A=λIp(λ∈K(resp :u=λIdEet Best nilpotente (respectivement unil-
potent), c’est à dire que :∃m∈NAm=0p(resp :∃m∈Num=0E,E)
On rappelle que toute matrice carréeAd’ordre pstrictement triangulaire est nilpotente :Ap=0p.
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