Exercice série 2 Probabilités avec corrigé

2ème série
Exercices sur les probabilités &
distributions de probabilités
Exercice 1 :
Dans une large population, 35% des individus sont âgés de moins de 21 ans, 45% ont entre
21 et 65 ans, et le reste de la population est âgé de plus de 65 ans. La probabilité de
contracter une certaine maladie est 2/100 pour les sujets de moins de 21 ans, de 1/21 pour
les sujets entre 21 et 65 ans, et de 1/7 pour les sujets de plus de 65 ans. Si on choisit une
personne au hasard dans cette population :
a) Calculez la probabilité que cette personne soit âgée de 21 ans ou plus.
b) Calculez la probabilité que cette personne ait moins de 21 ans et soit atteinte de la
maladie.
c) Calculez la probabilité que cette personne soit atteinte de la maladie.
d) Les événements « avoir moins de 21 ans » et « être atteint de la maladie » sont-ils
indépendants ?
NB : Deux événements A et B sont dits indépendants si Pr(A/B)=Pr(A) donc Pr[A ∩ B]= Pr[A] x
Pr[B]
Définissons tout d’abord les événements suivants :
A1= « avoir moins de 21 ans »
A2= « avoir entre 21 et 65 ans »
A3= « avoir plus de 65 ans »
M= « être atteint de la maladie ».
L’énoncé du problème nous donne les probabilités suivantes : Pr[A1]=0,35 ; Pr[A2]=0,45 ;
Pr[A3]=0,20 ; Pr[M|A1]=2/100 ; Pr[M|A2]=1/21 ; Pr[M|A1]=1/7.
a) La probabilité que la personne choisie soit âgée de 21 ans ou plus est égale à :
Pr[A2∪ A3]= Pr[A2]+ Pr[A3]= 0,45 + 0,20 = 0,65, Car les deux événements A2 et A3 sont
d’intersection vide.
b) Il faut calculer la probabilité Pr[A1∩M] = Pr [M/ A1] x Pr(A1) = 2/100 x 0,35 = 0,007
c) On peut écrire Pr[M]= Pr[M /A1] x Pr[A1]+ Pr[M/ A2] x Pr[A2]+ Pr[M/ A3] x Pr[A3]. La
probabilité que la personne choisie soit atteinte de la maladie est donc égale à :
= 2/100 x 0,35 + 1/21 x 0,45 + 1/7 x 0,20 = 0,057.
d) Pour que les deux événements A1= « avoir moins de 21 ans » et M=« être atteint de la
maladie » soient indépendants il faut que : Pr[A1 ∩ M]= Pr[A1] x Pr[M] ; ce qui n’est pas le
cas ici, car Pr[A1∩M]=0,007 ≠ 0,65 x 0,057. Donc les deux événements ne sont pas
indépendants.
Remarque
On peut utiliser une autre approche pour répondre aux trois premières questions de cet
exercice en considérant une population de 100000 personnes, par exemple, et en
constituant le tableau suivant à partir des informations sur composition de la population.
Age
Malade
Non malade
Total
Moins de 21 ans
70
3430
3500
Entre 21 et 65 ans
214
4286
4500
Plus de 56 ans
286
1714
2000
Total
570
9430
10 000
a) Probabilité que cette personne soit âgée de 21 ans ou plus :
(4500+2000)/10000=0,65.
b) Probabilité que cette personne ait moins de 21 ans et soit atteinte de la maladie :
70/10000=0,007.
c) Probabilité que cette personne soit atteinte de la maladie : 570/10000=0,057.
Exercice 2 :
a- Donnez les valeurs de :
-
Pr(Z<1,036) :
Pour cette exercice j’ai choisi d’utiliser la table bilatérale.
Sur la table Bilatérale le α correspondant à Z=1,036 est 0,30.
Pour l’exercice, on s’intéresse qu’à la moitié de la partie donnée par la table (α /2)
Pr( Z < 1,036) = 1- Pr( Z > 1,036) =1- 0,30/2 = 1- 0,15 = 85%
-
Pr(Z>1,036) : Pr ( Z > 1,036)= 0,30 ÷ 2= 15%
-
Pr(Z>1,5) :
Pr ( Z > 1,5) = 0,134 ÷ 2 = 0,067 = 6,7%
-
Pr(Z<3,09) :
Pr(Z<3,09) = 1- Pr(Z>3,09)
En se référant à la table bilatérale dont vous vous disposez, la probabilité
correspondante à Z=3,09 est très faible. C'est-à-dire, Pr(Z<-3,09) + Pr(Z>3,09) = α est
faible. Par suite : Pr(Z>3,09) = α /2 est aussi faible
En conclusion, Pr(Z<3,09) = 1- Pr(Z>3,09) est proche de 1 donc de 100%
-
Pr ( -2,35 <Z < -1,09) :
Par symétrie,
Pr ( -2,35 <Z < -1,09) = Pr(1,09 < Z < 2,35) (Par symétrie)
=Pr(Z>1,09) – Pr(Z>2,35)
= 0,276/2 – 0,019/2
= 0,138 – 0,0095 = 0,1285= 12,85%
b- Trouvez la valeur de Z telle que :
-
Pr[X > Z]=0,04
Il s’agit de déterminer la valeur Z telle P[X >Z]=α =0,04. Pour α=0,04 au niveau de la table
unilatérale de la loi normale centrée réduite, on trouve la valeur Z =1,75 correspondante.
Si on utilise la table bilatérale, on cherche le Z correspondant au 2α = 0,08 (à l’intérieur de
la table). Donc la valeur Z cherchée est aussi égale à 1,75.
-
Pr[X > Z]=0,64
Comme Pr[X > Z] > 0,5 alors Z <0. Il s’agit donc de déterminer la valeur Z’ telle
que P[X > Z’ ]=1-0,64 = 0,36
On en déduit donc que pour α =0,36 on détermine dans la table la valeur Z’ =0,355
correspondante. Donc la valeur de Z recherchée est égale à -0,355.
-
P[-Z < X < Z]=0,82
Il s’agit de déterminer la valeur α telle que : Pr[− Z < X < Z] = 1− α =0,82.
On en déduit donc que α =0,18 et on détermine dans la table bilatérale la valeur Z=1,34
correspondante. Donc la valeur de Z recherchée est égale à 1,34.
-
Pr[ Z < X < 3,31]=0,13
Il s’agit de déterminer la valeur Z telle que
Pr[ Zα1 < X < Z αα22]=0,13 = α1 − α2 = 0,13
où Z α2 =3,31 et donc α2=0,0005 (sur la table unilatérale). On en déduit que Zα1 =0,13 et donc
Z= Zα1 =1,126 ( c’est entre 1,12 et 1,13)
Exercice 3:
On considère une variable X qui suit une loi normale de moyenne µ=3 et de variance σ²=4.
Donner : Pr(X>3) ; Pr(X<4,2) et Pr(1<X<4)
La variable X suit N(3,2). Mais on dispose des tables statistiques de la distribution normale
centrée réduite càd N(0,1) (de moyenne 0 et d’écart-type 1)). De ce fait, pour calculer ces
probabilités demandées, on doit appliquer une transformation linéaire de la variable X à la
variable Z =(X-3)/2
•
Pr( X > 3) = Pr(Z > (3-3)/2) = Pr(Z>0) = 50%
•
Pr( X < 4,2)= Pr(Z < (4,2 - 3)/2 = Pr(Z < 0,6) = 1- Pr(Z>0,6)= 1- 0,2743 = 73%
•
Pr(1 < X <4)= Pr(-1 < Z < 0,5) = 1- Pr( Z > 0,5) - Pr(Z > 1) = 1 – 0,3085 - 01587 = 23%
Exercice 4 :
Le nombre de cas de malaria chez une population par année suit une loi normale de moyenne
1340 et d’écart-type de 40.
1- Quelle est la probabilité pour une année que le nombre de cas de malaria soit inférieur à
1460.
2- Quel est le nombre maximum de cas de Malaria admissible, si on veut que la proportion de
cas ne dépasse pas 25%.
3- Sachant que le nombre de cas cette année a été supérieur à 1300, quelle est la probabilité
que le nombre de cas soit compris entre 1260 et 1460
Exercice 5 :
a- Une variable suit une loi de Chi2 à 26 ddl, que vaut la probabilité(X<29,25).
En lisant sur la table de la loi du ch2, sur la ligne 26, la valeur 29,25 est prise entre 17,3 et
35,6. Donc la probabilité cherchée est comprise entre 10% et 90%. C’est un intervalle très
large. Pour cela, on va chercher à la calculer d’une manière plus précise en utilisant
d’autres tables (si elles existent) ou un logiciel informatique. Par exemple, en utilisant
Excel, on déduit que P(X< 29,25) = 70%
b- Une variable suit une loi de Chi2 à 15 ddl, que vaut la probabilité(X>100).
Sur la table de chi2 dont on dispose, on remarque que les valeurs de chi2 augmentent pour
des probabilités (les valeurs de alpha) de plus en plus petits. Dans notre cas, on peut dire
que la probabilité cherchée est très inférieure à 0,005. Plus précisément, en utilisant
l’Excel, on trouve que P(X>100) = 1,3 * 10-14
c- Une variable suit une loi de Student à 16 ddl, que vaut la probabilité(X>1,5).
En lisant la table de Student, sur la ligne 16, la valeur 1,5 est comprise entre 1,337 et 1,746.
Donc P(X>1,5) est entre 0,1 et 0,05 (entre 10% et 5%). Mais d’une manière précise on peut
utiliser l’Excel par exemple, on obtient P ( X > 1,5)=0,077 =7,7%.
d- Une variable suit une loi de Student à 18 ddl, trouvez a tel que Pr(X>a)=0,01 et
Pr(X>a)=0,80.
Dans le cours, on dispose d’une table bilatérale. Donc répondre à la question revient à
trouver une valeur dans la table bilatérale qui correspond à une probabilité de 0,02 (le
double de 0,01) sur la ligne 18. On trouve α=2,552.
Pour l’autre question, on procède de même Pr(X > -0,86) = 0,80
Remarque : l’utilisation de la table de student est identique à la loi normale (car elle est
aussi symétrique). Il suffit seulement de fixer votre lecture sur la ligne relative au degré de
liberté déterminé